Objeto inyectivo

Objeto matemático en la teoría de categorías

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de categorías , el concepto de objeto inyectivo es una generalización del concepto de módulo inyectivo . Este concepto es importante en cohomología , en teoría de homotopía y en la teoría de categorías modelo . La noción dual es la de objeto proyectivo .

Definición

Un objeto Q es inyectivo si, dado un monomorfismo f  : X → Y , cualquier g  : X → Q puede extenderse a Y .

Se dice que un objeto de una categoría es inyectivo si para cada monomorfismo y cada morfismo existe un morfismo que se extiende a , es decir tal que . ^[1] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:X\to Q}$ ${\displaystyle h:Y\to Q}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h\circ f=g}$

Es decir, cada morfismo se factoriza a través de cada monomorfismo . ${\displaystyle X\to Q}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

No es necesario que el morfismo en la definición anterior esté determinado de forma única por y . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

En una categoría localmente pequeña , es equivalente a requerir que el funtor hom lleve monomorfismos en mapas de conjuntos sobreyectivos . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

En categorías abelianas

La noción de inyectividad se formuló por primera vez para las categorías abelianas y esta sigue siendo una de sus principales áreas de aplicación. Cuando es una categoría abeliana, un objeto Q de es inyectivo si y solo si su funtor hom Hom _C (–, Q ) es exacto . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Si es una secuencia exacta en tal que Q es inyectiva, entonces la secuencia se divide . ${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Basta de inyectables y cascos inyectables

Se dice que la categoría tiene suficientes inyectivos si para cada objeto X de , existe un monomorfismo de X a un objeto inyectivo. ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Un monomorfismo g en se llama monomorfismo esencial si para cualquier morfismo f , el compuesto fg es un monomorfismo sólo si f es un monomorfismo. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Si g es un monomorfismo esencial con dominio X y un codominio inyectivo G , entonces G se denomina envoltura inyectiva de X . La envoltura inyectiva está entonces determinada de forma única por X hasta un isomorfismo no canónico. ^[1]

Ejemplos

• En la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupos , Ab , un objeto inyectivo es necesariamente un grupo divisible . Suponiendo el axioma de elección, las nociones son equivalentes.
• En la categoría de módulos (izquierda) y homomorfismos de módulos , R - Mod , un objeto inyectivo es un módulo inyectivo . R - Mod tiene envolturas inyectivas (como consecuencia, R - Mod tiene suficientes inyectivos).
• En la categoría de espacios métricos , Met , un objeto inyectivo es un espacio métrico inyectivo , y la envoltura inyectiva de un espacio métrico es su extensión estrecha .
• En la categoría de espacios T 0 y aplicaciones continuas , un objeto inyectivo es siempre una topología de Scott sobre una red continua , y por lo tanto siempre es sobrio y localmente compacto .

Usos

Si una categoría abeliana tiene suficientes inyectivas, podemos formar resoluciones inyectivas , es decir, para un objeto dado X podemos formar una secuencia larga y exacta.

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

y luego se pueden definir los funtores derivados de un funtor dado F aplicando F a esta secuencia y calculando la homología de la secuencia resultante (no necesariamente exacta). Este enfoque se utiliza para definir los funtores Ext y Tor y también las diversas teorías de cohomología en teoría de grupos , topología algebraica y geometría algebraica . Las categorías que se utilizan son típicamente categorías de funtores o categorías de haces de módulos O _X sobre algún espacio anillado ( X , O _X ) o, más generalmente, cualquier categoría de Grothendieck .

Generalización

Un objeto Q es H -inyectivo si, dado h  : A → B en H , cualquier f  : A → Q se factoriza a través de h .

Sea una categoría y sea una clase de morfismos de . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Se dice que un objeto de es -inyectivo si para cada morfismo y cada morfismo en existe un morfismo con . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f:A\to Q}$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle g:B\to Q}$ ${\displaystyle g\circ h=f}$

Si es la clase de monomorfismos , volvemos a los objetos inyectivos que se trataron anteriormente. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Se dice que la categoría tiene suficientes -inyectivos si para cada objeto X de , existe un -morfismo de X a un objeto -inyectivo. ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Un -morfismo g en se llama -esencial si para cualquier morfismo f , el compuesto fg está en sólo si f está en . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Si g es un morfismo -esencial con dominio X y un codominio -inyectivo G , entonces G se llama una envoltura -inyectiva de X . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ejemplos deyo-objetos inyectivos

• En la categoría de conjuntos simpliciales , los objetos inyectivos con respecto a la clase de extensiones anodinas son complejos Kan . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• En la categoría de conjuntos parcialmente ordenados y mapas monótonos , las redes completas forman los objetos inyectivos para la clase de incrustaciones de orden , y la compleción de Dedekind-MacNeille de un conjunto parcialmente ordenado es su envoltura -inyectiva. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Véase también

• Objeto proyectivo

Notas

1. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). "Sec. 9. Objetos inyectivos e incrustaciones esenciales". Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos (PDF) . Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías, n.º 17 (2006) pp. 1-507. original: John Wiley. pp. 147-155.

Referencias

• Jiri Adamek, Horst Herrlich, George Strecker. Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos, Capítulo 9, Objetos inyectivos e incrustaciones esenciales, Republicado en Reprints and Applications of Categories, No. 17 (2006) pp. 1-507, Wiley (1990).
• J. Rosicky, Inyectividad y categorías accesibles
• F. Cagliari y S. Montovani, T ₀ -reflexión y envolturas inyectivas de espacios de fibras