Categoría de funtor

En teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría de funtores es una categoría donde los objetos son los funtores y los morfismos son transformaciones naturales entre los funtores (aquí, hay otro objeto en la categoría). Las categorías de funtores son de interés por dos razones principales: ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \eta :F\to G}$ ${\displaystyle G:C\to D}$

• muchas categorías que ocurren comúnmente son categorías de funtores (disfrazadas), por lo que cualquier declaración probada para categorías de funtores generales es ampliamente aplicable;
• cada categoría se incrusta en una categoría de functor (a través de la incrustación de Yoneda ); La categoría de functor a menudo tiene mejores propiedades que la categoría original, lo que permite ciertas operaciones que no estaban disponibles en la configuración original.

Definición

Supongamos que es una categoría pequeña (es decir, los objetos y morfismos forman un conjunto en lugar de una clase adecuada ) y es una categoría arbitraria. La categoría de functores de a , escrita como Fun( , ), Funct( , ), , o , tiene como objetos los funtores covariantes de a , y como morfismos las transformaciones naturales entre dichos funtores. Tenga en cuenta que las transformaciones naturales se pueden componer: si es una transformación natural del funtor al funtor y es una transformación natural del functor al funtor , entonces la composición define una transformación natural de a . Con esta composición de transformaciones naturales (conocida como composición vertical, ver transformación natural ), se satisfacen los axiomas de una categoría. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle [C,D]}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle G:C\to D}$ ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle D^{C}}$

De forma completamente análoga también se puede considerar la categoría de todos los functores contravariantes de a ; escribimos esto como Funct( ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{\text{op}},D}$

Si y son ambas categorías preaditivas (es decir, sus conjuntos de morfismos son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal ), entonces podemos considerar la categoría de todos los funtores aditivos desde hasta , denotados por Add( , ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

Ejemplos

• Si es una categoría discreta pequeña (es decir, sus únicos morfismos son los morfismos de identidad), entonces un functor de a consiste esencialmente en una familia de objetos de , indexados por ; la categoría de functor se puede identificar con la categoría de producto correspondiente: sus elementos son familias de objetos en y sus morfismos son familias de morfismos en . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

• Una categoría de flecha (cuyos objetos son los morfismos de y cuyos morfismos son cuadrados de conmutación en ) es justa , donde 2 es la categoría con dos objetos y sus morfismos de identidad, así como una flecha de un objeto al otro (pero no otra flecha atrás hacia el otro lado). ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$
• Un gráfico dirigido consta de un conjunto de flechas y un conjunto de vértices, y dos funciones desde el conjunto de flechas hasta el conjunto de vértices, especificando el vértice inicial y final de cada flecha. La categoría de todos los gráficos dirigidos no es, por tanto, más que la categoría funtor , donde es la categoría con dos objetos conectados por dos morfismos paralelos (origen y destino), y Conjunto denota la categoría de conjuntos . ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$ ${\displaystyle C}$
• Cualquier grupo puede considerarse como una categoría de un solo objeto en la que cada morfismo es invertible. La categoría de todos los conjuntos es la misma que la categoría de functor Set . Las transformaciones naturales son -mapas . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ^{${\displaystyle G}$} ${\displaystyle G}$
• Similar al ejemplo anterior, la categoría de K -representaciones lineales del grupo es la misma que la categoría de funtor Vect _K (donde Vect _K denota la categoría de todos los espacios vectoriales sobre el campo K ). ${\displaystyle G}$ ^{${\displaystyle G}$}
• Cualquier anillo puede considerarse como una categoría preaditiva de un solo objeto; la categoría de los módulos izquierdos es la misma que la categoría del funtor aditivo Add( , ) (donde denota la categoría de los grupos abelianos ), y la categoría de los módulos derechos es Add( , ). Debido a este ejemplo, para cualquier categoría preaditiva , la categoría Agregar( , ) a veces se denomina "categoría de módulos izquierdos arriba " y Agregar( , ) es la "categoría de módulos derechos arriba ". ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$
• La categoría de presheaves en un espacio topológico es una categoría funtor: convertimos el espacio topológico en una categoría que tiene los conjuntos abiertos en como objetos y un único morfismo de a si y solo si está contenido en . La categoría de prehaces de conjuntos (grupos abelianos, anillos) en es entonces la misma que la categoría de functores contravariantes de a (o o ). Debido a este ejemplo, la categoría Funct( , ) a veces se denomina " categoría de conjuntos previos de conjuntos en " incluso para categorías generales que no surgen de un espacio topológico. Para definir gavillas en una categoría general , se necesita más estructura: una topología de Grothendieck en . (Algunos autores se refieren a categorías que son equivalentes a categorías previas al haz . ^[1] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ring}}}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Hechos

La mayoría de las construcciones que se pueden realizar en también se pueden realizar realizándolas "por componentes", por separado para cada objeto en . Por ejemplo, si dos objetos and in tienen un producto , entonces dos funtores and in tienen un producto , definido por para cada objeto en . De manera similar, si es una transformación natural y cada uno tiene un núcleo en la categoría , entonces el núcleo de en la categoría del funtor es el funtor con para cada objeto en . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F\times G}$ ${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle K_{c}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(c)=K_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$

Como consecuencia, tenemos la regla general de que la categoría de functor comparte la mayoría de las propiedades "agradables" de : ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle D}$

• si es completo (o cocompleto), entonces también lo es ; ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$
• si es una categoría abeliana , entonces también lo es ; ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$

También tenemos:

• Si es una categoría pequeña, entonces la categoría de presheaves es un topos . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Entonces, de los ejemplos anteriores, podemos concluir de inmediato que las categorías de grafos dirigidos, conjuntos - y presheaves en un espacio topológico son todos topoi completos y cocompletos, y que las categorías de representaciones de módulos sobre el anillo y presheaves de abeliano Los grupos en un espacio topológico son todos abelianos, completos y cocompletos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

La incorporación de la categoría en una categoría de functor que se mencionó anteriormente utiliza el lema de Yoneda como herramienta principal. Para cada objeto de , sea el funtor representable contravariante de a . El lema de Yoneda establece que la asignación ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

es una incorporación completa de la categoría en la categoría Funct( , ). Así que, naturalmente, se encuentra dentro de un croquis. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle C}$

Lo mismo se puede hacer para cualquier categoría preaditiva : Yoneda luego produce una incrustación completa de en la categoría de funtor Add( , ). Así que, naturalmente, se encuentra dentro de una categoría abeliana. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$

La intuición mencionada anteriormente (que las construcciones que se pueden realizar en se pueden "elevar" a ) se puede precisar de varias maneras; la formulación más sucinta utiliza el lenguaje de funtores adjuntos . Cada funtor induce un funtor (por composición con ). Si y es un par de funtores adjuntos, entonces y también es un par de funtores adjuntos. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F:D\to E}$ ${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F^{C}}$ ${\displaystyle G^{C}}$

La categoría de funtor tiene todas las propiedades formales de un objeto exponencial ; en particular, los funtores de se encuentran en una correspondencia natural uno a uno con los funtores de a . La categoría de todas las categorías pequeñas con funtores como morfismos es, por tanto, una categoría cartesiana cerrada . ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle E\times C\to D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Diagrama (teoría de categorías)

Referencias

1. Tom Leinster (2004). Óperadas superiores, categorías superiores. Prensa de la Universidad de Cambridge. Código bibliográfico : 2004hohc.book.....L. Archivado desde el original el 25 de octubre de 2003.