Homología de intersección

En topología , una rama de las matemáticas , la homología de intersección es un análogo de la homología singular especialmente adecuado para el estudio de espacios singulares , descubierto por Mark Goresky y Robert MacPherson en el otoño de 1974 y desarrollado por ellos durante los años siguientes.

Se utilizó la cohomología de intersección para probar las conjeturas de Kazhdan-Lusztig y la correspondencia de Riemann-Hilbert . Está estrechamente relacionado con la cohomología L 2 .

Enfoque de Goresky-MacPherson

Los grupos de homología de una variedad X compacta , orientada , conexa y de n dimensiones tienen una propiedad fundamental llamada dualidad de Poincaré : hay un emparejamiento perfecto.

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Q} )\times H_{n-i}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} .}$

Clásicamente –remontándonos, por ejemplo, a Henri Poincaré– esta dualidad se entendía en términos de la teoría de la intersección . un elemento de

${\displaystyle H_{j}(X)}$

está representado por un ciclo j -dimensional. Si un ciclo i -dimensional y uno -dimensional están en posición general , entonces su intersección es una colección finita de puntos. Utilizando la orientación de X se puede asignar a cada uno de estos puntos un signo; en otras palabras, la intersección produce un ciclo de dimensión 0 . Se puede demostrar que la clase de homología de este ciclo depende sólo de las clases de homología de los ciclos originales i y -dimensionales; Además, se puede demostrar que este binomio es perfecto . ${\displaystyle (n-i)}$ ${\displaystyle (n-i)}$

Cuando X tiene singularidades (es decir, cuando el espacio tiene lugares que no se parecen) , estas ideas se desmoronan. Por ejemplo, ya no es posible entender la noción de "posición general" de los ciclos. Goresky y MacPherson introdujeron una clase de ciclos "permitidos" para los cuales la posición general tiene sentido. Introdujeron una relación de equivalencia para los ciclos permitidos (donde sólo los "límites permitidos" son equivalentes a cero) y llamaron al grupo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle IH_{i}(X)}$

de ciclos i -dimensionales permitidos módulo esta relación de equivalencia "homología de intersección". Además, demostraron que la intersección de un ciclo permisible de i y de dimensión da un ciclo cero (ordinario) cuya clase de homología está bien definida. ${\displaystyle (n-i)}$

Estratificaciones

La homología de intersección se definió originalmente en espacios adecuados con una estratificación , aunque los grupos a menudo resultan ser independientes de la elección de la estratificación. Existen muchas definiciones diferentes de espacios estratificados. Uno conveniente para la homología de intersección es una pseudovariedad topológica n -dimensional . Este es un espacio X ( paracompacto , Hausdorff ) que tiene una filtración

${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X}$

de X por subespacios cerrados tales que:

• Para cada i y para cada punto x de , existe una vecindad de x en X , un espacio estratificado de dimensión compacta L y un homeomorfismo que preserva la filtración . Aquí está el cono abierto en L. ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle (n-i-1)}$ ${\displaystyle U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL}$ ${\displaystyle CL}$
• ${\displaystyle X_{n-1}=X_{n-2}}$.
• ${\displaystyle X\setminus X_{n-1}}$es denso en X .

Si X es una pseudovariedad topológica, el estrato i -dimensional de X es el espacio . ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$

Ejemplos:

• Si X es un complejo simplicial n -dimensional tal que cada simplex está contenido en un n -simplex y n −1 simplex está contenido en exactamente dos n -simplex, entonces el espacio subyacente de X es una pseudovariedad topológica.
• Si X es una variedad cuasiproyectiva compleja (posiblemente con singularidades), entonces su espacio subyacente es una pseudovariedad topológica, con todos los estratos de dimensión par.

Perversidades

Los grupos de homología de intersección dependen de una elección de perversidad , que mide hasta qué punto se permite que los ciclos se desvíen de la transversalidad. (El origen del nombre "perversidad" fue explicado por Goresky (2010).) Una perversidad es una función ${\displaystyle I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z} }$

de números enteros a números enteros tales que ${\displaystyle \geq 2}$

• ${\displaystyle \mathbf {p} (2)=0}$.
• ${\displaystyle \mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}}$.

