Curva del pedal

Curva generada por las proyecciones de un punto fijo sobre las tangentes de otra curva

Construcción geométrica del pedal de C respecto de P

En matemáticas, la curva pedal de una curva dada resulta de la proyección ortogonal de un punto fijo sobre las rectas tangentes de esta curva. Más precisamente, para una curva plana C y un punto pedal fijo dado P , la curva pedal de C es el lugar geométrico de los puntos X de modo que la recta PX es perpendicular a una tangente T a la curva que pasa por el punto X . A la inversa, en cualquier punto R de la curva C , sea T la recta tangente en ese punto R ; entonces hay un único punto X en la tangente T que forma con el punto pedal P una recta perpendicular a la tangente T (para el caso especial en que el punto fijo P se encuentra en la tangente T , los puntos X y P coinciden) – la curva pedal es el conjunto de tales puntos X , llamado pie de la perpendicular a la tangente T desde el punto fijo P , a medida que el punto variable R se extiende sobre la curva C .

Como complemento de la curva pedal, existe un único punto Y en la recta normal a C en R, de modo que PY es perpendicular a la normal, por lo que PXRY es un rectángulo (posiblemente degenerado). El lugar geométrico de los puntos Y se denomina curva contrapedal.

La ortotómica de una curva es su pedal magnificada por un factor de 2 de modo que el centro de semejanza es P . Este es el lugar geométrico de la reflexión de P a través de la línea tangente T .

La curva del pedal es la primera de una serie de curvas C ₁ , C ₂ , C ₃ , etc., donde C ₁ es el pedal de C , C ₂ es el pedal de C ₁ , y así sucesivamente. En este esquema, C ₁ se conoce como el primer pedal positivo de C , C ₂ es el segundo pedal positivo de C , y así sucesivamente. Yendo en la otra dirección, C es el primer pedal negativo de C ₁ , el segundo pedal negativo de C ₂ , etc. ^[1]

Ecuaciones

De la ecuación cartesiana

Tome P como el origen. Para una curva dada por la ecuación F ( x , y )=0, si la ecuación de la recta tangente en R =( x ₀ , y ₀ ) se escribe en la forma

${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$

entonces el vector (cos α, sen α) es paralelo al segmento PX , y la longitud de PX , que es la distancia desde la línea tangente al origen, es p . Por lo tanto, X se representa mediante las coordenadas polares ( p , α) y al reemplazar ( p , α) por ( r , θ) se obtiene una ecuación polar para la curva pedal. ^[2]

Curva pedal (roja) de una elipse (negra). Aquí a = 2 y b = 1, por lo que la ecuación de la curva pedal es 4 x ² + y ² = ( x ² + y ² ) ²

Por ejemplo, ^[3] para la elipse

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

La recta tangente en R =( x ₀ , y ₀ ) es

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

y escribir esto en la forma dada arriba requiere que

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.}$

La ecuación de la elipse se puede utilizar para eliminar x ₀ e y _0, dando

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,}$

y convirtiendo a ( r , θ) da

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,}$

como la ecuación polar del pedal. Esto se convierte fácilmente en una ecuación cartesiana como

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

De la ecuación polar

Para P el origen y C se dan en coordenadas polares por r  =  f (θ). Sea R =( r , θ) un punto en la curva y sea X =( p , α) el punto correspondiente en la curva pedal. Sea ψ el ángulo entre la línea tangente y el radio vector, a veces conocido como el ángulo tangencial polar . Se da por

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .}$

Entonces

${\displaystyle p=r\sin \psi }$

y

${\displaystyle \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

Estas ecuaciones se pueden utilizar para producir una ecuación en p y α que, cuando se traduce a r y θ, da una ecuación polar para la curva del pedal. ^[4]

Por ejemplo, ^[5] sea la curva el círculo dado por r = a cos θ. Entonces

${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$

entonces

${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .}$

También

${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.}$

Entonces la ecuación polar del pedal es

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.}$

De la ecuación del pedal

Las ecuaciones de pedal de una curva y su pedal están estrechamente relacionadas. Si se toma P como el punto del pedal y el origen, entonces se puede demostrar que el ángulo ψ entre la curva y el radio vector en un punto R es igual al ángulo correspondiente para la curva del pedal en el punto X. Si p es la longitud de la perpendicular trazada desde P a la tangente de la curva (es decir, PX ) y q es la longitud de la perpendicular correspondiente trazada desde P a la tangente al pedal, entonces por triángulos similares

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.}$

De ello se deduce inmediatamente que si la ecuación del pedal de la curva es f ( p , r )=0 entonces la ecuación del pedal para la curva del pedal es ^[6]

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$

A partir de esto, todos los pedales positivos y negativos se pueden calcular fácilmente si se conoce la ecuación del pedal de la curva.

