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Sistema local

En matemáticas , un sistema local (o un sistema de coeficientes locales ) en un espacio topológico X es una herramienta de la topología algebraica que interpola entre la cohomología con coeficientes en un grupo abeliano fijo A y la cohomología de haces general en la que los coeficientes varían de un punto a otro. Los sistemas de coeficientes locales fueron introducidos por Norman Steenrod en 1943. [1]

Los sistemas locales son los componentes básicos de herramientas más generales, como las poleas construibles y perversas .

Definición

Sea X un espacio topológico . Un sistema local (de grupos abelianos / módulos ...) en X es un haz localmente constante (de grupos abelianos/ de módulos ...) en X. En otras palabras, un haz es un sistema local si cada punto tiene un entorno abierto tal que el haz restringido es isomorfo a la gavillación de algún prehaz constante. [ aclaración necesaria ]

Definiciones equivalentes

Espacios conectados por caminos

Si X está conexo por trayectorias , [ aclaración necesaria ] un sistema local de grupos abelianos tiene el mismo tallo en cada punto. Existe una correspondencia biyectiva entre sistemas locales en X y homomorfismos de grupos

y lo mismo ocurre con los sistemas locales de módulos. El mapa que da el sistema local se denomina representación monodromía de .

Prueba de equivalencia

Tomemos un sistema local y un bucle en x . Es fácil demostrar que cualquier sistema local en es constante. Por ejemplo, es constante. Esto da un isomorfismo , es decir, entre y sí mismo. A la inversa, dado un homomorfismo , considérese el haz constante en la cubierta universal de X . Las secciones invariantes de la transformada de baraja de dan un sistema local en X . De manera similar, las secciones ρ - equivariantes de la transformada de baraja dan otro sistema local en X : para un conjunto abierto suficientemente pequeño U , se define como

¿Dónde está la cobertura universal?

Esto demuestra que (para X conexo por caminos) un sistema local es precisamente un haz cuyo retroceso a la cubierta universal de X es un haz constante.

Esta correspondencia puede actualizarse a una equivalencia de categorías entre la categoría de sistemas locales de grupos abelianos en X y la categoría de grupos abelianos dotados de una acción de (equivalentemente, -módulos). [2]

Definición más fuerte de espacios no conectados

Una definición no equivalente más fuerte que funciona para X no conexo es la siguiente: un sistema local es un funtor covariante.

del grupoide fundamental de a la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo , donde típicamente . Esto es equivalentemente los datos de una asignación a cada punto de un módulo junto con una representación de grupo tal que los diversos son compatibles con el cambio de punto base y el mapa inducido en grupos fundamentales .

Ejemplos

Cohomología

Hay varias formas de definir la cohomología de un sistema local, llamada cohomología con coeficientes locales , que se vuelven equivalentes bajo suposiciones suaves en X.

Si X es paracompacto y localmente contráctil , entonces . [3] Si es el sistema local correspondiente a L , entonces hay una identificación compatible con las diferenciales, [4] por lo que .

Generalización

Los sistemas locales tienen una generalización leve a haces construibles : un haz construible en un espacio topológico conectado por caminos locales es un haz tal que existe una estratificación de

donde es un sistema local. Estos se encuentran típicamente tomando la cohomología del empuje hacia adelante derivado para alguna función continua . Por ejemplo, si observamos los puntos complejos del morfismo

Luego las fibras sobre

son la curva plana dada por , pero las fibras sobre son . Si tomamos el empuje hacia delante derivado, entonces obtenemos un haz construible. Sobre tenemos los sistemas locales

Mientras tanto tenemos los sistemas locales

donde es el género de la curva plana (que es ).

Aplicaciones

La cohomología con coeficientes locales en el módulo correspondiente al recubrimiento de orientación se puede utilizar para formular la dualidad de Poincaré para variedades no orientables: ver Dualidad de Poincaré torcida .

Véase también

Referencias

  1. ^ Steenrod, Norman E. (1943). "Homología con coeficientes locales". Anales de Matemáticas . 44 (4): 610–627. doi :10.2307/1969099. MR  0009114.
  2. ^ Milne, James S. (2017). Introducción a las variedades de Shimura . Proposición 14.7.
  3. ^ Bredon, Glen E. (1997). Sheaf Theory , segunda edición, Graduate Texts in Mathematics, vol. 25, Springer-Verlag . Capítulo III, Teorema 1.1.
  4. ^ Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica , Cambridge University Press . Sección 3.H.

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