sistema local

Locally constant sheaf of abelian groups on topological space

En matemáticas , un sistema local (o un sistema de coeficientes locales ) en un espacio topológico X es una herramienta de topología algebraica que interpola entre cohomología con coeficientes en un grupo abeliano fijo A y cohomología de gavilla general en la que los coeficientes varían de un punto a otro. . Norman Steenrod introdujo los sistemas de coeficientes locales en 1943. ^[1]

Los sistemas locales son los componentes básicos de herramientas más generales, como las poleas construibles y perversas .

Definición

Sea X un espacio topológico . Un sistema local (de grupos/módulos/... abelianos) en X es una gavilla localmente constante (de grupos / módulos /...) abelianos en X . En otras palabras, una gavilla es un sistema local si cada punto tiene una vecindad abierta tal que la gavilla restringida es isomorfa a la gavilla de alguna pregavilla constante. ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{U}}$

Definiciones equivalentes

Espacios conectados por caminos

Si X está conectado por caminos , ^{[ se necesita aclaración ]} un sistema local de grupos abelianos tiene el mismo tallo en cada punto. Existe una correspondencia biyectiva entre sistemas locales en X y homomorfismos de grupo. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)}$

y lo mismo para sistemas locales de módulos. El mapa que proporciona el sistema local se llama representación monodromía de . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Prueba de equivalencia

Tome el sistema local y un bucle en x . Es fácil demostrar que cualquier sistema local encendido es constante. Por ejemplo, es constante. Esto da un isomorfismo , es decir, entre y él mismo. Por el contrario, dado un homomorfismo , considere la gavilla constante en la cubierta universal de X. Las secciones invariantes de transformación de plataforma de dan un sistema local en X . De manera similar, las secciones equivariantes ρ de la transformada de plataforma dan otro sistema local en X : para un conjunto abierto U suficientemente pequeño , se define como ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{0}\simeq \Gamma ([0,1],{\mathcal {L}})\simeq (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)}$ ${\displaystyle {\underline {L}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle {\underline {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )_{U}\ =\ \left\{{\text{sections }}s\in {\underline {L}}_{\pi ^{-1}(U)}{\text{ with }}\theta \circ s=\rho (\theta )s{\text{ for all }}\theta \in {\text{ Deck}}({\widetilde {X}}/X)=\pi _{1}(X,x)\right\}}$

¿Dónde está la cubierta universal? ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$

Esto muestra que (para X conectado por trayectoria) un sistema local es precisamente un haz cuyo retroceso hacia la cubierta universal de X es un haz constante.

Esta correspondencia se puede actualizar a una equivalencia de categorías entre la categoría de sistemas locales de grupos abelianos en X y la categoría de grupos abelianos dotados de una acción de (equivalentemente, -módulos). ^[2] ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X,x)]}$

Mayor definición de espacios no conectados

Una definición no equivalente más fuerte que funciona para X no conectado es: la siguiente: un sistema local es un functor covariante

${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}}(R)}$

desde el grupoide fundamental de hasta la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo , donde normalmente . Esto es equivalente a los datos de una asignación a cada punto de un módulo junto con una representación de grupo tal que los distintos sean compatibles con el cambio de punto base y el mapa inducido en grupos fundamentales . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho _{x}:\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \pi _{1}(X,y)}$

Ejemplos

• Gavillas constantes como . Esta es una herramienta útil para calcular la cohomología ya que, en buenas situaciones, existe un isomorfismo entre la cohomología de gavilla y la cohomología singular: ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

$${\displaystyle H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )}$$

• Dejar . Puesto que , existe una familia de sistemas locales en X correspondientes a los mapas : ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }}$

$${\displaystyle \rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )}$$

• Secciones horizontales de paquetes de vectores con una conexión plana. Si es un paquete de vectores con conexión plana , entonces hay un sistema local dado por ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle \nabla }$
  $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}}$$
  Por ejemplo, tomemos y , el paquete trivial. Las secciones de E son n -tuplas de funciones en X , por lo que definen una conexión plana en E , al igual que para cualquier matriz de formas unitarias en X . Las secciones horizontales son entonces ${\displaystyle X=\mathbb {C} \setminus 0}$ ${\displaystyle E=X\times \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})}$ ${\displaystyle \nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$ ${\displaystyle \Theta }$
  $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}}$$
  es decir, las soluciones de la ecuación diferencial lineal . ${\displaystyle df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}}$

  Si se extiende a una forma única en lo anterior, también definirá un sistema local , por lo que será trivial ya que . Entonces, para dar un ejemplo interesante, elija uno con un polo en 0 : ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} )=0}$

  $${\displaystyle \Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}$$
  en cuyo caso para , ${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$
  $${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}}$$

• Un mapa de cobertura de n hojas es un sistema local con fibras dadas por el conjunto . De manera similar, un haz de fibras con fibras discretas es un sistema local, porque cada camino se eleva de manera única hasta una elevación determinada de su punto base. (La definición se ajusta para incluir sistemas locales con valores establecidos de la manera obvia). ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

• Un sistema local de k -espacios vectoriales en X es equivalente a una k -representación lineal de . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

• Si X es una variedad, los sistemas locales son lo mismo que los módulos D , que además son módulos O_X coherentes (ver módulos O ).

