Fibración Kan

Mapa entre conjuntos simpliciales con propiedad de elevación.

En matemáticas, los complejos Kan y las fibraciones Kan forman parte de la teoría de conjuntos simpliciales . Las fibraciones Kan son las fibraciones de la estructura de categorías del modelo estándar en conjuntos simpliciales y, por lo tanto, son de fundamental importancia. Los complejos Kan son los objetos fibrantes en esta categoría de modelo. El nombre es en honor a Daniel Kan .

Definiciones

Definición del estándar n-símplex

El simplex rayado azul en el dominio tiene que existir para que este mapa sea una fibración Kan.

Para cada n  ≥ 0, recuerde que el estándar -simplex ${\displaystyle n}$ , es el conjunto simplicial representable ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

${\displaystyle \Delta ^{n}(i)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {\Delta } }([i],[n])}$

La aplicación del functor de realización geométrica a este conjunto simplicial da un espacio homeomorfo al estándar topológico -símplex ${\displaystyle n}$ : el subespacio convexo que consta de todos los puntos tales que las coordenadas no son negativas y suman 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})}$

Definición de cuerno

Para cada k  ≤  n , esto tiene un subcomplejo , el k -ésimo cuerno interior , correspondiente al límite del n -símplejo, con la k -ésima cara eliminada. Esto puede definirse formalmente de varias maneras, como por ejemplo la unión de las imágenes de los n mapas correspondientes a todas las demás caras de . ^[1] Los cuernos de la forma que se encuentra en el interior se parecen a la V negra en la parte superior de la imagen adyacente. Si es un conjunto simple, entonces mapea ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{2}}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\to X}$

corresponden a colecciones de -simplices que satisfacen una condición de compatibilidad, uno para cada uno . Explícitamente, esta condición se puede escribir de la siguiente manera. Escriba los -simplices como una lista y requiera que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1},s_{k+1},\dots ,s_{n})}$

${\displaystyle d_{i}s_{j}=d_{j-1}s_{i}\,}$para todos con . ^[2] ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i,j\neq k}$

Estas condiciones se cumplen para los simples de sentarse en el interior . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

Definición de fibración Kan

Diagrama de elevación para una fibración Kan.

Un mapa de conjuntos simpliciales es una fibración Kan si, para cualquier y , y para cualquier mapa y tal que (donde está la inclusión de en ), existe un mapa tal que y . Dicho de esta manera, la definición es muy similar a la de fibraciones en topología (ver también propiedad de elevación de homotopía ), de ahí el nombre "fibración". ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle y:\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$ ${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle s=x\circ i}$ ${\displaystyle y=f\circ x}$

Observaciones técnicas

Utilizando la correspondencia entre -simplices de un conjunto simplicial y morfismos (una consecuencia del lema de Yoneda ), esta definición se puede escribir en términos de simples. La imagen del mapa se puede considerar como una bocina, como se describe arriba. Pedir que los puntos pasen equivale a exigir que haya un -símplex en cuyas caras se forma el cuerno (junto con otra cara). Entonces el mapa requerido corresponde a un simplex en cuyas caras se incluye el cuerno de . El diagrama de la derecha es un ejemplo en dos dimensiones. Dado que la V negra en el diagrama inferior está completada por el simplex azul, si la V negra de arriba se asigna a él, entonces el simplex azul rayado tiene que existir, junto con el simplex azul punteado, mapeándose hacia abajo de la manera obvia. . ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle fs:\Lambda _{k}^{n}\to Y}$ ${\displaystyle fs}$ ${\displaystyle yi}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle fs}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

Complejos Kan definidos a partir de fibraciones Kan

Un conjunto simplicial se llama complejo Kan si el mapa de , el conjunto simplicial de un punto, es una fibración Kan. En la categoría de modelo para conjuntos simpliciales, es el objeto terminal, por lo que un complejo Kan es exactamente lo mismo que un objeto fibrante . De manera equivalente, esto podría expresarse como: si cada mapa desde una bocina tiene una extensión hasta , lo que significa que hay una elevación tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{*\}}$ ${\displaystyle \{*\}}$ ${\displaystyle \alpha :\Lambda _{k}^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}:\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \alpha ={\tilde {\alpha }}\circ \iota }$

para el mapa de inclusión , entonces es un complejo Kan. Por el contrario, todo complejo Kan tiene esta propiedad, por lo que proporciona una condición técnica simple para un complejo Kan. ${\displaystyle \iota :\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Conjuntos simpliciales de homología singular

Un ejemplo importante proviene de la construcción de simplices singulares utilizados para definir la homología singular , llamado funtor singular ^{[4] pg 7}

${\displaystyle S:{\text{Top}}\to s{\text{Sets}}}$.

