Seis operaciones

Formalismo en álgebra homológica

En matemáticas , las seis operaciones de Grothendieck , que llevan el nombre de Alexander Grothendieck , son un formalismo en álgebra homológica , también conocido como formalismo de seis functores . ^[1] Originalmente surgió de las relaciones en cohomología étale que surgen de un morfismo de esquemas f  : X → Y . La idea básica fue que muchos de los hechos elementales que relacionaban la cohomología en X e Y eran consecuencias formales de un pequeño número de axiomas. Estos axiomas son válidos en muchos casos sin ninguna relación con el contexto original y, por lo tanto, sus consecuencias formales también son válidas. Desde entonces se ha demostrado que el formalismo de seis operaciones se aplica a contextos como módulos D en variedades algebraicas , haces en espacios topológicos localmente compactos y motivos .

las operaciones

Las operaciones son seis functores . Por lo general, estos son funtores entre categorías derivadas y, en realidad, también lo son funtores derivados izquierdo y derecho .

• la imagen directa ${\displaystyle f_{*}}$
• la imagen inversa ${\displaystyle f^{*}}$
• la imagen directa adecuada (o extraordinaria) ${\displaystyle f_{!}}$
• la imagen inversa adecuada (o extraordinaria) ${\displaystyle f^{!}}$
• producto tensor interno
• homón interno

Los functores y forman un par de functores adjuntos , al igual que y . ^[2] De manera similar, el producto tensorial interno se deja junto al Hom interno. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle f^{!}}$

Seis operaciones en cohomología étale.

Sea f  : X → Y un morfismo de esquemas. El morfismo f induce varios functores. Específicamente, proporciona funtores adjuntos f ^* y f _* entre las categorías de haces en X e Y , y proporciona el funtor f _! de imagen directa con el soporte adecuado. En la categoría derivada , Rf _! admite un adjunto derecho f ^! . Finalmente, cuando se trabaja con gavillas abelianas, hay un funtor producto tensorial ⊗ y un funtor Hom interno, y estos son adjuntos. Las seis operaciones son los functores correspondientes en la categoría derivada: Lf ^* , Rf _* , Rf _! , f ^! , ⊗ ^L y RHom .

Supongamos que nos restringimos a una categoría de poleas de torsión -ádicas, donde es coprimo a la característica de X y de Y. En SGA 4 III, Grothendieck y Artin demostraron que si f es suave de dimensión relativa d , entonces Lf ^* es isomorfo a f ^! (− d )[−2 d ] , donde (− d ) denota el d ésimo giro de Tate inverso y [−2 d ] denota un cambio de grado en −2 d . Además, supongamos que f está separada y es de tipo finito. Si g  : Y ′ → Y es otro morfismo de esquemas, si X ′ denota el cambio de base de X por g , y si f ′ y g ′ denotan los cambios de base de f y g por g y f , respectivamente, entonces existen isomorfismos naturales: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},}$

${\displaystyle Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.}$

Suponiendo nuevamente que f está separada y es de tipo finito, para cualquier objeto M en la categoría derivada de X y N en la categoría derivada de Y , existen isomorfismos naturales:

${\displaystyle (Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),}$

${\displaystyle \operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_{*}\operatorname {RHom} _{X}(M,f^{!}N),}$

${\displaystyle f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).}$

Si i es una inmersión cerrada de Z en S con inmersión abierta complementaria j , entonces se distingue un triángulo en la categoría derivada:

${\displaystyle Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],}$

donde los dos primeros mapas son la unidad y la unidad, respectivamente, de las adjunciones. Si Z y S son regulares, entonces existe un isomorfismo:

${\displaystyle 1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},}$

donde 1 _Z y 1 _S son las unidades de las operaciones del producto tensorial (que varían según la categoría de poleas de torsión -ádicas que se esté considerando). ${\displaystyle \ell }$

Si S es regular y g  : X → S , y si K es un objeto invertible en la categoría derivada en S con respecto a ⊗ ^L , entonces defina D _X como el funtor RHom(—, g ^! K ) . Entonces, para los objetos M y M ′ en la categoría derivada en X , las aplicaciones canónicas:

${\displaystyle M\to D_{X}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),}$

son isomorfismos. Finalmente, si f  : X → Y es un morfismo de S -esquemas, y si M y N son objetos en las categorías derivadas de X e Y , entonces existen isomorfismos naturales:

${\displaystyle D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).}$

Ver también

• Dualidad coherente
• Dualidad local de Grothendieck
• Funtores de imagen para gavillas
• Dualidad más verdier
• cambio de anillos

Referencias

1. Gallauer, Martín (2021). "Una introducción al formalismo de seis functores" (PDF) .
2. Fausk, H.; P. Hu; JP mayo (2003). "Isomorfismos entre adjuntos izquierdo y derecho" (PDF) . Aplicación de la teoría. Categoría. : 107–131. arXiv : matemáticas/0206079 . Código Bib : 2002 matemáticas ...... 6079F . Consultado el 6 de junio de 2013 .

• Laszlo, Yves; Olsson, Martín (2005). "Las seis operaciones para gavillas en pilas Artin I: coeficientes finitos". arXiv : matemáticas/0512097 .
• Ayoub, José. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des Cycles évanescents dans le monde motivique (PDF) (Tesis).
• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019). Categorías trianguladas de motivos mixtos . Monografías de Springer en Matemáticas. arXiv : 0912.2110 . doi :10.1007/978-3-030-33242-6. ISBN 978-3-030-33241-9. S2CID  115163824.
• Mebkhout, Zoghman (1989). El formalismo de las seis operaciones de Grothendieck para los módulos D _X coherentes . Trabajos en curso. vol. 35. París: Hermann. ISBN 2-7056-6049-6.

enlaces externos

• seis operaciones en el n Lab
• ¿Qué unifica (si es que hay algo) la teoría de la homotopía estable y el formalismo de seis funtores de Grothendieck?