Functor derivado

Construcción homológica en la teoría de categorías

En matemáticas , ciertos funtores pueden derivarse para obtener otros funtores estrechamente relacionados con los originales. Esta operación, aunque bastante abstracta, unifica una serie de construcciones en toda la matemática.

Motivación

Se ha observado en diversos contextos que una secuencia exacta corta suele dar lugar a una "secuencia exacta larga". El concepto de funtores derivados explica y aclara muchas de estas observaciones.

Supongamos que se nos da un funtor covariante exacto por la izquierda F  : A → B entre dos categorías abelianas A y B . Si 0 → A → B → C → 0 es una secuencia exacta corta en A , entonces la aplicación de F produce la secuencia exacta 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) y uno podría preguntarse cómo continuar esta secuencia hacia la derecha para formar una secuencia exacta larga. Estrictamente hablando, esta pregunta está mal planteada, ya que siempre hay numerosas formas diferentes de continuar una secuencia exacta dada hacia la derecha. Pero resulta que (si A es lo suficientemente "amable") hay una forma canónica de hacerlo, dada por los funtores derivados por la derecha de F . Para cada i ≥1, hay un funtor R ⁱ F : A → B , y la secuencia anterior continúa así: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ... . De esto vemos que F es un funtor exacto si y solo si R ¹ F = 0; así que en cierto sentido los funtores derivados correctos de F miden "qué tan lejos" está F de ser exacto.

Si el objeto A en la secuencia corta exacta anterior es inyectivo , entonces la secuencia se divide . La aplicación de cualquier funtor aditivo a una secuencia dividida da como resultado una secuencia dividida, por lo que en particular R ¹ F ( A ) = 0. Los funtores derivados por la derecha (para i>0 ) son cero en inyectivos: esta es la motivación para la construcción que se da a continuación.

Construcción y primeras propiedades

La suposición crucial que debemos hacer acerca de nuestra categoría abeliana A es que tiene suficientes inyectivos , lo que significa que para cada objeto A en A existe un monomorfismo A → I donde I es un objeto inyectivo en A.

Los funtores derivados por la derecha del funtor covariante exacto por la izquierda F  : A → B se definen entonces de la siguiente manera. Empecemos con un objeto X de A . Como hay suficientes inyectivos, podemos construir una secuencia exacta larga de la forma

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

donde los I ⁱ son todos inyectivos (esto se conoce como una resolución inyectiva de X ). Aplicando el funtor F a esta secuencia y cortando el primer término, obtenemos el complejo de cadena 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

Nota: en general, esto ya no es una secuencia exacta. Pero podemos calcular su cohomología en el i -ésimo punto (el núcleo de la función de F ( I ⁱ ) módulo la imagen de la función a F ( I ⁱ )); llamamos al resultado R ⁱ F ( X ). Por supuesto, se deben verificar varias cosas: el resultado no depende de la resolución inyectiva dada de X , y cualquier morfismo X → Y produce naturalmente un morfismo R ⁱ F ( X ) → R ⁱ F ( Y ), de modo que obtenemos un funtor. Nótese que la exactitud por la izquierda significa que 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ¹ ) es exacto, por lo que R ⁰ F ( X ) = F ( X ), por lo que solo obtenemos algo interesante para i > 0.

(Técnicamente, para producir derivadas bien definidas de F , tendríamos que fijar una resolución inyectiva para cada objeto de A . Esta elección de resoluciones inyectivas produce entonces funtores R ⁱ F . Diferentes elecciones de resoluciones producen funtores naturalmente isomorfos , por lo que al final la elección realmente no importa.)

La propiedad antes mencionada de convertir secuencias exactas cortas en secuencias exactas largas es una consecuencia del lema de la serpiente . Esto nos dice que la colección de funtores derivados es un δ-funtor .

Si X es en sí mismo inyectivo, entonces podemos elegir la resolución inyectiva 0 → X → X → 0, y obtenemos que R ⁱ F ( X ) = 0 para todo i ≥ 1. En la práctica, este hecho, junto con la propiedad de secuencia exacta larga, se utiliza a menudo para calcular los valores de los funtores derivados por la derecha.

Una forma equivalente de calcular R ⁱ F ( X ) es la siguiente: tome una resolución inyectiva de X como la anterior, y sea K ⁱ la imagen de la función I ^{i -1} → I ⁱ (para i = 0, defina I ^{i -1} = 0), que es lo mismo que el núcleo de I ⁱ → I ^{i +1} . Sea φ _i  :  I ^{i -1} → K ⁱ la función sobreyectiva correspondiente. Entonces R ⁱ F ( X ) es el co-núcleo de F (φ _i ).

