Módulo Hodge mixto

Concepto matemático

En matemáticas, los módulos mixtos de Hodge son la culminación de la teoría de Hodge , las estructuras mixtas de Hodge , la cohomología de intersección y el teorema de descomposición , lo que produce un marco coherente para discutir variaciones de estructuras mixtas de Hodge degeneradas a través del formalismo de seis funtores . Esencialmente, estos objetos son un par de un módulo D filtrado junto con un haz perverso tal que el functor de la correspondencia Riemann-Hilbert envía a . Esto hace posible construir una estructura de Hodge en cohomología de intersección, uno de los problemas clave cuando se descubrió el tema. Esto fue resuelto por Morihiko Saito , quien encontró una manera de utilizar la filtración en un módulo D coherente como análogo de la filtración Hodge para una estructura Hodge. ^[1] Esto hizo posible dar una estructura de Hodge en una gavilla de cohomología de intersección, los objetos simples en la categoría abeliana de gavillas perversas. ${\displaystyle (M,F^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (M,F^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

estructura abstracta

Antes de entrar en los detalles esenciales de la definición de módulos Mixed Hodge, que es bastante elaborado, es útil tener una idea de lo que realmente proporciona la categoría de módulos Mixed Hodge. Dada una variedad algebraica compleja existe una categoría abeliana ^{[2] pg 339} con las siguientes propiedades funtoriales ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$

1. Existe un funtor fiel llamado funtor de racionalización. Esto da el haz perverso racional subyacente de un módulo de Hodge mixto. ${\displaystyle {\text{rat}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )}$
2. Hay un functor fiel que envía un módulo Hodge mixto a su módulo D subyacente ${\displaystyle {\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM}}(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})}$
3. Estos functores se comportan bien con respecto a la correspondencia de Riemann-Hilbert , lo que significa que para cada módulo de Hodge mixto hay un isomorfismo . ${\displaystyle DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha :{\text{rat}}_{X}(M)\otimes \mathbb {C} \xrightarrow {\sim } {\text{DR}}_{X}({\text{Dmod}}_{X}(M))}$

Además, existen las siguientes propiedades categóricas.

1. La categoría de módulos de Hodge mixtos sobre un punto es isomorfa a la categoría de estructuras de Hodge mixtas, ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}}$
2. Cada objeto admite una filtración de peso tal que cada morfismo conserva estrictamente la filtración de peso, los objetos clasificados asociados son semisimples y, en la categoría de módulos de Hodge mixtos sobre un punto, esto corresponde a la filtración de peso de una estructura de Hodge mixta. . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Gr}}_{k}^{W}(M)}$
3. Hay un funtor de dualización que eleva el funtor de dualización de Verdier en el que hay una involución en . ${\displaystyle \mathbb {D} _{X}}$ ${\displaystyle D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\textbf {MHM}}(X)}$

Para un morfismo de variedades algebraicas, los seis functores asociados en y tienen las siguientes propiedades ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle D^{b}{\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle D^{b}{\textbf {MHM}}(Y)}$

1. ${\displaystyle f_{!},f^{*}}$No aumente los pesos de un complejo de módulos Hodge mixtos. ${\displaystyle M^{\bullet }}$
2. ${\displaystyle f^{!},f_{*}}$No disminuya los pesos de un complejo de módulos Hodge mixtos. ${\displaystyle M^{\bullet }}$

Relación entre categorías derivadas

La categoría derivada de módulos Hodge mixtos está íntimamente relacionada con la categoría derivada de gavillas construibles equivalente a la categoría derivada de gavillas perversas. Esto se debe a que el funtor de racionalización es compatible con el funtor de cohomología de un complejo de módulos de Hodge mixtos. Al tomar la racionalización, existe un isomorfismo. ${\displaystyle D^{b}{\textbf {MHM}}(X)}$ ${\displaystyle D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )\cong D^{b}({\text{Perv}}(X;\mathbb {Q} ))}$ ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle M^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{rat}}_{X}(H^{k}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))}$

para la perversidad media . Nota ^{[2] pg 310} esta es la función enviando , que difiere del caso de pseudovariedades donde la perversidad es una función donde . Recuerde que esto se define como tomar la composición de truncamientos perversos con el functor de desplazamiento, por lo que ^{[2] pg 341} ${\displaystyle \mathbb {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} :2\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} (2k)=-k}$ ${\displaystyle \mathbb {p} :[2,n]\to \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} (2k)=\mathbf {p} (2k-1)=k-1}$

${\displaystyle {\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\leq 0}{\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\geq 0}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet })[+k])}$

Este tipo de configuración también se refleja en los funtores derivados de empujar y tirar y con ciclos cercanos y de desaparición , el funtor de racionalización los lleva a sus funtores perversos análogos en la categoría derivada de haces perversos. ${\displaystyle f_{!},f^{*},f^{!},f_{*}}$ ${\displaystyle \psi _{f},\phi _{f}}$

Módulos Tate y cohomología.

Aquí denotamos la proyección canónica a un punto por . Uno de los primeros módulos mixtos de Hodge disponibles es el objeto Tate de peso 0, denotado que se define como el retroceso de su objeto correspondiente en , por lo que ${\displaystyle p:X\to \{pt\}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})}$

${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}=p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg}}$

Tiene peso cero, por lo que corresponde al objeto Tate de peso 0 en la categoría de estructuras mixtas de Hodge. Este objeto es útil porque se puede utilizar para calcular las diversas cohomologías a través del formalismo de seis functores y darles una estructura de Hodge mixta. Estos se pueden resumir en la tabla ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{Hdg}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (0)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{*}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{c}^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{!}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}^{BM}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\end{matrix}}}$

Además, dada una integración cerrada, existe el grupo de cohomología local. ${\displaystyle i:Z\to X}$

${\displaystyle H_{Z}^{k}(X;\mathbb {Q} )=H^{k}(\{pt\},p_{*}i_{*}i^{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg})}$

Variaciones de estructuras mixtas de Hodge.

Para un morfismo de variedades, los mapas pushforward y dan variaciones degeneradas de estructuras mixtas de Hodge en . Para comprender mejor estas variaciones, se requiere el teorema de descomposición y la cohomología de intersección. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ ${\displaystyle f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}}$ ${\displaystyle Y}$

Cohomología de intersección

Una de las características definitorias de la categoría de módulos mixtos de Hodge es el hecho de que la cohomología de intersección se puede expresar en su lenguaje. Esto hace posible utilizar el teorema de descomposición para mapas de variedades. Para definir el complejo de intersección, sea la parte lisa abierta de una variedad . Entonces el complejo de intersección de se puede definir como ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle j:U\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle IC_{X}^{\bullet }\mathbb {Q} ^{Hdg}:=j_{!*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg}[d_{X}]}$

dónde

${\displaystyle j_{!*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})=\operatorname {Image} [j_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})\to j_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})]}$

como con gavillas perversas ^{[2] pg 311} . En particular, esta configuración se puede utilizar para mostrar los grupos de cohomología de intersección.

${\displaystyle IH^{k}(X)=H^{k}(p_{*}IC^{\bullet }{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$

tienen una estructura de Hodge de peso puro. ${\displaystyle k}$

Ver también

• Motivos mixtos (matemáticas)
• cohomología deligne

Referencias

1. "Estructura de Hodge mediante módulos $\mathcal{D}$ filtrados". www.numdam.org . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
2. Peters, C. (Chris) (2008). Estructuras mixtas de Hodge. Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6. OCLC  1120392435.

• Una guía para jóvenes sobre módulos mixtos de Hodge