En la teoría de homotopía , una rama de las matemáticas , una adjunción de Quillen entre dos categorías de modelos cerrados C y D es un tipo especial de adjunción entre categorías que induce una adjunción entre las categorías de homotopía Ho( C ) y Ho( D ) a través de la construcción del funtor derivado total . Las adjunciones de Quillen se denominan en honor al matemático Daniel Quillen .
Dadas dos categorías de modelos cerrados C y D , una adjunción de Quillen es un par
de funtores adjuntos con F adjunto por la izquierda a G tales que F preserva las cofibraciones y las cofibraciones triviales o, equivalentemente por los axiomas del modelo cerrado, tales que G preserva las fibraciones y las fibraciones triviales. En tal adjunción, F se llama funtor de Quillen izquierdo y G se llama funtor de Quillen derecho .
Es una consecuencia de los axiomas que un funtor de Quillen izquierdo (derecho) preserva equivalencias débiles entre objetos cofibrantes (fibrantes). El teorema del funtor derivado total de Quillen dice que el funtor derivado izquierdo total
es un adjunto izquierdo del funtor total derivado de la derecha
Esta adjunción ( L F , R G ) se llama adjunción derivada .
Si ( F , G ) es una adjunción de Quillen como la anterior tal que
con c cofibrante y d fibrante es una equivalencia débil en D si y solo si
es una equivalencia débil en C , entonces se denomina equivalencia de Quillen de las categorías del modelo cerrado C y D. En este caso, la adjunción derivada es una equivalencia adjunta de categorías, de modo que
es un isomorfismo en Ho( D ) si y sólo si
es un isomorfismo en Ho( C ).