Dado un espacio , defina un -símplex singular de X como un mapa continuo desde el -símplex topológico estándar (como se describe arriba) a , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

Tomando el conjunto de estos mapas para todos los no negativos se obtiene un conjunto graduado, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S(X)=\coprod _{n}S_{n}(X)}$.

Para convertir esto en un conjunto simple, defina mapas de caras por ${\displaystyle d_{i}:S_{n}(X)\to S_{n-1}(X)}$

${\displaystyle (d_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n-1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},0,t_{i},\dots ,t_{n-1})\,}$

y mapas de degeneración por ${\displaystyle s_{i}:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$.

Dado que la unión de cualquier cara de es una fuerte retracción de deformación de , cualquier función continua definida en estas caras se puede extender a , lo que demuestra que es un complejo de Kan. ^[5] ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle S(X)}$

Relación con la realización geométrica.

Vale la pena señalar que el funtor singular está justo al lado del funtor de realización geométrica.

${\displaystyle |\cdot |:s{\text{Sets}}\to {\text{Top}}}$

dando el isomorfismo

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Top}}(|X|,Y)\cong {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X,S(Y))}$

Conjuntos simpliciales subyacentes a grupos simpliciales

Se puede demostrar que el conjunto simplicial subyacente a un grupo simplicial es siempre fibrante ^{[4] pg 12} . En particular, para un grupo abeliano simplicial , su realización geométrica es homotópicamente equivalente a un producto de espacios de Eilenberg-Maclane.

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

En particular, esto incluye clasificar espacios . Entonces los espacios , y los espacios de lentes infinitos corresponden a complejos Kan de algún conjunto simple. De hecho, este conjunto se puede construir explícitamente utilizando la correspondencia Dold-Kan de un complejo de cadenas y tomando el conjunto simplicial subyacente del grupo abeliano simplicial. ${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$

Realizaciones geométricas de pequeños grupoides.

Otra fuente importante de ejemplos son los conjuntos simpliciales asociados a un pequeño grupoide . Esto se define como la realización geométrica del conjunto simplicial y normalmente se denota . También podríamos haberlo reemplazado con un grupoide infinito. Se conjetura que la categoría de homotopía de realizaciones geométricas de grupoides infinitos es equivalente a la categoría de homotopía de tipos de homotopía. Esto se llama hipótesis de homotopía. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

No ejemplo: estándar n-símplex

Resulta que el estándar -simplex no es un complejo Kan ^{[6] pg 38} . La construcción de un contraejemplo en general se puede encontrar observando un ejemplo de baja dimensión, por ejemplo . Tomando el mapa enviando ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{1}}$ ${\displaystyle \Lambda _{0}^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}[0,2]\mapsto [0,0]&[0,1]\mapsto [0,1]\end{matrix}}}$

da un ejemplo contrario, ya que no se puede extender a un mapa porque los mapas deben conservar el orden. Si hubiera un mapa, habría que enviarlo. ${\displaystyle \Delta ^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\end{aligned}}}$

pero éste no es un mapa de conjuntos simpliciales.

Propiedades categóricas

Enriquecimiento simple y complejos de funciones.

Para conjuntos simpliciales hay un conjunto simplicial asociado llamado función compleja , donde los simples se definen como ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}_{n}(X,Y)={\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times \Delta ^{n},Y)}$

y para un mapa ordinal hay un mapa inducido ${\displaystyle \theta :[m]\to [n]}$

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}}(X,Y)_{m}}$

(ya que el primer factor de Hom es contravariante) definido enviando un mapa a la composición ${\displaystyle f:X\times \Delta ^{n}\to Y}$

