Singularidad Ak

Descripción de la degeneración de una función

En matemáticas, y en particular en la teoría de singularidades , una singularidad A _k , donde k ≥ 0 es un número entero , describe un nivel de degeneración de una función . La notación fue introducida por VI Arnold .

Sea una función suave . Denotamos por el espacio de dimensión infinita de todas esas funciones. Sea el grupo de Lie de dimensión infinita de difeomorfismos y el grupo de Lie de dimensión infinita de difeomorfismos El grupo de productos actúa de la siguiente manera: sean y difeomorfismos y cualquier función suave. Definimos la acción del grupo como sigue: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (\varphi ,\psi )\cdot f:=\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}}$

La órbita de f , denotada orb( f ) , de esta acción de grupo está dada por

${\displaystyle {\mbox{orb}}(f)=\{\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}:\varphi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} ^{n}),\psi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} )\}\ .}$

Los miembros de una órbita dada de esta acción tienen en común el siguiente hecho: podemos encontrar un cambio difeomórfico de coordenadas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y un cambio difeomórfico de coordenadas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tal que un miembro de la órbita se lleve a cualquier otro. Se dice que una función f tiene una _k -singularidad de tipo A si se encuentra en la órbita de

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=1+\varepsilon _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\varepsilon _{n-1}x_{n-1}^{2}\pm x_{n}^{k+1}}$

donde y k ≥ 0 es un número entero. ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$

Por forma normal entendemos un representante particularmente simple de cualquier órbita dada. Las expresiones anteriores para f dan formas normales para las _k -singularidades de tipo A. Las _k -singularidades de tipo A son especiales porque se encuentran entre las singularidades simples, esto significa que solo hay un número finito de otras órbitas en un entorno suficientemente pequeño de la órbita de  f .

Esta idea se extiende a los números complejos donde las formas normales son mucho más simples; por ejemplo: no hay necesidad de distinguir ε _i = +1 de ε _i = −1 .

Referencias

• Arnold, VI; Varchenko, AN; Gusein-Zade, SM (1985), La clasificación de puntos críticos, cáusticas y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, vol. 1 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3187-9