Hiperhomología

Generalización de (co)homología utilizando complejos de cadenas.

En álgebra homológica , la hiperhomología o hipercohomología ( ) es una generalización de funtores de (co)homología que toma como entrada no objetos en una categoría abeliana sino complejos en cadena de objetos, es decir, objetos en . Es una especie de cruce entre la cohomología del funtor derivado de un objeto y la homología de un complejo de cadena, ya que la hipercohomología corresponde al funtor de secciones globales derivado . ${\displaystyle \mathbb {H} _{*}(-),\mathbb {H} ^{*}(-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\text{Ch}}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)}$

La hiperhomología ya no se usa mucho: aproximadamente desde 1970 ha sido reemplazada en gran medida por el concepto aproximadamente equivalente de funtor derivado entre categorías derivadas .

Motivación

Una de las motivaciones de la hipercohomología proviene del hecho de que no existe una generalización obvia de secuencias exactas largas cohomológicas asociadas a secuencias exactas cortas.

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

es decir, hay una secuencia exacta larga asociada

${\displaystyle 0\to H^{0}(M')\to H^{0}(M)\to H^{0}(M'')\to H^{1}(M')\to \cdots }$

Resulta que la hipercohomología proporciona técnicas para construir una secuencia exacta larga asociada cohomológica similar a partir de una secuencia exacta larga arbitraria.

${\displaystyle 0\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots \to M_{k}\to 0}$

ya que sus entradas están dadas por complejos de cadenas en lugar de solo objetos de una categoría abeliana. Podemos convertir este complejo de cadenas en un triángulo distinguido (usando el lenguaje de categorías trianguladas en una categoría derivada)

${\displaystyle M_{1}\to [M_{2}\to \cdots \to M_{k-1}]\to M_{k}[-k+3]\xrightarrow {+1} }$

que denotamos por

${\displaystyle {\mathcal {M}}'_{\bullet }\to {\mathcal {M}}_{\bullet }\to {\mathcal {M}}''_{\bullet }\xrightarrow {+1} }$

Luego, al tomar secciones globales derivadas se obtiene una secuencia exacta larga, que es una secuencia exacta larga de grupos de hipercohomología. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)}$

Definición

Damos la definición de hipercohomología porque es más común. Como de costumbre, la hipercohomología y la hiperhomología son esencialmente lo mismo: uno convierte de una a otra mediante dualización, es decir, cambiando la dirección de todas las flechas, reemplazando objetos inyectivos por proyectivos, etc.

Supongamos que A es una categoría abeliana con suficientes inyectivos y F un funtor exacto izquierdo para otra categoría abeliana B. Si C es un complejo de objetos de A acotado por la izquierda, la hipercohomología

Hola ( C )^​

de C (para un número entero i ) se calcula de la siguiente manera:

1. Tomemos un cuasiisomorfismo Φ  : C  →  I , aquí I es un complejo de elementos inyectivos de A .
2. La hipercohomología H ⁱ ( C ) de C es entonces la cohomología H ⁱ ( F ( I ) ) del complejo F ( I ).

La hipercohomología de C es independiente de la elección del cuasiisomorfismo , hasta isomorfismos únicos.

La hipercohomología también se puede definir utilizando categorías derivadas : la hipercohomología de C es solo la cohomología de RF ( C ) considerada como un elemento de la categoría derivada de B.

Para complejos que desaparecen para índices negativos, la hipercohomología se puede definir como los funtores derivados de H ⁰ = FH ⁰ = H ⁰ F .

Las secuencias espectrales de hipercohomología.

Hay dos secuencias espectrales de hipercohomología ; uno con término E ₂

${\displaystyle R^{i}F(H^{j}(C))}$

y el otro con E ₁ término

${\displaystyle R^{j}F(C^{i})}$

y E ₂ término

${\displaystyle H^{i}(R^{j}F(C))}$

ambos convergiendo a la hipercohomología

${\displaystyle H^{i+j}(RF(C))}$,

donde R ^j F es un funtor derivado por la derecha de F .

Aplicaciones

Una aplicación de las secuencias espectrales de hipercohomología es el estudio de los gerbes . Recuerde que los paquetes de vectores de rango n en un espacio se pueden clasificar como el grupo de cohomología de Cech . La idea principal detrás de gerbes es extender esta idea cohomológicamente, por lo que en lugar de tomar algún funtor , consideramos el grupo de cohomología , por lo que clasifica objetos que están pegados por objetos en el grupo de clasificación original. Un tema estrechamente relacionado que estudia los gerbes y la hipercohomología es la cohomología de Deligne . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)}$

Ejemplos

• Para una variedad X sobre un campo k , la segunda secuencia espectral de arriba proporciona la secuencia espectral de Hodge-de Rham para la cohomología algebraica de Rham :

  ${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\Rightarrow \mathbf {H} ^{p+q}(X,\Omega _{X}^{\bullet })=:H_{DR}^{p+q}(X/k)}$.

• Otro ejemplo proviene del complejo logarítmico holomorfo en una variedad compleja. ^[1] Sea X una variedad algebraica compleja y una buena compactación. Esto significa que Y es una variedad algebraica compacta y es un divisor con cruces normales simples. La inclusión natural de complejos de gavillas. ${\displaystyle j:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle D=Y-X}$ ${\displaystyle Y}$
  ${\displaystyle \Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }}$

  resulta ser un cuasi-isomorfismo e induce un isomorfismo

  ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))}$.

Ver también

• Resolución Cartan-Eilenberg
• gerbe

Referencias

1. Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM (2008). Estructuras mixtas de Hodge . Springer Berlín, Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6.

• H. Cartan, S. Eilenberg, Álgebra homológica ISBN 0-691-04991-2 
• VI Danilov (2001) [1994], "Functor de hiperhomología", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• A. Grothendieck, Sur quelques point d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9 (1957) págs. 119-221