El término matemático haces perversos se refiere a los objetos de ciertas categorías abelianas asociadas a espacios topológicos , que pueden ser una variedad real o compleja , o espacios topológicamente estratificados más generales , posiblemente singulares.
El concepto fue introducido en el trabajo de Joseph Bernstein , Alexander Beilinson y Pierre Deligne (1982) como consecuencia de la correspondencia Riemann-Hilbert , que establece una conexión entre las categorías derivadas de módulos D holonómicos regulares y gavillas construibles . Las gavillas perversas son los objetos de este último que corresponden a módulos D individuales (y no a complejos más generales de los mismos); una gavilla perversa está representada generalmente por un complejo de gavillas. El concepto de gavillas perversas ya está implícito en un artículo de Kashiwara del año 75 sobre la constructibilidad de soluciones de módulos D holonómicos.
Una observación clave fue que la homología de intersección de Mark Goresky y Robert MacPherson podría describirse utilizando complejos de gavillas que en realidad son gavillas perversas. Quedó claro desde el principio que las gavillas perversas son objetos matemáticos fundamentales en la encrucijada de la geometría algebraica , la topología , el análisis y las ecuaciones diferenciales . También desempeñan un papel importante en la teoría de números , el álgebra y la teoría de la representación .
El nombre gavilla perversa proviene de una traducción aproximada del francés "faisceaux pervers". [1] La justificación es que las gavillas perversas son complejos de gavillas que tienen varias características en común con las gavillas: forman una categoría abeliana, tienen cohomología y, para construir una, basta construirla localmente en todas partes. El adjetivo “perverso” tiene su origen en la teoría de la homología de intersección , [2] y su origen fue explicado por Goresky (2010).
La definición de Beilinson-Bernstein-Deligne de un haz perverso procede a través de la maquinaria de categorías trianguladas en álgebra homológica y tiene un fuerte sabor algebraico, aunque los principales ejemplos que surgen de la teoría de Goresky-MacPherson son de naturaleza topológica porque los objetos simples en la categoría de gavillas perversas son los complejos de cohomología de intersección. Esto motivó a MacPherson a reformular toda la teoría en términos geométricos sobre la base de la teoría Morse . Para muchas aplicaciones de la teoría de la representación, los haces perversos pueden tratarse como una "caja negra", una categoría con ciertas propiedades formales.
Una gavilla perversa es un objeto C de la categoría derivada acotada de gavillas con cohomología construible en un espacio X tal que el conjunto de puntos x con
tiene dimensión real como máximo 2 i , para todo i . Aquí j x es el mapa de inclusión del punto x .
Si X es una variedad algebraica compleja suave y en todas partes de dimensión d , entonces
Es un haz perverso para cualquier sistema local . [3] Si X es un esquema de intersección plano, localmente completo (por ejemplo, regular) sobre un anillo de valoración discreto henseliano , entonces la gavilla constante desplazada es una gavilla perversa étale. [4]
Sea X un disco alrededor del origen en estratificado de modo que el origen sea el único estrato singular. Entonces la categoría de gavillas perversas en X es equivalente a la categoría de diagramas de espacios vectoriales donde y son invertibles. [5] De manera más general, los carcaj se pueden utilizar para describir gavillas perversas. [ cita necesaria ]
La categoría de haces perversas es una subcategoría abeliana de la categoría derivada (no abeliana) de haces, igual al núcleo de una estructura en T adecuada , y se conserva mediante la dualidad de Verdier .
La categoría derivada acotada de gavillas l-ádicas perversas en un esquema X es equivalente a la categoría derivada de gavillas construibles y de manera similar para gavillas en el espacio analítico complejo asociado a un esquema X / C . [6]
Las gavillas perversas son una herramienta fundamental para la geometría de espacios singulares. Por tanto, se aplican en una variedad de áreas matemáticas. En la correspondencia de Riemann-Hilbert , las gavillas perversas corresponden a módulos D holonómicos regulares . Esta solicitud establece que la noción de gavilla perversa ocurre "en la naturaleza". El teorema de descomposición , una extensión de gran alcance de la descomposición dura del teorema de Lefschetz , requiere el uso de gavillas perversas. Los módulos de Hodge son, en términos generales, un refinamiento teórico de Hodge de haces perversos. La equivalencia geométrica de Satake identifica haces perversos equivariantes en el Grassmanniano afín con representaciones del grupo dual de Langlands de un grupo reductivo G ; ver Mirković y Vilonen (2007). En Kiehl y Weissauer (2001) se ofrece una prueba de las conjeturas de Weil utilizando gavillas perversas.
