Cohomología de Alexander-Spanier

Teoría de cohomología para espacios topológicos.

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , la cohomología de Alexander-Spanier es una teoría de cohomología para espacios topológicos .

Historia

Fue introducido por James W. Alexander  (1935) para el caso especial de espacios métricos compactos , y por Edwin H. Spanier  (1948) para todos los espacios topológicos, basándose en una sugerencia de Alexander D. Wallace .

Definición

Si X es un espacio topológico y G es un módulo R donde R es un anillo con unidad, entonces hay un complejo de cocadena C cuyo p -ésimo término es el conjunto de todas las funciones desde hasta G con diferencial dado por ${\displaystyle C^{p}}$ ${\displaystyle X^{p+1}}$ ${\displaystyle d\colon C^{p-1}\to C^{p}}$

${\displaystyle df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{p}).}$

El complejo de cocadenas definido no depende de la topología de . De hecho, if es un espacio no vacío, donde hay un módulo calificado cuyo único módulo no trivial está en el grado 0. ^[1] ${\displaystyle C^{*}(X;G)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq H^{*}(C^{*}(X;G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Se dice que un elemento es localmente cero si hay una cobertura de por conjuntos abiertos que desaparece en cualquier tupla de las cuales se encuentra en algún elemento de (es decir, desaparece en ). El subconjunto de funciones que consta de localmente cero es un submódulo, denotado por . es un subcomplejo de cocadena, por lo que definimos un complejo de cocadena cociente . Los grupos de cohomología de Alexander-Spanier se definen como los grupos de cohomología de . ${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X)}$ ${\displaystyle \{U\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \bigcup _{U\in \{U\}}U^{p+1}}$ ${\displaystyle C^{p}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}^{p}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}^{*}(X)=\{C_{0}^{p}(X),d\}}$ ${\displaystyle C^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X)=C^{*}(X)/C_{0}^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}^{p}(X,G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X)}$

Homomorfismo inducido

Dada una función que no es necesariamente continua, existe un mapa de cocadena inducido ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{\sharp }:C^{*}(Y;G)\to C^{*}(X;G)}$

definido por ${\displaystyle (f^{\sharp }\varphi )(x_{0},...,x_{p})=(\varphi f)(x_{0},...,x_{p}),\ \varphi \in C^{p}(Y);\ x_{0},...,x_{p}\in X}$

Si es continuo, hay un mapa de cocadenas inducido. ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(Y;G)\to {\bar {C}}^{*}(X;G)}$

Módulo de cohomología relativa

Si es un subespacio de y es un mapa de inclusión, entonces hay un epimorfismo inducido . El núcleo de es un subcomplejo de cocadena que se denota por . Si denota el subcomplejo de funciones que son localmente cero en , entonces . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle i^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(X;G)\to {\bar {C}}^{*}(A;G)}$ ${\displaystyle i^{\sharp }}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X;G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A;G)}$ ${\displaystyle C^{*}(X,A)}$ ${\displaystyle C^{*}(X)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A)=C^{*}(X,A)/C_{0}^{*}(X)}$

El módulo relativo se define como el módulo de cohomología de . ${\displaystyle {\bar {H}}^{*}(X,A;G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A;G)}$

${\displaystyle {\bar {H}}^{q}(X,A;G)}$se llama módulo de cohomología de Alexander de grado con coeficientes ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ y este módulo satisface todos los axiomas de cohomología. La teoría de cohomología resultante se llama teoría de cohomología de Alexander (o Alexander-Spanier).

