Tacnodo

Punto de una curva en el que dos o más círculos osculadores son tangentes

Un nodo taquimétrico en el origen de la curva definido por ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-3x)^{2}-4x^{2}(2-x)=0.}$

En geometría algebraica clásica , un nodo tac (también llamado punto de osculación o doble cúspide ) ^[1] es un tipo de punto singular de una curva . Se define como un punto en el que dos (o más) círculos osculadores a la curva en ese punto son tangentes . Esto significa que dos ramas de la curva tienen tangencia ordinaria en el punto doble. ^[1]

El ejemplo canónico es

${\displaystyle y^{2}-x^{4}=0.}$

A partir de este ejemplo, se puede definir un nodo de taquicardia de una curva arbitraria como un punto de autotangencia localmente difeomorfo al punto en el origen de esta curva. Otro ejemplo de nodo de taquicardia se da mediante la curva de enlaces que se muestra en la figura, con ecuación

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-3x)^{2}-4x^{2}(2-x)=0.}$

Antecedentes más generales

Consideremos una función suave de valores reales de dos variables , digamos f ( x , y ), donde x e y son números reales . Por lo tanto, f es una función del plano a la línea. El espacio de todas esas funciones suaves se ve afectado por el grupo de difeomorfismos del plano y los difeomorfismos de la línea, es decir, cambios difeomórficos de coordenadas tanto en la fuente como en el destino . Esta acción divide todo el espacio de funciones en clases de equivalencia , es decir, órbitas de la acción del grupo.

Una de estas familias de clases de equivalencia se denota por ⁠ ⁠ ${\displaystyle A_{k}^{\pm },}$ donde k es un entero no negativo . Esta notación fue introducida por VI Arnold . Se dice que una función f es de tipo ⁠ ⁠ ${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$ si se encuentra en la órbita de es decir, existe un cambio difeomórfico de coordenadas en origen y destino que lleva a f a una de estas formas. Se dice que estas formas simples dan formas normales para las ⁠ ⁠ -singularidades de tipo. ${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1},}$ ${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1}}$ ${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$

Una curva con ecuación f = 0 tendrá un nodo taquimétrico, digamos en el origen, si y solo si f tiene una ⁠ ⁠ ${\displaystyle A_{3}^{-}}$ -singularidad en el origen.

Nótese que un nodo corresponde a una ⁠ ⁠ -singularidad de tipo . Un tacnodo corresponde a una ⁠ ⁠ -singularidad de tipo. De hecho, cada ⁠ ⁠ -singularidad de tipo, donde n ≥ 0 es un entero, corresponde a una curva con autointersección. A medida que n aumenta, aumenta el orden de autointersección: cruce transversal, tangencia ordinaria, etc. ${\displaystyle (x^{2}-y^{2}=0)}$ ${\displaystyle A_{1}^{-}}$ ${\displaystyle A_{3}^{-}}$ ${\displaystyle A_{2n+1}^{-}}$

Las singularidades de tipo no tienen ${\displaystyle A_{2n+1}^{+}}$ interés sobre los números reales: todas dan un punto aislado. Sobre los números complejos , las singularidades de tipo y las ${\displaystyle A_{2n+1}^{+}}$ singularidades de tipo ${\displaystyle A_{2n+1}^{-}}$ son equivalentes: ( x , y ) → ( x , iy ) da el difeomorfismo requerido de las formas normales.

Véase también

• Acnódulo
• Cúspide o espinoda
• Crudo

Referencias

1. Schwartzman, Steven (1994), Las palabras de las matemáticas: un diccionario etimológico de términos matemáticos utilizados en inglés, MAA Spectrum, Asociación Matemática de América , pág. 217, ISBN 978-0-88385-511-9.

Lectura adicional

• Salmon, George (1873). Tratado sobre las curvas planas superiores: concebido como una continuación de un tratado sobre secciones cónicas.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Tacnode". MathWorld .
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Tacnode", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press