Los campos sin masa en compactaciones de supercuerdas se han identificado con clases de cohomología en el espacio objetivo (es decir, espacio de Minkowski de cuatro dimensiones con una variedad Calabi-Yau (CY) de seis dimensiones ). La determinación del contenido de materia y de interacción requiere un análisis detallado de la (co)homología de estos espacios: casi todos los campos sin masa en el modelo de física efectiva están representados por ciertos elementos de (co)homología.
Sin embargo, se produce una consecuencia preocupante cuando el espacio objetivo es singular . Un espacio objetivo singular significa que solo la parte de la variedad CY es singular ya que el factor espacial de Minkowski es suave. Una variedad CY singular de este tipo se llama conifold ya que es una variedad CY que admite singularidades cónicas .
Andrew Strominger observó (A. Strominger, 1995) que los conifolds corresponden a agujeros negros sin masa . Los conifolds son objetos importantes en la teoría de cuerdas: Brian Greene explica la física de los conifolds en el capítulo 13 de su libro The Elegant Universe , incluido el hecho de que el espacio puede desgarrarse cerca del cono y su topología puede cambiar. Estos espacios objetivo singulares, es decir, conifolds, corresponden a ciertas degeneraciones leves de variedades algebraicas que aparecen en una gran clase de teorías supersimétricas , incluida la teoría de supercuerdas (E. Witten, 1982).
Esencialmente, diferentes teorías de cohomología en espacios objetivo singulares producen resultados diferentes, lo que dificulta determinar qué teoría puede favorecer la física. Varias características importantes de la cohomología, que corresponden a los campos sin masa, se basan en propiedades generales de las teorías de campos, específicamente, las teorías de campos de hojas de mundos bidimensionales (2,2)-supersimétricas . Estas propiedades, conocidas como el paquete Kähler (T. Hubsch, 1992), deberían ser válidas para espacios objetivo singulares y suaves. Paul Green y Tristan Hubsch (P. Green & T. Hubsch, 1988) determinaron que la manera en que se mueve entre espacios objetivo CY singulares requiere moverse a través de una resolución pequeña o deformación de la singularidad (T. Hubsch, 1992) y llamaron es la 'transición múltiple'.
Tristan Hubsch (T. Hubsch, 1997) conjeturó cuál debería ser esta teoría de cohomología para espacios objetivo singulares. Tristan Hubsch y Abdul Rahman (T. Hubsch y A. Rahman, 2005) trabajaron para resolver la conjetura de Hubsch analizando el caso no transversal del modelo sigma lineal calibrado de Witten (E. Witten, 1993), que induce una estratificación de estas variedades algebraicas. (denominada variedad del estado fundamental) en el caso de singularidades cónicas aisladas .
Bajo ciertas condiciones, se determinó que esta variedad de estado fundamental era un conifold (P. Green & T.Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) con singularidades cónicas aisladas sobre una determinada base con una exocurva unidimensional (denominada exoestratos). ) adjunto en cada punto singular . T. Hubsch y A. Rahman determinaron la (co)homología de esta variedad de estado fundamental en todas las dimensiones, la encontraron compatible con la simetría del espejo y la teoría de cuerdas , pero encontraron una obstrucción en la dimensión media (T. Hubsch y A. Rahman, 2005 ). Esta obstrucción requirió revisar la conjetura de Hubsch sobre una cohomología singular fibrosa (T. Hubsch, 1997). En el invierno de 2002, T. Hubsch y A. Rahman se reunieron con RM Goresky para discutir esta obstrucción y en las discusiones entre RM Goresky y R. MacPherson , R. MacPherson hizo la observación de que existía un haz tan perverso que podría tener la cohomología. eso satisfizo la conjetura de Hubsch y resolvió la obstrucción . RM Goresky y T. Hubsch asesoraron al doctorado de A. Rahman. disertación sobre la construcción de una gavilla perversa autodual (A. Rahman, 2009) utilizando la construcción en zig-zag de MacPherson - Vilonen (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). Este haz perverso demostró la conjetura de Hübsch para singularidades cónicas aisladas , satisfizo la dualidad de Poincaré y se alineó con algunas de las propiedades del paquete de Kähler. La satisfacción de todo el paquete Kähler con este haz perverso para estratos de mayor codimensión es todavía un problema abierto. Markus Banagl (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) abordó la conjetura de Hubsch a través de espacios de intersección para estratos de codimensión superior inspirados en el trabajo de Hubsch (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green y T. Hubsch , 1988) y el ansatz original de A. Rahman (A. Rahman, 2009) para singularidades aisladas .
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