La segunda condición se utiliza para mostrar la invariancia de los grupos de homología de intersección bajo cambio de estratificación.

La perversidad complementaria de es la que tiene ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2}$.

Los grupos de homología de intersección de dimensión complementaria y perversidad complementaria están dualmente emparejados.

Ejemplos de perversidades

• La mínima perversidad tiene . Su complemento es la perversidad máxima con . ${\displaystyle p(k)=0}$ ${\displaystyle q(k)=k-2}$
• La perversidad media (inferior) m está definida por , la parte entera de . Su complemento es la perversidad media alta, con valores . Si no se especifica la perversidad, generalmente se entiende la perversidad media baja. Si un espacio se puede estratificar con todos los estratos de dimensión par (por ejemplo, cualquier variedad compleja), entonces los grupos de homología de intersección son independientes de los valores de la perversidad en números enteros impares, por lo que las perversidades medias superior e inferior son equivalentes. ${\displaystyle m(k)=[(k-2)/2]}$ ${\displaystyle (k-2)/2}$ ${\displaystyle [(k-1)/2]}$

Homología de intersección singular

Fijar una pseudovariedad topológica X de dimensión n con cierta estratificación y una perversidad p .

Una aplicación σ del estándar i -simplex a X (un simplex singular) se considera permisible si ${\displaystyle \Delta ^{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(X_{n-k}\setminus X_{n-k-1}\right)}$

está contenido en el esqueleto de . ${\displaystyle i-k+p(k)}$ ${\displaystyle \Delta ^{i}}$

El complejo es un subcomplejo del complejo de cadenas singulares en X que consta de todas las cadenas singulares de modo que tanto la cadena como su límite son combinaciones lineales de símplex singulares permitidos. Los grupos de homología de intersección singular (con perversidad p ) ${\displaystyle I^{p}(X)}$

${\displaystyle I^{p}H_{i}(X)}$

son los grupos de homología de este complejo.

Si X tiene una triangulación compatible con la estratificación, entonces los grupos de homología de intersección simple se pueden definir de manera similar y son naturalmente isomórficos a los grupos de homología de intersección singular.

Los grupos de homología de intersección son independientes de la elección de estratificación de X.

Si X es una variedad topológica, entonces los grupos de homología de intersección (para cualquier perversidad) son los mismos que los grupos de homología habituales.

Pequeñas resoluciones

Una resolución de singularidades

${\displaystyle f:X\to Y}$

de una variedad compleja Y se llama resolución pequeña si para cada r > 0, el espacio de puntos de Y donde la fibra tiene dimensión r es de codimensión mayor que 2 r . En términos generales, esto significa que la mayoría de las fibras son pequeñas. En este caso, el morfismo induce un isomorfismo desde la homología (de intersección) de X hasta la homología de intersección de Y (con la perversidad media).

Existe una variedad con dos resoluciones pequeñas diferentes que tienen diferentes estructuras de anillo en su cohomología, lo que muestra que, en general, no existe una estructura de anillo natural en la (co)homología de intersección.

teoría de la gavilla

La fórmula de Deligne para la cohomología de intersección establece que

${\displaystyle I^{p}H_{n-i}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))}$

donde está el complejo de intersección, un cierto complejo de gavillas construibles en X (considerado como un elemento de la categoría derivada, por lo que la cohomología de la derecha significa la hipercohomología del complejo). El complejo se obtiene comenzando con la gavilla constante en el conjunto abierto y extendiéndola repetidamente a conjuntos abiertos más grandes y luego truncándola en la categoría derivada; más precisamente está dado por la fórmula de Deligne ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$

${\displaystyle IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}\mathbf {R} i_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}\mathbf {R} i_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}\mathbf {R} i_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$

donde es un funtor de truncamiento en la categoría derivada, es la inclusión de en y es la gavilla constante en . ^[1] ${\displaystyle \tau _{\leq p}}$ ${\displaystyle i_{k}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Al reemplazar la gavilla constante con un sistema local, se puede usar la fórmula de Deligne para definir la cohomología de intersección con coeficientes en un sistema local. ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Ejemplos

