En matemáticas , la teoría de la singularidad estudia espacios que son casi variedades , pero no del todo. Una cuerda puede servir como ejemplo de una variedad unidimensional, si se descuida su espesor. Una singularidad se puede crear haciéndola una bola, dejándola caer al suelo y aplanándola. En algunos lugares, la cuerda plana se cruzará consigo misma en una forma aproximada de "X". Los puntos del suelo donde esto ocurre son un tipo de singularidad , el doble punto: un trozo del suelo corresponde a más de un trozo de cuerda. Quizás la cuerda también se toque a sí misma sin cruzarse, como una " U " subrayada. Este es otro tipo de singularidad. A diferencia del doble punto, no es estable , en el sentido de que un pequeño empujón levantará la parte inferior de la "U" alejándola de la "línea subrayada".
Vladimir Arnold define el objetivo principal de la teoría de la singularidad como la descripción de cómo los objetos dependen de parámetros, particularmente en casos donde las propiedades sufren cambios repentinos bajo una pequeña variación de los parámetros. Estas situaciones se denominan perestroika ( en ruso : перестройка ), bifurcaciones o catástrofes. Clasificar los tipos de cambios y caracterizar los conjuntos de parámetros que dan lugar a estos cambios son algunos de los principales objetivos matemáticos. Las singularidades pueden ocurrir en una amplia gama de objetos matemáticos, desde matrices que dependen de parámetros hasta frentes de onda. [1]
En la teoría de la singularidad se estudia el fenómeno general de los puntos y conjuntos de singularidades, como parte del concepto de que las variedades (espacios sin singularidades) pueden adquirir puntos especiales y singulares por varias vías. La proyección es unidireccional, muy obvia en términos visuales cuando los objetos tridimensionales se proyectan en dos dimensiones (por ejemplo, en uno de nuestros ojos ); al observar la estatuaria clásica, los pliegues de los ropajes se encuentran entre las características más obvias. Las singularidades de este tipo incluyen las cáusticas , muy conocidas como los patrones de luz en el fondo de una piscina.
Otra forma de que se produzcan singularidades es por degeneración de la estructura de las variedades. La presencia de simetría puede ser una buena causa para considerar los orbifolds , que son variedades que han adquirido "esquinas" en un proceso de plegado, similar al pliegue de una servilleta de mesa.
Históricamente, las singularidades se notaron por primera vez en el estudio de las curvas algebraicas . El punto doble en (0, 0) de la curva
y la cúspide allí de
son cualitativamente diferentes, como se ve con solo dibujarlas. Isaac Newton realizó un estudio detallado de todas las curvas cúbicas , la familia general a la que pertenecen estos ejemplos. Se observó en la formulación del teorema de Bézout que tales puntos singulares deben contarse con multiplicidad (2 para un punto doble, 3 para una cúspide), al dar cuenta de las intersecciones de las curvas.
Quedó entonces un pequeño paso para definir la noción general de punto singular de variedad algebraica , es decir, permitir dimensiones superiores.
En principio, estas singularidades en la geometría algebraica son las más fáciles de estudiar, ya que se definen mediante ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, en términos de un sistema de coordenadas . Se puede decir que el significado extrínseco de un punto singular no está en cuestión; es solo que, en términos intrínsecos , las coordenadas en el espacio ambiente no traducen directamente la geometría de la variedad algebraica en el punto. Los estudios intensivos de tales singularidades condujeron al final al teorema fundamental de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades (en geometría biracional en característica 0). Esto significa que el simple proceso de "levantar" un trozo de cuerda de sí mismo, mediante el uso "obvio" del cruce en un punto doble, no es esencialmente engañoso: todas las singularidades de la geometría algebraica se pueden recuperar como una especie de colapso muy general (a través de múltiples procesos). Este resultado se utiliza a menudo de forma implícita para extender la geometría afín a la geometría proyectiva : es totalmente típico que una variedad afín adquiera puntos singulares en el hiperplano en el infinito , cuando se toma su clausura en el espacio proyectivo . La resolución dice que tales singularidades se pueden manejar más bien como una especie (complicada) de compactificación , que termina con una variedad compacta (para la topología fuerte, en lugar de la topología de Zariski , claro está).
Casi al mismo tiempo que el trabajo de Hironaka, la teoría de catástrofes de René Thom estaba recibiendo mucha atención. Esta es otra rama de la teoría de la singularidad, basada en el trabajo anterior de Hassler Whitney sobre los puntos críticos . En términos generales, un punto crítico de una función suave es donde el conjunto de niveles desarrolla un punto singular en el sentido geométrico. Esta teoría trata con funciones diferenciables en general, en lugar de solo polinomios. Para compensar, solo se consideran los fenómenos estables . Se puede argumentar que en la naturaleza, cualquier cosa destruida por pequeños cambios no va a ser observada; lo visible es lo estable. Whitney había demostrado que en números bajos de variables la estructura estable de los puntos críticos es muy restringida, en términos locales. Thom se basó en esto, y en su propio trabajo anterior, para crear una teoría de catástrofes que supuestamente explica el cambio discontinuo en la naturaleza.
Aunque Thom era un matemático eminente, la posterior naturaleza de moda de la teoría de catástrofes elementales propagada por Christopher Zeeman provocó una reacción, en particular por parte de Vladimir Arnold . [2] Es posible que haya sido en gran parte responsable de aplicar el término teoría de la singularidad al área que incluye el aporte de la geometría algebraica, así como el que surge del trabajo de Whitney, Thom y otros autores. Escribió en términos que dejaban en claro su disgusto por el énfasis demasiado publicitado en una pequeña parte del territorio. El trabajo fundacional sobre singularidades suaves se formula como la construcción de relaciones de equivalencia en puntos singulares y gérmenes . Técnicamente, esto implica acciones grupales de grupos de Lie en espacios de jets ; en términos menos abstractos, las series de Taylor se examinan hasta el cambio de variable, fijando singularidades con suficientes derivadas . Las aplicaciones, según Arnold, se pueden ver en la geometría simpléctica , como la forma geométrica de la mecánica clásica .
Una razón importante por la que las singularidades causan problemas en matemáticas es que, con un fallo en la estructura de la variedad, también se rechaza la invocación de la dualidad de Poincaré . Un avance importante fue la introducción de la cohomología de intersección , que surgió inicialmente de los intentos de restaurar la dualidad mediante el uso de estratos. Numerosas conexiones y aplicaciones se derivaron de la idea original, por ejemplo, el concepto de haz perverso en el álgebra homológica .
La teoría mencionada anteriormente no se relaciona directamente con el concepto de singularidad matemática como un valor en el que una función no está definida. Para ello, véase, por ejemplo , singularidad aislada , singularidad esencial , singularidad removible . La teoría de la monodromía de ecuaciones diferenciales , en el dominio complejo, en torno a singularidades, sí entra en relación con la teoría geométrica. En términos generales, la monodromía estudia la forma en que una función de recubrimiento puede degenerar, mientras que la teoría de la singularidad estudia la forma en que una variedad puede degenerar; y estos campos están vinculados.
