Secuencia espectral de Leray

En matemáticas , la sucesión espectral de Leray fue un ejemplo pionero en álgebra homológica , introducida en 1946 ^{[1] [2]} por Jean Leray . En la actualidad se la suele considerar un caso especial de la sucesión espectral de Grothendieck .

Definición

Sea una función continua de espacios topológicos, que en particular da un funtor de haces de grupos abelianos en a haces de grupos abelianos en . Componer esto con el funtor de tomando secciones en es lo mismo que tomar secciones en , por la definición del funtor de imagen directa : ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle \mathrm {Sh_{Ab}} (X)\xrightarrow {f_{*}} \mathrm {Sh_{Ab}} (Y)\xrightarrow {\Gamma } \mathrm {Ab} .}$

De esta manera, los funtores derivados de calculan la cohomología del haz para : ${\displaystyle \Gamma \circ f_{*}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal {F}})=H^{i}(X,{\mathcal {F}}).}$

Pero debido a que y envían objetos inyectivos a - objetos acíclicos en , hay una secuencia espectral ^[3] pág . ^33,19 cuya segunda página es ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})),}$

y que converge a

${\displaystyle E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).}$

Esto se llama secuencia espectral de Leray .

Generalizando a otras haces y complejos de haces

Nótese que este resultado puede generalizarse considerando haces de módulos sobre un haz de anillos localmente constante para un anillo conmutativo fijo . Entonces, los haces serán haces de -módulos, donde para un conjunto abierto , dicho haz es un -módulo para . Además, en lugar de haces, podríamos considerar complejos de haces acotados por debajo para la categoría derivada de . Luego, uno reemplaza la cohomología de haces con hipercohomología de haces . ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$ ${\displaystyle {\underline {A}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in D_{\underline {A}}^{+}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$

Construcción

La existencia de la secuencia espectral de Leray es una aplicación directa de la secuencia espectral de Grothendieck ^{[3] pág. 19.} Esta establece que dados los funtores aditivos

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {G} {\mathcal {B}}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}}}$

entre categorías abelianas que tienen suficientes inyectivos , un funtor exacto a la izquierda y enviar objetos inyectivos a objetos -acíclicos, entonces hay un isomorfismo de funtores derivados ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle R^{+}(F\circ G)\simeq R^{+}F\circ R^{+}G}$

para las categorías derivadas . En el ejemplo anterior, tenemos la composición de funtores derivados ${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),D^{+}({\mathcal {B}}),D^{+}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X))\xrightarrow {Rf_{*}} D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y))\xrightarrow {\Gamma } D^{+}({\text{Ab}}).}$

Definición clásica

Sea una función continua de variedades suaves . Si es una cubierta abierta de , forme el complejo de Čech de un haz con respecto a la cubierta de : ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Los mapas de límites y los mapas de haces en conjunto dan un mapa de límites en el complejo doble ${\displaystyle d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}}$ ${\displaystyle \delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{q})}$

${\displaystyle D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).}$

Este complejo doble es también un complejo simple graduado por , con respecto al cual es una función de contorno. Si cada intersección finita de es difeomorfa con , se puede demostrar que la cohomología ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{D}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R} )}$

de este complejo es la cohomología de De Rham de . ^{[4] : 96} Además, ^{[4] : 179  [5]} cualquier complejo doble tiene una secuencia espectral E con ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{\infty }^{n-p,p}={\text{the }}p{\text{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))}$

(de modo que la suma de estos es ), y ${\displaystyle H_{dR}^{n}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}^{q}),}$

¿Dónde está el prehaz en Y enviando ? En este contexto, esto se llama secuencia espectral de Leray. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}}$ ${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

La definición moderna subsume esto, porque el funtor de imagen directa superior es la gavillación de la pregavilla . ${\displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$ ${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

Ejemplos

• Sean variedades suaves , y simplemente conexas , por lo que . Calculamos la secuencia espectral de Leray de la proyección . Si la cobertura es buena (las intersecciones finitas son ), entonces ${\displaystyle X,F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$ ${\displaystyle f\colon X\times F\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)}$

Como es simplemente conexo, cualquier prehaz localmente constante es constante, por lo que este es el prehaz constante . Por lo tanto, la segunda página de la secuencia espectral de Leray es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{q}(F)={\underline {\mathbb {R} }}^{n_{q}}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\otimes H^{q}(F)}$

Como la portada también es buena, . Así que ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X\times F}$ ${\displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )}$

Aquí está el primer lugar donde usamos que es una proyección y no solo un haz de fibras: cada elemento de es una forma diferencial cerrada real en todos los de , por lo que al aplicarles tanto d como da como resultado cero. Por lo tanto . Esto demuestra el teorema de Künneth para simplemente conexos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle X\times F}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle E_{\infty }=E_{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{\bullet }(X\times Y,\mathbb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)}$

• Si es un haz de fibras general con fibras , se aplica lo anterior, excepto que es solo un haz previo localmente constante, no constante. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$

• Todos los cálculos de ejemplo con la secuencia espectral de Serre son la secuencia de Leray para el haz constante.