• Si la conexión no es plana (es decir, su curvatura es distinta de cero), entonces el transporte paralelo de una fibra F_x sobre x alrededor de un bucle contráctil basado en x _0 puede dar un automorfismo no trivial de F_x , por lo que las poleas localmente constantes no necesariamente pueden definirse para no -conexiones planas.

• La conexión Gauss-Manin es un ejemplo destacado de una conexión cuyas secciones horizontales se estudian en relación con la variación de las estructuras de Hodge .

Cohomología

Hay varias formas de definir la cohomología de un sistema local, llamada cohomología con coeficientes locales , que se vuelven equivalentes bajo supuestos suaves sobre X.

• Dada una gavilla localmente constante de grupos abelianos en X , tenemos los grupos de cohomología de la gavilla con coeficientes en . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• Dada una gavilla localmente constante de grupos abelianos en X , sea el grupo de todas las funciones f que asignan cada n -simplex singular a una sección global de la gavilla de imagen inversa . Estos grupos se pueden convertir en un complejo de cocadenas con diferenciales construidos como en la cohomología singular habitual. Definir como la cohomología de este complejo. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle f(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$

• El grupo de n -cadenas singulares sobre la cubierta universal de X tiene una acción de transformaciones por cubierta . Explícitamente, una transformación de plataforma requiere un n -símplex singular para . Entonces, dado un grupo abeliano L equipado con una acción de , se puede formar un complejo de cocadena a partir de los grupos de homomorfismos equivalentes como se indicó anteriormente. Definir como la cohomología de este complejo. ${\displaystyle C_{n}({\widetilde {X}})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \gamma \colon {\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \gamma \circ \sigma }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

Si X es paracompacto y localmente contráctil , entonces . ^[3] Si el sistema local corresponde a L , entonces existe una identificación compatible con los diferenciales, ^[4] entonces . ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})\cong \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$

Generalización

Local systems have a mild generalization to constructible sheaves -- a constructible sheaf on a locally path connected topological space ${\displaystyle X}$ is a sheaf ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ such that there exists a stratification of

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }}$

where ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}}$ is a local system. These are typically found by taking the cohomology of the derived pushforward for some continuous map ${\displaystyle f:X\to Y}$. For example, if we look at the complex points of the morphism

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(stf(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])}$

then the fibers over

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

are the smooth plane curve given by ${\displaystyle f}$, but the fibers over ${\displaystyle \mathbb {V} }$ are ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. If we take the derived pushforward ${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$ then we get a constructible sheaf. Over ${\displaystyle \mathbb {V} }$ we have the local systems

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

while over ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$ we have the local systems

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle g}$ is the genus of the plane curve (which is ${\displaystyle g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2}$).

Applications

The cohomology with local coefficients in the module corresponding to the orientation covering can be used to formulate Poincaré duality for non-orientable manifolds: see Twisted Poincaré duality.

See also

• Leray spectral sequence
• Gauss–Manin connection
• D-module
• Intersection homology
• Perverse sheaf

References

1. Steenrod, Norman E. (1943). "Homology with local coefficients". Annals of Mathematics. 44 (4): 610–627. doi:10.2307/1969099. MR 0009114.
2. Milne, James S. (2017). Introduction to Shimura Varieties. Proposition 14.7.
3. Bredon, Glen E. (1997). Sheaf Theory, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics, vol. 25, Springer-Verlag. Chapter III, Theorem 1.1.
4. Hatcher, Allen (2001). Algebraic Topology, Cambridge University Press. Section 3.H.

External links

• "What local system really is". Stack Exchange.
• Schnell, Christian. "Computing Cohomology of Local Systems" (PDF). Discusses computing the cohomology with coefficients in a local system by using the twisted de Rham complex.
• Williamson, Geordie. "An illustrated guide to perverse sheaves" (PDF).
• MacPherson, Robert (December 15, 1990). "Intersection homology and perverse sheaves" (PDF).
• El Zein, Fouad; Snoussi, Jawad. "Local systems and constructible sheaves" (PDF).