A partir de ecuaciones paramétricas

Contrapedal de la misma elipse

Pedal de la evoluta de la elipse: igual que el contrapedal de la elipse original

Sea el vector de R a P y escriba ${\displaystyle {\vec {v}}=P-R}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }}$,

los componentes tangencial y normal de con respecto a la curva. Entonces es el vector de R a X a partir del cual se puede calcular la posición de X. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$

En concreto, si c es una parametrización de la curva entonces

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

parametriza la curva del pedal (sin tener en cuenta los puntos donde c' es cero o no está definido).

Para una curva definida paramétricamente, su curva de pedal con punto de pedal (0;0) se define como

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

La curva contrapédica viene dada por:

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

Con el mismo punto de pedal, la curva contrapedal es la curva pedal de la evoluta de la curva dada.

Propiedades geométricas

Consideremos un ángulo recto que se mueve rígidamente de modo que un cateto permanece en el punto P y el otro cateto es tangente a la curva. Entonces, el vértice de este ángulo es X y traza la curva del pedal. A medida que el ángulo se mueve, su dirección de movimiento en P es paralela a PX y su dirección de movimiento en R es paralela a la tangente T = RX . Por lo tanto, el centro instantáneo de rotación es la intersección de la línea perpendicular a PX en P y perpendicular a RX en R , y este punto es Y. De ello se deduce que la tangente al pedal en X es perpendicular a XY .

Dibuje un círculo con diámetro PR , luego circunscriba el rectángulo PXRY y XY es otro diámetro. El círculo y el pedal son perpendiculares a XY, por lo que son tangentes en X . Por lo tanto, el pedal es la envolvente de los círculos con diámetros PR donde R se encuentra en la curva.

La recta YR es normal a la curva y la envolvente de dichas normales es su evoluta . Por lo tanto, YR es tangente a la evoluta y el punto Y es el pie de la perpendicular desde P a esta tangente, es decir Y está en el pedal de la evoluta. De ello se deduce que el contrapedal de una curva es el pedal de su evoluta.

Sea C′ la curva obtenida al contraer C por un factor de 2 hacia P . Entonces el punto R′ correspondiente a R es el centro del rectángulo PXRY , y la tangente a C′ en R′ biseca este rectángulo paralelamente a PY y XR . Un rayo de luz que parte de P y se refleja por C′ en R' pasará entonces por Y . El rayo reflejado, cuando se prolonga, es la línea XY que es perpendicular al pedal de C . La envolvente de líneas perpendiculares al pedal es entonces la envolvente de rayos reflejados o la catacáustica de C′ . Esto prueba que la catacáustica de una curva es la evoluta de su ortotómica.

Como se señaló anteriormente, el círculo con diámetro PR es tangente al pedal. El centro de este círculo es R′, que sigue la curva C′ .

Sea D′ una curva congruente con C′ y sea D′ la que ruede sin resbalar, como en la definición de una ruleta , sobre C′ de modo que D′ sea siempre la reflexión de C′ respecto de la recta a la que son mutuamente tangentes. Entonces, cuando las curvas se tocan en R′, el punto correspondiente a P en el plano móvil es X , y por tanto la ruleta es la curva pedal. Equivalentemente, la ortotómica de una curva es la ruleta de la curva sobre su imagen especular.

Ejemplo

Limaçon  — curva de pedal de un círculo

Cuando C es un círculo, la discusión anterior muestra que las siguientes definiciones de limaçon son equivalentes:

• Es el pedal de un círculo.
• Es la envolvente de los círculos cuyos diámetros tienen un extremo en un punto fijo y otro extremo que sigue a un círculo.
• Es la envolvente de círculos que pasa por un punto fijo cuyos centros siguen un círculo.
• Es la ruleta formada por un círculo que rueda alrededor de un círculo con el mismo radio.

También hemos demostrado que la catacáustica de un círculo es la evoluta de un limaçon.

Pedales de curvas específicas

Los pedales de algunas curvas específicas son: ^[7]

Véase también

• Lista de curvas

Referencias

Notas

1. Edwards pág. 165
2. Edwards pág. 164
3. Sigue a Edwards p. 164 con m = 1
4. Edwards pág. 164-5
5. Sigue a Edwards p. 165 con m = 1
6. Williamson pág. 228
7. Edwards pág. 167

Fuentes

• J. Edwards (1892). Cálculo diferencial. Londres: MacMillan and Co., págs. 161 y siguientes.

• Benjamin Williamson (1899). Tratado elemental sobre el cálculo diferencial. Logmans, Green y Co., págs. 227 y siguientes.

Lectura adicional

• Cálculo diferencial e integral: con aplicaciones de George Greenhill (1891) pág. 326 y siguientes. (Archivo de Internet)
• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pág. 60. ISBN. 0-486-60288-5.
• "Nota sobre el problema de las curvas de pedales" de Arthur Cayley

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Curva del pedal". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Curva contrapédica". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ortotómica". MathWorld .