∞-grupoide

Modelo homotópico abstracto para espacios topológicos

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un ∞-grupoide es un modelo homotópico abstracto para espacios topológicos . Un modelo utiliza complejos Kan que son objetos fibrantes en la categoría de conjuntos simpliciales (con la estructura del modelo estándar ). ^[1] Es una generalización de ∞-categoría de un grupoide , una categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo .

La hipótesis de homotopía establece que los ∞-grupoides son equivalentes a espacios hasta la homotopía. ^{[2] : 2–3  [3]}

Grupoides globulares

Alexander Grothendieck sugirió en Pursuing Stacks ^{[2] : 3–4, 201} que debería haber un modelo extraordinariamente simple de ∞-grupoides usando conjuntos globulares , originalmente llamados complejos hemisféricos. Estos conjuntos se construyen como prehaces en la categoría globular . Esta se define como la categoría cuyos objetos son ordinales finitos y los morfismos están dados por tales que las relaciones globulares se mantienen Estos codifican el hecho de que los n -morfismos no deberían poder ver ( n  + 1)-morfismos. Al escribirlos como un conjunto globular , los mapas de origen y destino se escriben como También podemos considerar los objetos globulares en una categoría como funtores Originalmente, se esperaba que un modelo tan estricto fuera suficiente para la teoría de la homotopía, pero hay evidencia que sugiere lo contrario. Resulta que para su homotopía asociada, el tipo nunca puede modelarse como un grupoide globular estricto para . ^{[2] : 445  [4]} Esto se debe a que los ∞-grupoides estrictos solo modelan espacios con un producto Whitehead trivial . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle [n]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n}:[n]\to [n+1]\\\tau _{n}:[n]\to [n+1]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n+1}\circ \sigma _{n}&=\tau _{n+1}\circ \sigma _{n}\\\sigma _{n+1}\circ \tau _{n}&=\tau _{n+1}\circ \tau _{n}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X_{\bullet }:\mathbb {G} ^{op}\to {\text{Sets}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}=X_{\bullet }(\sigma _{n})\\t_{n}=X_{\bullet }(\tau _{n})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ $${\displaystyle X_{\bullet }\colon \mathbb {G} ^{op}\to {\mathcal {C}}.}$$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{\leq n}(S^{2})}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Ejemplos

Grupoide ∞ fundamental

Dado un espacio topológico debería existir un ∞-grupoide fundamental asociado donde los objetos son puntos , los 1-morfismos se representan como caminos , los 2-morfismos son homotopías de caminos, los 3-morfismos son homotopías de homotopías, y así sucesivamente. A partir de este ∞-grupoide podemos encontrar un -grupoide llamado -grupoide fundamental cuyo tipo de homotopía es el de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Pi _{\infty }X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi _{n}X}$ ${\displaystyle \pi _{\leq n}X}$

Nótese que al tomar el ∞-grupoide fundamental de un espacio tal que es equivalente al n -grupoide fundamental . Un espacio de este tipo se puede hallar utilizando la torre de Whitehead . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \pi _{>n}Y=0}$ ${\displaystyle \Pi _{n}Y}$

Grupoides globulares abelianos

Un caso útil de grupoides globulares proviene de un complejo de cadena que está acotado por encima, por lo tanto, consideremos un complejo de cadena . ^[6] Hay un grupoide globular asociado. Intuitivamente, los objetos son los elementos en , los morfismos provienen de a través del mapa del complejo de cadena , y los morfismos superiores se pueden encontrar a partir de los mapas del complejo de cadena superiores . Podemos formar un conjunto globular con y el morfismo de origen es el mapa de proyección y el morfismo de destino es la adición del mapa del complejo de cadena junto con el mapa de proyección. Esto forma un grupoide globular dando una amplia clase de ejemplos de grupoides globulares estrictos. Además, debido a que los grupoides estrictos se incrustan dentro de grupoides débiles, también pueden actuar como grupoides débiles. ${\displaystyle C_{\bullet }\in {\text{Ch}}_{\leq 0}({\text{Ab}})}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}:C_{1}\to C_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\bullet }}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} _{0}=&C_{0}\\\mathbb {C} _{1}=&C_{0}\oplus C_{1}\\&\cdots \\\mathbb {C} _{n}=&\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle s_{n}:\mathbb {C} _{n}\to \mathbb {C} _{n-1}}$ $${\displaystyle pr:\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\to \bigoplus _{k=0}^{n-1}C_{k}}$$ ${\displaystyle t_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$

