En matemáticas , los haces inyectivos de grupos abelianos se utilizan para construir las resoluciones necesarias para definir la cohomología de los haces (y otros funtores derivados , como los Ext de los haces ).
Hay otro grupo de conceptos relacionados aplicados a las gavillas : flácidos ( flasque en francés), finos , blandos ( mou en francés), acíclicos . En la historia del tema fueron introducidos antes del " artículo Tohoku " de 1957 de Alexander Grothendieck , que demostró que la noción de categoría abeliana de objeto inyectivo era suficiente para fundar la teoría. Las otras clases de gavillas son nociones históricamente más antiguas. El marco abstracto para definir la cohomología y los functores derivados no los necesita. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones concretas, las resoluciones mediante haces acíclicos suelen ser más fáciles de construir. Por lo tanto, las gavillas acíclicas sirven para fines computacionales, por ejemplo, la secuencia espectral de Leray .
Una gavilla inyectiva es una gavilla que es un objeto inyectivo de la categoría de gavillas abelianas; en otras palabras, los homomorfismos de a siempre se pueden extender a cualquier haz que contenga
La categoría de haces abelianos tiene suficientes objetos inyectivos: esto significa que cualquier haz es un subhaz de un haz inyectivo. Este resultado de Grothendieck se deriva de la existencia de un generador de la categoría (puede escribirse explícitamente y está relacionado con el clasificador de subobjetos ). Esto es suficiente para mostrar que existen funtores derivados por la derecha de cualquier funtor exacto por la izquierda y son únicos hasta el isomorfismo canónico.
Para fines técnicos, las poleas inyectivas suelen ser superiores a las otras clases de poleas mencionadas anteriormente: pueden hacer casi cualquier cosa que las otras clases puedan hacer y su teoría es más simple y general. De hecho, las gavillas inyectivas son flácidas ( flasque ), blandas y acíclicas. Sin embargo, hay situaciones en las que las otras clases de haces ocurren de forma natural, y esto es especialmente cierto en situaciones computacionales concretas.
El concepto dual, haces proyectivos , no se utiliza mucho, porque en una categoría general de haces no hay suficientes: no cada haz es el cociente de un haz proyectivo y, en particular, las resoluciones proyectivas no siempre existen. Este es el caso, por ejemplo, cuando se analiza la categoría de haces en el espacio proyectivo en la topología de Zariski. Esto causa problemas al intentar definir funtores derivados por la izquierda de un funtor exacto por la derecha (como Tor). A veces, esto se puede hacer por medios ad hoc: por ejemplo, los functores derivados por la izquierda de Tor se pueden definir usando una resolución plana en lugar de una proyectiva, pero se necesita algo de trabajo para demostrar que esto es independiente de la resolución. No todas las categorías de poleas se topan con este problema; por ejemplo, la categoría de haces en un esquema afín contiene suficientes proyectivos.
Una gavilla acíclica sobre X es aquella en la que todos los grupos de cohomología de gavillas superiores desaparecen.
Los grupos de cohomología de cualquier haz se pueden calcular a partir de cualquier resolución acíclica del mismo (esto se conoce con el nombre de teorema de De Rham-Weil ).
Una fina gavilla sobre X tiene " particiones de unidad "; más precisamente para cualquier cubierta abierta del espacio X podemos encontrar una familia de homomorfismos del haz a sí mismo con suma 1 tal que cada homomorfismo es 0 fuera de algún elemento de la cubierta abierta.
Las gavillas finas generalmente solo se usan sobre espacios X de Hausdorff paracompactos . Ejemplos típicos son el haz de gérmenes de funciones continuas de valor real sobre dicho espacio, o funciones suaves sobre una variedad suave (Hausdorff paracompacta), o módulos sobre estos haces de anillos. Además, las gavillas finas sobre espacios paracompactos de Hausdorff son suaves y acíclicas.
Se puede encontrar la resolución de una gavilla en una variedad lisa mediante gavillas finas utilizando la resolución de Alexander-Spanier. [1]
Como aplicación, considere una variedad real X. Existe la siguiente resolución de la gavilla constante mediante las gavillas finas de formas diferenciales (suaves) :
Se trata de una resolución, es decir, de un complejo exacto de haces según el lema de Poincaré . Por tanto , la cohomología de X con valores en puede calcularse como la cohomología del complejo de formas diferenciales definidas globalmente:
Una gavilla suave sobre X es aquella en la que cualquier sección sobre cualquier subconjunto cerrado de X puede extenderse a una sección global.
Las gavillas blandas son acíclicas sobre espacios de Hausdorff paracompactos.
Una gavilla flasque (también llamada gavilla flácida ) es una gavilla con la siguiente propiedad: si es el espacio topológico base sobre el cual se define la gavilla y
son subconjuntos abiertos , entonces el mapa de restricción
Es sobreyectivo , como un mapa de grupos ( anillos , módulos , etc.).
Las gavillas Flasque son útiles porque (por definición) sus secciones se extienden. Esto significa que son algunas de las gavillas más simples de manejar en términos de álgebra homológica . Cualquier haz tiene una incrustación canónica en el haz de flasque de todas las secciones posiblemente discontinuas del espacio étalé , y al repetir esto podemos encontrar una resolución de flasque canónica para cualquier haz. Las resoluciones de Flasque , es decir, las resoluciones mediante haces de Flasque, son un enfoque para definir la cohomología de las gavillas .
Las gavillas de Flasque son suaves y acíclicas.
Flasque es una palabra francesa que en ocasiones se ha traducido al inglés como flácido .