Variaciones

Si se parte de un funtor covariante exacto por la derecha G , y la categoría A tiene suficientes proyectivos (es decir, para cada objeto A de A existe un epimorfismo P → A donde P es un objeto proyectivo ), entonces se pueden definir análogamente los funtores derivados por la izquierda L _i G . Para un objeto X de A construimos primero una resolución proyectiva de la forma

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

donde los P _i son proyectivos. Aplicamos G a esta secuencia, eliminamos el último término y calculamos la homología para obtener L _i G ( X ). Como antes, L ₀ G ( X ) = G ( X ).

En este caso, la secuencia exacta larga crecerá "hacia la izquierda" en lugar de hacia la derecha:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

se convierte en

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$.

Los funtores derivados de la izquierda son cero en todos los objetos proyectivos.

También se puede empezar con un funtor contravariante exacto por la izquierda F ; los funtores derivados por la derecha resultantes también son contravariantes. La secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

se convierte en la secuencia larga y exacta

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

Estos funtores derivados de la izquierda son cero en proyectivos y, por lo tanto, se calculan mediante resoluciones proyectivas.

Ejemplos

• Si es una categoría abeliana, entonces su categoría de morfismos también es abeliana. El funtor que asigna cada morfismo a su núcleo es exacto a la izquierda. Sus funtores derivados a la derecha son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$ ${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Dualmente el funtor es exacto a la derecha y sus funtores derivados a la izquierda son ${\displaystyle \operatorname {coker} }$

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Esta es una manifestación del lema de la serpiente .

Homología y cohomología

Cohomología de gavillas

Si es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los haces de grupos abelianos en es una categoría abeliana con suficientes inyectivos. El funtor que asigna a cada uno de esos haces el grupo de secciones globales es exacto a la izquierda, y los funtores derivados a la derecha son los funtores de cohomología de haces , usualmente escritos como . Un poco más generalmente: si es un espacio anillado , entonces la categoría de todos los haces de -módulos es una categoría abeliana con suficientes inyectivos, y podemos nuevamente construir la cohomología de haces como los funtores derivados a la derecha del funtor de sección global. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Sh(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to Ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Hay varias nociones de cohomología que son un caso especial de esto:

• La cohomología de De Rham es la cohomología de haces del haz de funciones de valor localmente constante en una variedad . El complejo de De Rham es una resolución de este haz no por haces inyectivos, sino por haces finos . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• La cohomología de Étale es otra teoría de cohomología para haces sobre un esquema. Es el funtor derivado por la derecha de las secciones globales de haces abelianos en el sitio de Étale .

Funciones ext

Si es un anillo , entonces la categoría de todos los módulos izquierdos es una categoría abeliana con suficientes inyectivos. Si es un módulo izquierdo fijo , entonces el funtor es exacto a la izquierda y sus funtores derivados a la derecha son los funtores Ext . Alternativamente, también se puede obtener como el funtor derivado a la izquierda del funtor exacto a la derecha . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}}$

Varias nociones de cohomología son casos especiales de funtores Ext y, por lo tanto, también funtores derivados.

• La cohomología de grupo es el funtor derivado derecho del funtor invarianteque es el mismo que(dondees el módulo trivial) y por lo tanto. ${\displaystyle (-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)}$
• La cohomología del álgebra de Lie sobre un anillo conmutativoes el funtor derivado por la derecha del funtor invariante, que es el mismo que(dondees nuevamente elmódulo trivial yes el álgebra envolvente universal de). Por lo tanto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)}$
• La cohomología de Hochschild de alguna -álgebra es el funtor derivado por la derecha de invariantesque asigna un bimódulo a su centro, también llamado su conjunto de invariantes,que es el mismo que(dondees el álgebra envolvente deyse considera un-bimódulo a través de la multiplicación habitual por izquierda y derecha). Por lo tanto: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)}$ ${\displaystyle A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A)}$ ${\displaystyle HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)}$

Funciones de Tor

La categoría de módulos izquierdos también tiene suficientes proyectivos. Si es un módulo derecho fijo , entonces el producto tensorial con da un funtor covariante exacto derecho ; La categoría de módulos tiene suficientes proyectivos para que siempre existan funtores derivados izquierdos. Los funtores derivados izquierdos del funtor tensorial son los funtores Tor . Equivalentemente se pueden definir simétricamente como los funtores derivados izquierdos de . De hecho, se pueden combinar ambas definiciones y definir como el derivado izquierdo de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)}$ ${\displaystyle -\otimes B}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)}$ ${\displaystyle -\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab}$

Esto incluye varias nociones de homología como casos especiales. Esto suele reflejar la situación con los funtores Ext y la cohomología.

