En matemáticas , una equivalencia débil es una noción de la teoría de la homotopía que, en cierto sentido, identifica objetos que tienen la misma "forma". Esta noción se formaliza en la definición axiomática de una categoría modelo .
Una categoría modelo es una categoría con clases de morfismos llamados equivalencias débiles, fibraciones y cofibraciones , que satisfacen varios axiomas. La categoría de homotopía asociada de una categoría modelo tiene los mismos objetos, pero los morfismos se cambian para convertir las equivalencias débiles en isomorfismos . Es una observación útil que la categoría de homotopía asociada depende solo de las equivalencias débiles, no de las fibraciones y cofibraciones.
Las categorías modelo fueron definidas por Quillen como una axiomatización de la teoría de homotopía que se aplica a los espacios topológicos , pero también a muchas otras categorías en álgebra y geometría . El ejemplo que inició el tema es la categoría de espacios topológicos con fibraciones de Serre como fibraciones y equivalencias de homotopía débil como equivalencias débiles (las cofibraciones para esta estructura modelo pueden describirse como los retractos de complejos de celdas relativas X ⊆ Y [1] ). Por definición, una aplicación continua f : X → Y de espacios se llama equivalencia de homotopía débil si la función inducida en conjuntos de componentes de trayectoria
es biyectiva , y para cada punto x en X y cada n ≥ 1, el homomorfismo inducido
en los grupos de homotopía es biyectiva. (Para X e Y conexos por trayectorias , la primera condición es automática y basta con enunciar la segunda condición para un único punto x en X ).
Para espacios topológicos simplemente conexos X e Y , una función f : X → Y es una equivalencia de homotopía débil si y solo si el homomorfismo inducido f * : H n ( X , Z ) → H n ( Y , Z ) en grupos de homología singulares es biyectivo para todo n . [2] De manera similar, para espacios simplemente conexos X e Y , una función f : X → Y es una equivalencia de homotopía débil si y solo si el homomorfismo de pullback f * : H n ( Y , Z ) → H n ( X , Z ) en cohomología singular es biyectivo para todo n . [3]
Ejemplo: Sea X el conjunto de números naturales {0, 1, 2, ...} y sea Y el conjunto {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, ambos con la topología de subespacio de la recta real . Defina f : X → Y mapeando 0 a 0 y n a 1/ n para enteros positivos n . Entonces f es continua, y de hecho una equivalencia de homotopía débil, pero no es una equivalencia de homotopía .
La categoría de homotopía de los espacios topológicos (obtenida invirtiendo las equivalencias de homotopía débiles) simplifica en gran medida la categoría de espacios topológicos. De hecho, esta categoría de homotopía es equivalente a la categoría de complejos CW con morfismos que son clases de homotopía de aplicaciones continuas.
También se han considerado muchas otras estructuras de modelos en la categoría de espacios topológicos. Por ejemplo, en la estructura del modelo de Strøm en espacios topológicos, las fibraciones son las fibraciones de Hurewicz y las equivalencias débiles son las equivalencias de homotopía. [4]
Otras categorías de modelos importantes involucran complejos de cadenas . Sea A una categoría abeliana de Grothendieck , por ejemplo la categoría de módulos sobre un anillo o la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Defina una categoría C ( A ) con objetos los complejos X de objetos en A ,
y morfismos de los mapas de cadena . (Es equivalente a considerar "complejos de cocadena" de objetos de A , donde la numeración se escribe como
simplemente definiendo X i = X − i .)
La categoría C ( A ) tiene una estructura modelo en la que las cofibraciones son los monomorfismos y las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos . [5] Por definición, una función de cadena f : X → Y es un cuasi-isomorfismo si el homomorfismo inducido
sobre la homología es un isomorfismo para todos los números enteros n . (Aquí H n ( X ) es el objeto de A definido como el núcleo de X n → X n −1 módulo la imagen de X n +1 → X n .) La categoría de homotopía resultante se llama categoría derivada D ( A ).
En cualquier categoría de modelo, una fibración que también es una equivalencia débil se denomina fibración trivial (o acíclica ) . Una cofibración que también es una equivalencia débil se denomina cofibración trivial (o acíclica ) .
