Teorema de descomposición de Beilinson, Bernstein y Deligne

En matemáticas, especialmente en geometría algebraica , el teorema de descomposición de Beilinson, Bernstein y Deligne o teorema de descomposición de BBD es un conjunto de resultados relativos a la cohomología de variedades algebraicas . Originalmente fue una conjetura de Gelfand y MacPherson. ^[1]

Declaración

Descomposición para mapas adecuados y fluidos.

El primer caso del teorema de descomposición surge a través del teorema estricto de Lefschetz que proporciona isomorfismos, para un mapa adecuado suave de dimensión relativa d entre dos variedades proyectivas ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:R^{d-i}f_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} ).}$

Aquí está la clase fundamental de una sección de hiperplano , es la imagen directa (empuje hacia adelante) y es el n -ésimo funtor derivado de la imagen directa. Este functor derivado mide las cohomologías n -ésimas de , para . De hecho, el caso particular en el que Y es un punto equivale al isomorfismo ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle R^{n}f_{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\subset Y}$

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:H^{d-i}(X,\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}H^{d+i}(X,\mathbb {Q} ).}$

Este duro isomorfismo de Lefschetz induce isomorfismos canónicos

${\displaystyle Rf_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}\bigoplus _{i=-d}^{d}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} )[-d-i].}$

Además, los haces que aparecen en esta descomposición son sistemas locales , es decir, haces localmente libres de espacios Q -vectoriales, que además son semisimples, es decir, una suma directa de sistemas locales sin subsistemas locales no triviales. ${\displaystyle R^{d+i}f_{*}\mathbb {Q} }$

Descomposición para mapas adecuados.

El teorema de descomposición generaliza este hecho al caso de una aplicación adecuada, pero no necesariamente uniforme, entre variedades. En pocas palabras, los resultados anteriores siguen siendo válidos cuando la noción de sistemas locales es reemplazada por gavillas perversas . ${\displaystyle f:X\to Y}$

El teorema estricto de Lefschetz anterior toma la siguiente forma: ^{[3] [4]} hay un isomorfismo en la categoría derivada de gavillas en Y :

${\displaystyle {}^{p}H^{-i}(Rf_{*}\mathbb {Q} )\cong {}^{p}H^{+i}(Rf_{*}\mathbb {Q} ),}$

donde es el funtor derivado total de y es el i -ésimo truncamiento con respecto a la estructura t perversa . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle {}^{p}H^{i}}$

Además existe un isomorfismo

${\displaystyle Rf_{*}IC_{X}^{\bullet }\cong \bigoplus _{i}{}^{p}H^{i}(Rf_{*}IC_{X}^{\bullet })[-i].}$

donde los sumandos son haces perversos semisimples, lo que significa que son sumas directas de avances de haces de cohomología de intersección. ^[5]

Si X no es suave, entonces los resultados anteriores siguen siendo válidos cuando se reemplaza por el complejo de cohomología de intersección . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} [\dim X]}$ ${\displaystyle IC}$

Pruebas

El teorema de la descomposición fue demostrado por primera vez por Beilinson, Bernstein y Deligne. ^[6] Su prueba se basa en el uso de pesos en gavillas l-ádicas en característica positiva. Saito dio una prueba diferente utilizando módulos Hodge mixtos . De Cataldo y Migliorini dieron una prueba más geométrica, basada en la noción de mapas semipequeños . ^[7]

Para mapas semipequeños, el teorema de descomposición también se aplica a los motivos de Chow . ^[8]

Aplicaciones del teorema

Cohomología de un lápiz Lefschetz racional

Considere un morfismo racional de una variedad cuasiproyectiva suave dada por . Si establecemos el lugar de desaparición de as entonces hay un morfismo inducido . Podemos calcular la cohomología de la cohomología de la intersección de y restar la cohomología de la explosión a lo largo de . Esto se puede hacer usando la secuencia espectral perversa. ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [f_{1}(x):f_{2}(x)]}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}=Bl_{Y}(X)\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Bl_{Y}(X)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{2}^{l,m}=H^{l}(\mathbb {P} ^{1};{}^{\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}^{m}(IC_{\tilde {X}}^{\bullet }(\mathbb {Q} ))\Rightarrow IH^{l+m}({\tilde {X}};\mathbb {Q} )\cong H^{l+m}(X;\mathbb {Q} )}$

Teorema del ciclo invariante local

Sea un morfismo propio entre variedades algebraicas complejas tales que sea suave. Además, sea un valor regular de eso en una bola abierta B centrada en . Entonces el mapa de restricción ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y),\mathbb {Q} )=\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(B),\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y_{0}),\mathbb {Q} )^{\pi _{1,{\textrm {loc}}}}}$

es sobreyectivo, donde es el grupo fundamental de la intersección de con el conjunto de valores regulares de f . ^[9] ${\displaystyle \pi _{1,{\textrm {loc}}}}$ ${\displaystyle B}$

Referencias

1. Conjetura 2.10. de Sergei Gelfand y Robert MacPherson, Módulos Verma y células Schubert: un diccionario.
2. Deligne, Pierre (1968), "Théoreme de Lefschetz et critères de dégénérescent de suites spectrales", Publ. Matemáticas. Inst. Altos estudios de ciencia. , 35 : 107–126, doi : 10.1007/BF02698925, S2CID  121086388, Zbl  0159.22501
3. Beilinson, Bernstein & Deligne 1982, Théorème 6.2.10.. NB: Para ser precisos, la referencia es para la descomposición.
4. MacPherson 1990, Teorema 1.12. NB: Para ser precisos, la referencia es para la descomposición.
5. Beilinson, Bernstein y Deligne 1982, Théorème 6.2.5.
6. Beilinson, Alejandro A .; Bernstein, José ; Deligne, Pierre (1982). "Pervertidos Faisceaux". Astérisque (en francés). Société Mathématique de France, París. 100 .
7. de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2005). "La teoría de Hodge de mapas algebraicos". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 38 (5): 693–750. arXiv : matemáticas/0306030 . Código Bib : 2003 matemáticas ...... 6030D. doi :10.1016/j.ansens.2005.07.001. S2CID  54046571.
8. de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2004), "El motivo Chow de las resoluciones semipequeñas", Math. Res. Letón. , 11 (2–3): 151–170, arXiv : math/0204067 , doi : 10.4310/MRL.2004.v11.n2.a2, MR  2067464, S2CID  53323330
9. de Cataldo 2015, Teorema 1.4.1.

Artículos de encuesta

• de Cataldo, Mark (2015), Gavillas perversas y topología de variedades algebraicas Cinco conferencias en el PCMI 2015 (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 21 de noviembre de 2015 , consultado el 19 de agosto de 2017
• de Cataldo, Marcos; Milgiorini, Luca, El teorema de la descomposición, las gavillas perversas y la topología de las aplicaciones algebraicas (PDF)
• MacPherson, R. (1990). «Homología de intersección y gavillas perversas» (PDF) .

Referencias pedagógicas

• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki, módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación

Otras lecturas

• Teorema de descomposición de BBDG en nLab