Aplicaciones

Sistemas locales superiores

Uno de los teoremas básicos sobre los sistemas locales es que pueden describirse de manera equivalente como un funtor desde el grupoide fundamental hasta la categoría de grupos abelianos , la categoría de -módulos o alguna otra categoría abeliana . Es decir, un sistema local es equivalente a dar un funtor; generalizar tal definición requiere que consideremos no solo una categoría abeliana, sino también su categoría derivada . Un sistema local superior es entonces un ∞-funtor con valores en alguna categoría derivada. Esto tiene la ventaja de permitir que los grupos de homotopía superiores actúen sobre el sistema local superior, a partir de una serie de truncamientos. Un ejemplo de juguete para estudiar proviene de los espacios de Eilenberg-MacLane , o al observar los términos de la torre de Whitehead de un espacio. Idealmente, debería haber alguna manera de recuperar las categorías de los funtores a partir de sus truncamientos y los mapas cuyas fibras deberían ser las categorías de los -funtores. Otra ventaja de este formalismo es que permite construir formas superiores de representaciones -ádicas utilizando el tipo de homotopía étale de un esquema y construir representaciones superiores de este espacio, ya que están dadas por los funtores. ${\displaystyle \Pi X=\Pi _{\leq 1}X}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}:\Pi X\to {\text{Ab}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }X\to D({\text{Ab}})}$$ ${\displaystyle \pi _{n}X}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }X\to D({\text{Ab}})}$ ${\displaystyle \Pi _{n}X}$ ${\displaystyle \tau _{\leq n-1}:\Pi _{n}X\to \Pi _{n-1}X}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Pi _{n}(K(\pi _{n}X,n))\to D({\text{Ab}})}$$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}:{\hat {\pi (X)}}\to D({\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$$

Gerbes superiores

Otra aplicación de los ∞-grupoides es dar construcciones de n -gerbes y ∞-gerbes. Sobre un espacio un n -gerbe debería ser un objeto tal que cuando se restringe a un subconjunto suficientemente pequeño , se representa por un n -grupoide, y en superposiciones hay un acuerdo hasta cierta equivalencia débil. Suponiendo que la hipótesis de homotopía es correcta, esto es equivalente a construir un objeto tal que sobre cualquier subconjunto abierto es un n -grupo , o un n -tipo de homotopía . Debido a que el nervio de una categoría se puede utilizar para construir un tipo de homotopía arbitrario, un funtor sobre un sitio , p. ej. dará un ejemplo de un gerbe superior si la categoría que se encuentra sobre cualquier punto es una categoría no vacía. Además, se esperaría que esta categoría satisficiera algún tipo de condición de descendencia. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\to X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}|_{U}\to U}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\to X}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}|_{U}\to U}$$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ $${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {X}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$ ${\displaystyle U\in \operatorname {Ob} {\mathcal {X}}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Persiguiendo pilas
• n -grupo
• Grupoide
• Teoría de tipos de homotopía

Referencias

1. "Complejo Kan en nLab".
2. Grothendieck. "Persiguiendo pilas". thescrivener.github.io . Archivado (PDF) del original el 30 de julio de 2020. Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
3. Maltsiniotis, Georges (2010), Grupoides infinitos de Grothendieck y otra definición de categorías infinitas , arXiv : 1009.2331 , CiteSeerX 10.1.1.397.2664 
4. Simpson, Carlos (9 de octubre de 1998). "Tipos de homotopía de 3-grupoides estrictos". arXiv : math/9810059 .
5. Marrón, Ronald; Higgins, Philip J. (1981). "La equivalencia de $ \ infty $ -groupoides y complejos cruzados". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 22 (4): 371–386.
6. Ara, Dimitri (2010). Sur les ∞-groupoïdes de Grothendieck et una variante ∞-categorique (PDF) (Doctor). Universidad París Diderot. Sección 1.4.3. Archivado (PDF) desde el original el 19 de agosto de 2020.

Artículos de investigación

• Henry, Simon; Lanari, Edoardo (2019). "Sobre la hipótesis de homotopía en dimensión 3". arXiv : 1905.05625 [math.CT].
• Bourke, John (2016). "Nota sobre la construcción de omega-grupoides débiles globulares a partir de tipos, espacios topológicos, etc." arXiv : 1602.07962 [math.CT].
• Polesello, Pietro; Waschkies, Ingo (2004). "Monodromía superior". arXiv : math/0407507 .
• Hoyois, Marc (2015). "Teoría de Galois superior". arXiv : 1506.07155 [math.CT].

Aplicaciones en geometría algebraica

• Toën, Bertrand . "Tipos de homotopía de variedades algebraicas" (PDF) . CiteSeerX  10.1.1.607.9789 .

Enlaces externos

• grupoide infinito en el laboratorio n
• grupoide infinito fundamental en el laboratorio n
• Maltsiniotis, Georges (2010), "∞-grupoides de Grothendieck y otra definición de ∞-categorías", arXiv : 1009.2331 [math.CT]
• Zawadowski, Marek, Introducción a las categorías de prueba (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2015-03-26
• Lovering, Tom (2012), Cohomología de Etale y representaciones de Galois , CiteSeerX  10.1.1.394.9850