Teorema de descomposición de Beilinson, Bernstein y Deligne

En matemáticas, especialmente en geometría algebraica , el teorema de descomposición de Beilinson, Bernstein y Deligne o teorema de descomposición BBD es un conjunto de resultados relativos a la cohomología de variedades algebraicas . Fue conjeturado originalmente por Gelfand y MacPherson. ^[1]

Declaración

Descomposición para mapas adecuados y suaves

El primer caso del teorema de descomposición surge a través del teorema de Lefschetz duro que da isomorfismos, para una función propia suave de dimensión relativa d entre dos variedades proyectivas ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:R^{d-i}f_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} ).}$

Aquí está la clase fundamental de una sección de hiperplano , es la imagen directa (pushforward) y es el n -ésimo funtor derivado de la imagen directa. Este funtor derivado mide las n -ésimas cohomologías de , para . De hecho, el caso particular cuando Y es un punto, equivale al isomorfismo ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle R^{n}f_{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\subset Y}$

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:H^{d-i}(X,\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}H^{d+i}(X,\mathbb {Q} ).}$

Este isomorfismo duro de Lefschetz induce isomorfismos canónicos

${\displaystyle Rf_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}\bigoplus _{i=-d}^{d}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} )[-d-i].}$

Además, los haces que aparecen en esta descomposición son sistemas locales , es decir, haces localmente libres de espacios vectoriales Q , que además son semisimples, es decir, una suma directa de sistemas locales sin subsistemas locales no triviales. ${\displaystyle R^{d+i}f_{*}\mathbb {Q} }$

Descomposición para mapas adecuados

El teorema de descomposición generaliza este hecho al caso de una función propia, pero no necesariamente uniforme, entre variedades. En pocas palabras, los resultados anteriores siguen siendo válidos cuando se reemplaza la noción de sistemas locales por haces perversos . ${\displaystyle f:X\to Y}$

El teorema duro de Lefschetz anterior toma la siguiente forma: ^{[3] [4]} hay un isomorfismo en la categoría derivada de haces en Y :

${\displaystyle {}^{p}H^{-i}(Rf_{*}\mathbb {Q} )\cong {}^{p}H^{+i}(Rf_{*}\mathbb {Q} ),}$

donde es el funtor derivado total de y es el i -ésimo truncamiento con respecto a la t-estructura perversa . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle {}^{p}H^{i}}$

Además, existe un isomorfismo

${\displaystyle Rf_{*}IC_{X}^{\bullet }\cong \bigoplus _{i}{}^{p}H^{i}(Rf_{*}IC_{X}^{\bullet })[-i].}$

donde los sumandos son haces perversos semisimples, lo que significa que son sumas directas de empujes hacia delante de haces de cohomología de intersección. ^[5]

Si X no es suave, entonces los resultados anteriores siguen siendo verdaderos cuando se reemplaza por el complejo de cohomología de intersección . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} [\dim X]}$ ${\displaystyle IC}$

Pruebas

El teorema de descomposición fue demostrado por primera vez por Beilinson, Bernstein y Deligne. ^[6] Su prueba se basa en el uso de pesos en haces l-ádicos en característica positiva. Saito dio una prueba diferente utilizando módulos de Hodge mixtos . De Cataldo y Migliorini dieron una prueba más geométrica, basada en la noción de mapas semipequeños . ^[7]

Para mapas semipequeños, el teorema de descomposición también se aplica a los motivos de Chow . ^[8]

Aplicaciones del teorema

Cohomología de un lápiz Lefschetz racional

Consideremos un morfismo racional de una variedad cuasi-proyectiva suave dada por . Si fijamos el lugar geométrico de desaparición de como entonces hay un morfismo inducido . Podemos calcular la cohomología de a partir de la cohomología de intersección de y restando la cohomología de la ampliación a lo largo de . Esto se puede hacer utilizando la secuencia espectral perversa ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [f_{1}(x):f_{2}(x)]}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}=Bl_{Y}(X)\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Bl_{Y}(X)}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{2}^{l,m}=H^{l}(\mathbb {P} ^{1};{}^{\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}^{m}(IC_{\tilde {X}}^{\bullet }(\mathbb {Q} ))\Rightarrow IH^{l+m}({\tilde {X}};\mathbb {Q} )\cong H^{l+m}(X;\mathbb {Q} )}$

Teorema del ciclo invariante local

Sea un morfismo propio entre variedades algebraicas complejas tal que sea suave. Además, sea un valor regular de que esté en una bola abierta B centrada en . Entonces la función de restricción ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y),\mathbb {Q} )=\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(B),\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y_{0}),\mathbb {Q} )^{\pi _{1,{\textrm {loc}}}}}$

es sobreyectiva, donde es el grupo fundamental de la intersección de con el conjunto de valores regulares de f . ^[9] ${\displaystyle \pi _{1,{\textrm {loc}}}}$ ${\displaystyle B}$

Referencias

1. Conjetura 2.10. de Sergei Gelfand y Robert MacPherson, Módulos de Verma y células de Schubert: un diccionario.
2. Deligne, Pierre (1968), "Théoreme de Lefschetz et critères de dégénérescent de suites spectrales", Publ. Matemáticas. Inst. Altos estudios de ciencia. , 35 : 107–126, doi : 10.1007/BF02698925, S2CID  121086388, Zbl  0159.22501
3. Beilinson, Bernstein & Deligne 1982, Théorème 6.2.10.. NB: Para ser precisos, la referencia es para la descomposición.
4. MacPherson 1990, Teorema 1.12. NB: Para ser precisos, la referencia es para la descomposición.
5. Beilinson, Bernstein y Deligne 1982, Théorème 6.2.5.
6. Beilinson, Alejandro A .; Bernstein, José ; Deligne, Pierre (1982). "Pervertidos Faisceaux". Astérisque (en francés). 100 . Société Mathématique de France, París.
7. de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2005). "La teoría de Hodge de mapas algebraicos". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 38 (5): 693–750. arXiv : matemáticas/0306030 . Código Bib : 2003 matemáticas ...... 6030D. doi :10.1016/j.ansens.2005.07.001. S2CID  54046571.
8. de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2004), "El motivo Chow de resoluciones semipequeñas", Math. Res. Lett. , 11 (2–3): 151–170, arXiv : math/0204067 , doi :10.4310/MRL.2004.v11.n2.a2, MR  2067464, S2CID  53323330
9. de Cataldo 2015, Teorema 1.4.1.

Artículos de encuesta

• de Cataldo, Mark (2015), Haces perversos y la topología de variedades algebraicas Cinco conferencias en el PCMI 2015 (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2015-11-21 , recuperado 2017-08-19
• de Cataldo, Mark; Milgiorini, Luca, El teorema de descomposición, haces perversos y la topología de los mapas algebraicos (PDF)
• MacPherson, R. (1990). "Homología de intersección y haces perversos" (PDF) .

Referencias pedagógicas

• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki, módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación

Lectura adicional

• Teorema de descomposición BBDG en nLab