Axiomas de la teoría de la cohomología

• (Axioma de dimensión) Si es un espacio de un punto, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq {\bar {H}}^{*}(X;G)}$
• (Axioma de exactitud) Si es un par topológico con mapas de inclusión y , hay una secuencia exacta ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle j:X\hookrightarrow (X,A)}$
  $${\displaystyle \cdots \to {\bar {H}}^{q}(X,A;G)\xrightarrow {j^{*}} {\bar {H}}^{q}(X;G)\xrightarrow {i^{*}} {\bar {H}}^{q}(A;G)\xrightarrow {\delta ^{*}} {\bar {H}}^{q+1}(X,A;G)\to \cdots }$$
• (Axioma de escisión) Para un par topológico , si es un subconjunto abierto de tal que , entonces . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\bar {U}}\subset \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A)\simeq {\bar {C}}^{*}(X-U,A-U)}$
• (Axioma de homotopía) Si son homotópicos, entonces ${\displaystyle f_{0},f_{1}:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle f_{0}^{*}=f_{1}^{*}:H^{*}(Y,B;G)\to H^{*}(X,A;G)}$

Cohomología de Alexander con soportes compactos.

Se dice que un subconjunto es colimitado si está acotado, es decir, su cierre es compacto. ${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X-B}$

De manera similar a la definición del módulo de cohomología de Alexander, se puede definir el módulo de cohomología de Alexander con soportes compactos de un par agregando la propiedad que es localmente cero en algún subconjunto colimitado de . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle X}$

Formalmente, se puede definir de la siguiente manera: Para un par topológico dado , el submódulo de consta de algo que es localmente cero en algún subconjunto colimitado de . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle C_{c}^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$

De manera similar al módulo de cohomología de Alexander, se puede obtener un complejo de cocadena y un complejo de cocadena . ${\displaystyle C_{c}^{*}(X,A;G)=\{C_{c}^{q}(X,A;G),\delta \}}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{c}^{*}(X,A;G)=C_{c}^{*}(X,A;G)/C_{0}^{*}(X;G)}$

El módulo de cohomología inducido a partir del complejo de cocadena se llama cohomología de Alexander con soportes compactos y se denota por . El homomorfismo inducido de esta cohomología se define como la teoría de la cohomología de Alexander. ${\displaystyle {\bar {C}}_{c}^{*}}$ ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{*}(X,A;G)}$

Según esta definición, podemos modificar el axioma de homotopía para la cohomología a un axioma de homotopía adecuado si definimos un homomorfismo colímite sólo cuando es un subconjunto cerrado . De manera similar, el axioma de escisión se puede modificar para convertirlo en un axioma de escisión adecuado , es decir, el mapa de escisión es un mapa adecuado. ^[2] ${\displaystyle \delta ^{*}:{\bar {H}}_{c}^{q}(A;G)\to {\bar {H}}_{c}^{q+1}(X,A;G)}$ ${\displaystyle A\subset X}$

Propiedad

Una de las propiedades más importantes de este módulo de cohomología de Alexander con soporte compacto es el siguiente teorema:

• Si es un espacio de Hausdorff localmente compacto y es la compactación en un punto de , entonces hay un isomorfismo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{q}(X;G)\simeq {\tilde {\bar {H}}}^{q}(X^{+};G).}$$

Ejemplo

${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{q}(\mathbb {R} ^{n};G)\simeq {\begin{cases}0&q\neq n\\G&q=n\end{cases}}}$

como . Por lo tanto, si , y no son del mismo tipo de homotopía propia . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{+}\cong S^{n}}$ ${\displaystyle n\neq m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Relación con la tirantez

• Del hecho de que un subespacio cerrado de un espacio paracompacto de Hausdorff es un subespacio tenso en relación con la teoría de cohomología de Alexander ^[3] y la primera propiedad básica de la tensión , si donde es un espacio paracompacto de Hausdorff y y son subespacios cerrados de , entonces es tenso par en relación con la teoría de la cohomología de Alexander. ${\displaystyle B\subset A\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle X}$

Utilizando esta propiedad de tensión, se pueden demostrar los dos hechos siguientes: ^[4]