• La homología de grupo es el functor derivado izquierdo de tomar coinvariantesque es lo mismo que. ${\displaystyle (-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle k\otimes _{k[G]}-}$
• La homología del álgebra de Lie es el functor derivado izquierdo de tomar coinvariantesque es lo mismo que. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]}$ ${\displaystyle k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-}$
• La homología de Hochschild es el functor derivado izquierdo de tomar coinvariantesque es lo mismo que. ${\displaystyle (A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]}$ ${\displaystyle A\otimes _{A^{e}}-}$

En lugar de tomar funtores derivados izquierdos individuales, también se puede tomar el funtor derivado total del funtor tensorial. Esto da lugar al producto tensorial derivado , donde es la categoría derivada . ${\displaystyle -\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)}$ ${\displaystyle D}$

Naturalidad

Los funtores derivados y las secuencias largas y exactas son "naturales" en varios sentidos técnicos.

Primero, dado un diagrama conmutativo de la forma

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(donde las filas son exactas), las dos secuencias exactas largas resultantes están relacionadas mediante cuadrados conmutativos:

En segundo lugar, supongamos que η : F → G es una transformación natural del funtor exacto por la izquierda F al funtor exacto por la izquierda G . Entonces se inducen las transformaciones naturales R ⁱ η : R ⁱ F → R ⁱ G , y de hecho R ⁱ se convierte en un funtor de la categoría de funtores de todos los funtores exactos por la izquierda de A a B a la categoría de funtores completa de todos los funtores de A a B . Además, este funtor es compatible con las secuencias exactas largas en el siguiente sentido: si

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

es una secuencia exacta corta, luego un diagrama conmutativo

se induce.

Ambas naturalidades se derivan de la naturalidad de la secuencia proporcionada por el lema de la serpiente .

Por el contrario, se cumple la siguiente caracterización de los funtores derivados: dada una familia de funtores R ⁱ : A → B , que satisface lo anterior, es decir, que asigna secuencias exactas cortas a secuencias exactas largas, de modo que para cada objeto inyectivo I de A , R ⁱ ( I )=0 para cada i positivo , entonces estos funtores son los funtores derivados correctos de R ⁰ .

Generalización

El enfoque más moderno (y más general) de los funtores derivados utiliza el lenguaje de las categorías derivadas .

En 1968, Quillen desarrolló la teoría de categorías modelo , que dan un sistema abstracto de teoría de categorías de fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Normalmente, uno está interesado en la categoría de homotopía subyacente obtenida al localizar contra las equivalencias débiles. Una adjunción de Quillen es una adjunción entre categorías modelo que desciende a una adjunción entre las categorías de homotopía. Por ejemplo, la categoría de espacios topológicos y la categoría de conjuntos simpliciales admiten ambas estructuras modelo de Quillen cuya adjunción de nervio y realización da una adjunción de Quillen que es de hecho una equivalencia de categorías de homotopía. Los objetos particulares en una estructura modelo tienen "propiedades agradables" (con respecto a la existencia de elevaciones contra morfismos particulares), los objetos "fibrantes" y "cofibrantes", y cada objeto es débilmente equivalente a una "resolución" fibrante-cofibrante.

Aunque originalmente se desarrollaron para manejar la categoría de espacios topológicos, las estructuras del modelo de Quillen aparecen en numerosos lugares en matemáticas; en particular, la categoría de complejos de cadena de cualquier categoría abeliana (módulos, haces de módulos en un espacio topológico o esquema , etc.) admiten una estructura de modelo cuyas equivalencias débiles son aquellos morfismos entre complejos de cadena que preservan la homología. A menudo tenemos un funtor entre dos de esas categorías de modelo (por ejemplo, el funtor de secciones globales que envía un complejo de haces abelianos al complejo obvio de grupos abelianos) que preserva las equivalencias débiles *dentro de la subcategoría de objetos “buenos” (fibrantes o cofibrantes).* Al tomar primero una resolución fibrante o cofibrante de un objeto y luego aplicar ese funtor, lo hemos extendido con éxito a toda la categoría de tal manera que las equivalencias débiles siempre se preservan (y, por lo tanto, desciende a un funtor de la categoría de homotopía). Este es el “funtor derivado”. Los “funtores derivados” de la cohomología de haces, por ejemplo, son las homologías de la salida de este funtor derivado. Al aplicarlos a un haz de grupos abelianos interpretados de la manera obvia como un complejo concentrado en homología, miden la falla del funtor de secciones globales para preservar equivalencias débiles de tales, su falla de “exactitud”. La teoría general de estructuras modelo muestra la unicidad de esta construcción (que no depende de la elección de la resolución fibrante o cofibrante, etc.)

Referencias

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.