${\displaystyle X\times \Delta ^{m}\xrightarrow {1\times \theta } X\times \Delta ^{n}\xrightarrow {f} Y}$

ley exponencial

Este complejo tiene la siguiente ley exponencial de conjuntos simpliciales

${\displaystyle {\text{ev}}_{*}:{\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(K,{\textbf {Hom}}(X,Y))\to {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times K,Y)}$

que envía un mapa al mapa compuesto ${\displaystyle f:K\to {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle X\times K\xrightarrow {1\times g} X\times {\textbf {Hom}}(X,Y)\xrightarrow {ev} Y}$

donde se elevó al n-símplex . ^ ${\displaystyle ev(x,f)=f(x,\iota _{n})}$ ${\displaystyle \iota _{n}\in {\text{Hom}}_{\Delta }([n],[n])}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

Fibraciones Kan y pull-backs

Dada una fibración (Kan) y una inclusión de conjuntos simpliciales , existe una fibración ^{[4] pg 21} ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle i:K\hookrightarrow L}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*})} {\textbf {Hom}}(K,X)\times _{{\textbf {Hom}}(K,Y)}{\textbf {Hom}}(L,Y)}$

(donde está en la función compleja en la categoría de conjuntos simpliciales) inducida a partir del diagrama conmutativo ${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

donde está el mapa de retroceso dado por la composición previa y es el mapa de avance dado por la composición posterior. En particular, las fibraciones anteriores implican y son fibraciones. ${\displaystyle i^{*}}$ ${\displaystyle p_{*}}$ ${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$ ${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$

Aplicaciones

Grupos de homotopía de complejos Kan.

Los grupos de homotopía de un conjunto simplicial de fibrantes se pueden definir combinatoriamente, usando cuernos, de una manera que concuerde con los grupos de homotopía del espacio topológico que lo realiza. Para un complejo Kan y un vértice , un conjunto se define como el conjunto de aplicaciones de conjuntos simpliciales que encajan en un determinado diagrama conmutativo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ ${\displaystyle \alpha :\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=\left\{\alpha :\Delta ^{n}\to X:{\begin{matrix}\Delta ^{n}&{\overset {\alpha }{\to }}&X\\\uparrow &&\uparrow x\\\partial \Delta ^{n}&\to &\Delta ^{0}\end{matrix}}\right\}}$

Observe que el hecho de que se asigna a un punto es equivalente a la definición de la esfera como el cociente de la bola unitaria estándar. ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B^{n}/\partial B^{n}}$

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{eu}\leq 1\}}$

Definir la estructura del grupo requiere un poco más de trabajo. Esencialmente, dados dos mapas, hay un -simplice asociado que proporciona su suma. Este mapa está bien definido hasta clases de mapas de homotopía simple, lo que proporciona la estructura del grupo. Además, los grupos son abelianos para . Porque , se define como las clases de homotopía de mapas de vértices . ${\displaystyle \alpha ,\beta :\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \omega :\Delta ^{n+1}\to X}$ ${\displaystyle d_{n}\omega :\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$

Grupos de homotopía de conjuntos simpliciales.

Usando categorías de modelo, cualquier conjunto simplicial tiene un reemplazo de fibrante que es equivalente en homotopía a la categoría de homotopía de conjuntos simpliciales. Entonces, los grupos de homotopía de se pueden definir como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X}},{\hat {x}})}$

donde hay un ascensor de a . Estos reemplazos de fibrantes pueden considerarse como un análogo topológico de las resoluciones de un complejo de cadenas (como una resolución proyectiva o una resolución plana ). ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$

Ver también

• Categoría de modelo
• Teoría de la homotopía simple
• Categoría simplemente enriquecida
• Complejo Kan débil (también llamado cuasicategoría, ∞-categoría)
• ∞-grupoide
• Fibración de conjuntos simpliciales

Referencias

1. Ver Goerss y Jardine, página 7
2. Ver mayo, página 2
3. May utiliza esta definición simplista; ver página 25
4. , Paul G.; Jardín, John F. (2009). Teoría de la homotopía simple. Birkhäuser Basilea. ISBN 978-3-0346-0188-7. OCLC  837507571.
5. Ver mayo, página 3
6. Friedman, Greg (3 de octubre de 2016). "Una introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales". arXiv : 0809.4221 [matemáticas.AT].

• Una introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales.

Bibliografía

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simple . Basilea: Birkhäuser Basilea. doi :10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-0348-9737-2. SEÑOR  1711612.
• Mayo, J. Peter (1992) [1967]. Objetos simples en topología algebraica . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Chicago, IL: Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-51180-4. SEÑOR  1206474.