Dada una curva elíptica suave definida por un polinomio cúbico homogéneo , ^[2] como , el cono afín tiene una singularidad aislada en el origen ya que todas las derivadas parciales desaparecen. Esto se debe a que es homogéneo de grado y las derivadas son homogéneas de grado 2. En el entorno y en el mapa de inclusión, el complejo de intersección se da como ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle \partial _{i}f(0)=0}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle U=\mathbb {V} (f)-\{0\}}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$

$${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}}$$

${\displaystyle p\in \mathbb {V} (f)}$ ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0}$

$${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}=\mathop {\underset {V\subset U}{\text{colim}}} H^{k}(V;\mathbb {Q} )}$$

paquete hiperplanosecuencia de Wang ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i(V)}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H^{k}(U;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{0}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\H^{1}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{2}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle p=0}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}}$$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}}$ ${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{0}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\\{\mathcal {H}}^{1}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{i}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&0&{\text{for }}i\neq 0,1\end{matrix}}}$$

Propiedades del complejo IC( X )

El complejo IC _p ( X ) tiene las siguientes propiedades

• En el complemento de algún conjunto cerrado de codimensión 2, tenemos

${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$es 0 para i + m ≠ 0, y para i = − m los grupos forman el sistema local constante C

• ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$es 0 para i  +  m  < 0
• Si i  > 0 entonces es cero excepto en un conjunto de codimensión al menos a para la a más pequeña con p ( a ) ≥  m  −  i ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$
• Si i > 0 entonces es cero excepto en un conjunto de codimensión al menos a para la a más pequeña con q ( a ) ≥ ( i ) ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})}$

Como es habitual, q es la perversidad complementaria de p . Además, el complejo se caracteriza únicamente por estas condiciones, hasta el isomorfismo en la categoría derivada. Las condiciones no dependen de la elección de la estratificación, por lo que esto muestra que la cohomología de intersección tampoco depende de la elección de la estratificación.

La dualidad de Verdier lleva IC _p a IC _q desplazado por n  = dim( X ) en la categoría derivada.

Ver también

• Teorema de descomposición
• Homología de Borel-Moore
• Espacio topológicamente estratificado
• Teoría de la intersección
• gavilla perversa
• Estructura mixta de Hodge

Referencias

1. Advertencia: existe más de una convención sobre la forma en que la perversidad entra en la construcción de Deligne: los números a veces se escriben como . ${\displaystyle p(k)-n}$ ${\displaystyle p(k)}$
2. Teoría de Hodge (PDF) . E. Cattani, Fouad El Zein, Phillip Griffiths, Dũng Tráng Lê., eds. Princeton. 21 de julio de 2014. ISBN 978-0-691-16134-1. OCLC  861677360. Archivado desde el original el 15 de agosto de 2020.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link), págs. 281-282

• Armand Borel , Cohomología de intersección . Progreso en matemáticas, Birkhauser Boston ISBN 0-8176-3274-3 
• Mark Goresky y Robert MacPherson, La dualité de Poincaré pour les espaces singuliers. CR Acad. Ciencia. t. 284 (1977), págs. 1549-1551 Serie A.
• Goresky, Mark (2010), ¿Cuál es la etimología del término "gavilla perversa"?
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Teoría de la homología de intersección , Topología 19 (1980), no. 2, 135–162. doi :10.1016/0040-9383(80)90003-8
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Homología de intersección. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), núm. 1, 77-129. 10.1007/BF01389130 MR 0696691 Esto proporciona un enfoque teórico de la gavilla a la cohomología de intersección.
• Frances Kirwan, Jonathan Woolf, Introducción a la teoría de la homología de intersección ISBN 1-58488-184-4 
• Kleiman, Steven. El desarrollo de la teoría de la homología de intersección. Un siglo de matemáticas en América, parte II, Hist. Matemáticas. 2, americano. Matemáticas. Soc., 1989, págs. 543–585.
• "Homología de intersección", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

enlaces externos

• ¿Cuál es la etimología del término "gavilla perversa"? (incluye discusión sobre la etimología del término "homología de intersección") – MathOverflow