Teorema de degeneración

En la categoría de variedades cuasi-proyectivas sobre , existe un teorema de degeneración demostrado por Pierre Deligne y Blanchard para la secuencia espectral de Leray, que establece que un morfismo proyectivo suave de variedades nos da que la -página de la secuencia espectral para degenera, por lo tanto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})).}$

Se pueden calcular ejemplos sencillos si Y está simplemente conexo; por ejemplo, una intersección completa de dimensión (esto se debe al homomorfismo de Hurewicz y al teorema del hiperplano de Lefschetz ). En este caso, los sistemas locales tendrán monodromía trivial, por lo tanto . Por ejemplo, considere una familia suave de curvas de género 3 sobre una superficie suave K3 . Entonces, tenemos que ${\displaystyle \geq 2}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus l_{q}}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\end{aligned}}}$

Dándonos la -página ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{\infty }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\end{bmatrix}}}$

Ejemplo con monodromía

Otro ejemplo importante de una familia proyectiva suave es la familia asociada a las curvas elípticas.

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-t)}$

Más allá de aquí la monodromía en torno a ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$0 y1 se puede calcular utilizando la teoría de Picard-Lefschetz , que proporciona la monodromía alrededor de la composición de monodromías locales. ${\displaystyle \infty }$

Historia y conexión con otras secuencias espectrales

En la época en que Leray trabajó, ninguno de los dos conceptos involucrados (secuencia espectral, cohomología de haces) había alcanzado un estado que se pareciera a uno definitivo. Por lo tanto, rara vez se cita el resultado de Leray en su forma original. Después de mucho trabajo, en el seminario de Henri Cartan en particular, se obtuvo el enunciado moderno, aunque no la secuencia espectral general de Grothendieck.

Anteriormente (1948/9) las implicaciones para los haces de fibras se extrajeron en una forma formalmente idéntica a la de la secuencia espectral de Serre , que no hace uso de haces. Este tratamiento, sin embargo, se aplicó a la cohomología de Alexander-Spanier con soportes compactos , tal como se aplicó a los mapas adecuados de espacios de Hausdorff localmente compactos, ya que la derivación de la secuencia espectral requirió un haz fino de álgebras graduadas diferenciales reales en el espacio total, que se obtuvo al retroceder el complejo de De Rham a lo largo de una incrustación en una esfera. Jean-Pierre Serre , que necesitaba una secuencia espectral en homología que se aplicara a las fibraciones del espacio de caminos , cuyos espacios totales casi nunca son localmente compactos, no pudo usar la secuencia espectral original de Leray y, por lo tanto, derivó una secuencia espectral relacionada cuya variante cohomológica concuerda, para un haz de fibras compacto en un espacio de buen comportamiento con la secuencia anterior.

En la formulación lograda por Alexander Grothendieck alrededor de 1957, la secuencia espectral de Leray es la secuencia espectral de Grothendieck para la composición de dos funtores derivados .

Véase también

• Secuencia espectral de Serre : para más ejemplos
• Secuencia espectral de Grothendieck : para la teoría abstracta que subsume la construcción de la secuencia espectral de Leray
• Módulo mixto de Hodge

Referencias

1. Leray, Jean (1946). "L'anneau d'homologie d'une représentation". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 222 : 1366-1368.
2. Molinero, Haynes (2000). "Leray en Oflag XVIIA: los orígenes de la teoría de la gavilla, la cohomología de la gavilla y las secuencias espectrales, Jean Leray (1906-1998)" (PDF) . Gaz. Matemáticas . 84 : 17–34.
3. Dimca, Alexandru (2004). Gavillas en topología . Berlín, Heidelberg: Springer . doi :10.1007/978-3-642-18868-8. ISBN 978-3-642-18868-8.OCLC 851731478  .
4. Bott, Raoul ; Tu, Loring W. Formas diferenciales en topología algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 82. Nueva York-Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-0-387-90613-3.OCLC 7597142  .
5. Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1978). Principios de geometría algebraica . Nueva York: Wiley . p. 443. ISBN 0-471-32792-1.OCLC 3843444  .

Enlaces externos

• Secuencia espectral de Leray Artículo en la Enciclopedia de Matemáticas
• Secuencia espectral de Leray para espacios anillados Artículo en el proyecto The Stacks