• ( Propiedad de escisión fuerte ) Sea y sea pares con y paracompacto Hausdorff y y cerrado. Sea un mapa continuo cerrado tal que induzca un mapa uno a uno de sobre . Entonces por todos y todas , ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle (Y,B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X-A}$ ${\displaystyle Y-B}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$
  $${\displaystyle f^{*}:{\bar {H}}^{q}(Y,B;G)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;G)}$$
• ( Propiedad de continuidad débil ) Sea una familia de pares compactos de Hausdorff en algún espacio, dirigidos hacia abajo por inclusión, y sea . Los mapas de inclusión inducen un isomorfismo. ${\displaystyle \{(X_{\alpha },A_{\alpha })\}_{\alpha }}$ ${\textstyle (X,A)=(\bigcap X_{\alpha },\bigcap A_{\alpha })}$ ${\displaystyle i_{\alpha }:(X,A)\to (X_{\alpha },A_{\alpha })}$

  ${\displaystyle \{i_{\alpha }^{*}\}:\varinjlim {\bar {H}}^{q}(X_{\alpha },A_{\alpha };M)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;M)}$.

Diferencia con la teoría de la cohomología singular

Recuerde que el módulo de cohomología singular de un espacio es el producto directo de los módulos de cohomología singulares de sus componentes de ruta.

Un espacio no vacío está conectado si y sólo si . Por lo tanto, para cualquier espacio conectado que no esté conectado por caminos , la cohomología singular y la cohomología de Alexander difieren en grado 0. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq {\bar {H}}^{0}(X;G)}$

Si es una cobertura abierta de conjuntos disjuntos por pares, entonces existe un isomorfismo natural . ^[5] En particular, si es la colección de componentes de un espacio localmente conectado , existe un isomorfismo natural . ${\displaystyle \{U_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(U_{j};G)}$ ${\displaystyle \{C_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(C_{j};G)}$

Variantes

También es posible definir la homología Alexander-Spanier ^[6] y la cohomología Alexander-Spanier con soportes compactos. (Bredon 1997)

Conexión con otras cohomologías

Los grupos de cohomología de Alexander-Spanier coinciden con los grupos de cohomología de Čech para espacios compactos de Hausdorff y coinciden con grupos de cohomología singulares para complejos localmente finitos.

Referencias

1. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . pag. 307.ISBN​ 978-0387944265.
2. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . págs.320, 322. ISBN 978-0387944265.
3. Deo, Satya (197). "Sobre la propiedad de tensión de la cohomología de Alexander-Spanier". Sociedad Matemática Estadounidense . 52 : 441–442.
4. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . pag. 318.ISBN​ 978-0387944265.
5. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . pag. 310.ISBN​ 978-0387944265.
6. Massey 1978a.

Bibliografía

• Alexander, James W. (1935), "Sobre las cadenas de un complejo y sus duales", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 21 (8), Academia Nacional de Ciencias: 509–511, Bibcode :1935PNAS...21..509A, doi : 10.1073/pnas.21.8.509 , ISSN  0027-8424, JSTOR  86360, PMC  1076641 , PMID  16577676
• Bredon, Glen E. (1997), Teoría de la gavilla , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 170 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, señor  1481706
• Massey, William S. (1978), "Cómo hacer una exposición de la teoría de la homología de tipos de Čech-Alexander-Spanier", The American Mathematical Monthly , 85 (2): 75–83, doi :10.2307/2321782, ISSN  0002- 9890, JSTOR  2321782, SEÑOR  0488017
• Massey, William S. (1978), Teoría de homología y cohomología. Un enfoque basado en las cocadenas de Alexander-Spanier. , Monografías y libros de texto de Matemática Pura y Aplicada, vol. 46, Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-6662-7, señor  0488016
• Spanier, Edwin H. (1948), "Teoría de cohomología para espacios generales", Annals of Mathematics , segunda serie, 49 (2): 407–427, doi :10.2307/1969289, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969289, SEÑOR  0024621
• Spanier, Edwin H. (1966), Topología algebraica , ISBN 978-0387944265