Estratificación (matemáticas)

La estratificación tiene varios usos en matemáticas.

En lógica matemática

En lógica matemática , la estratificación es cualquier asignación consistente de números a símbolos predicativos que garantice que existe una interpretación formal única de una teoría lógica. En concreto, decimos que un conjunto de cláusulas de la forma está estratificado si y solo si existe una asignación de estratificación S que cumpla las siguientes condiciones: ${\displaystyle Q_{1}\wedge \dots \wedge Q_{n}\wedge \neg Q_{n+1}\wedge \dots \wedge \neg Q_{n+m}\rightarrow P}$

1. Si un predicado P se deriva positivamente de un predicado Q (es decir, P es el encabezado de una regla y Q ocurre positivamente en el cuerpo de la misma regla), entonces el número de estratificación de P debe ser mayor o igual que el número de estratificación de Q, en resumen . ${\displaystyle S(P)\geq S(Q)}$
2. Si un predicado P se deriva de un predicado negado Q (es decir, P es el encabezado de una regla y Q aparece negativamente en el cuerpo de la misma regla), entonces el número de estratificación de P debe ser mayor que el número de estratificación de Q, en resumen . ${\displaystyle S(P)>S(Q)}$

La noción de negación estratificada conduce a una semántica operacional muy efectiva para programas estratificados en términos del punto fijo mínimo estratificado, que se obtiene aplicando iterativamente el operador de punto fijo a cada estrato del programa, desde el más bajo hacia arriba. La estratificación no solo es útil para garantizar la interpretación única de las teorías de la cláusula de Horn .

En una teoría de conjuntos específica

En los Nuevos Fundamentos (NF) y teorías de conjuntos relacionadas, se dice que una fórmula en el lenguaje de la lógica de primer orden con igualdad y pertenencia está estratificada si y solo si hay una función que envía cada variable que aparece en (considerada como un elemento de sintaxis) a un número natural (esto funciona igualmente bien si se utilizan todos los números enteros) de tal manera que cualquier fórmula atómica que aparezca en satisface y cualquier fórmula atómica que aparezca en satisface . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\in y}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma (x)+1=\sigma (y)}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma (x)=\sigma (y)}$

Resulta que basta con exigir que estas condiciones se cumplan sólo cuando ambas variables de una fórmula atómica están ligadas en el conjunto abstracto en consideración. Un conjunto abstracto que satisface esta condición más débil se dice que está débilmente estratificado . ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$

La estratificación de New Foundations se generaliza fácilmente a lenguajes con más predicados y con construcciones de términos. Cada predicado primitivo necesita tener desplazamientos requeridos especificados entre valores de en sus argumentos (ligados) en una fórmula (débilmente) estratificada. En un lenguaje con construcciones de términos, los términos mismos necesitan ser asignados valores bajo , con desplazamientos fijos de los valores de cada uno de sus argumentos (ligados) en una fórmula (débilmente) estratificada. Las construcciones de términos definidos se manejan prolijamente usando (posiblemente solo implícitamente) la teoría de descripciones: a un término (el x tal que ) se le debe asignar el mismo valor bajo que a la variable x. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\iota x.\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$

Una fórmula está estratificada si y sólo si es posible asignar tipos a todas las variables que aparecen en la fórmula de tal manera que tenga sentido en una versión TST de la teoría de tipos descrita en el artículo New Foundations , y esta es probablemente la mejor manera de entender la estratificación de New Foundations en la práctica.

La noción de estratificación puede extenderse al cálculo lambda ; esto se encuentra en los artículos de Randall Holmes.

Una motivación para el uso de la estratificación es abordar la paradoja de Russell , la antinomia que se considera que ha socavado la obra central de Frege Grundgesetze der Arithmetik (1902). Quine, Willard Van Orman (1963) [1961]. Desde un punto de vista lógico (2.ª ed.). Nueva York: Harper & Row . p. 90. LCCN  61-15277.

En topología

En la teoría de la singularidad , hay un significado diferente, el de una descomposición de un espacio topológico X en subconjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es una variedad topológica (de modo que, en particular, una estratificación define una partición del espacio topológico). Esta no es una noción útil cuando no tiene restricciones; pero cuando los diversos estratos están definidos por algún conjunto reconocible de condiciones (por ejemplo, estar localmente cerrados ) y encajan entre sí de manera manejable, esta idea se aplica a menudo en geometría. Hassler Whitney y René Thom definieron por primera vez las condiciones formales para la estratificación. Véase Estratificación de Whitney y espacio estratificado topológicamente .

En estadística

Véase muestreo estratificado .