En geometría algebraica , la topología étale es una topología de Grothendieck de la categoría de esquemas que tiene propiedades similares a la topología euclidiana, pero a diferencia de esta, también se define con característica positiva. La topología étale fue introducida originalmente por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale , y este sigue siendo el uso más conocido de la topología étale.
Para cualquier esquema X , sea Ét( X ) la categoría de todos los morfismos étale desde un esquema hasta X . Este es el análogo de la categoría de subconjuntos abiertos de X (es decir, la categoría cuyos objetos son variedades y cuyos morfismos son inmersiones abiertas ). Sus objetos pueden considerarse informalmente como subconjuntos abiertos étale de X . La intersección de dos objetos corresponde a su producto de fibras sobre X . Ét( X ) es una categoría grande, lo que significa que sus objetos no forman un conjunto.
Un prehaz étale sobre X es un funtor contravariante de Ét( X ) a la categoría de conjuntos. Un prehaz F se llama un haz étale si satisface el análogo de la condición de pegado usual para haces en espacios topológicos. Es decir, F es un haz étale si y solo si la siguiente condición es verdadera. Supóngase que U → X es un objeto de Ét( X ) y que U i → U es una familia conjuntamente sobreyectiva de morfismos étale sobre X . Para cada i , elija una sección x i de F sobre U i . La función de proyección U i × U j → U i , que es, en términos generales, la inclusión de la intersección de U i y U j en U i , induce una función de restricción F ( U i ) → F ( U i × U j ) . Si para todo i y j las restricciones de x i y x j a U i × U j son iguales, entonces debe existir una única sección x de F sobre U que restrinja a x i para todo i .
Supóngase que X es un esquema noetheriano. Un haz étale abeliano F sobre X se llama finito localmente constante si es un funtor representable que puede representarse mediante una cubierta étale de X. Se llama construible si X puede cubrirse mediante una familia finita de subesquemas en cada uno de los cuales la restricción de F es finita localmente constante. Se llama torsión si F ( U ) es un grupo de torsión para todas las cubiertas étale U de X. Los haces finitos localmente constantes son construibles, y los haces construibles son torsión. Cada haz de torsión es un límite inductivo filtrado de haces construibles.
Grothendieck introdujo originalmente la maquinaria de topologías y topos de Grothendieck para definir la topología étale. En este lenguaje, la definición de la topología étale es sucinta pero abstracta: Es la topología generada por la pretopología cuyas familias de cobertura son familias conjuntamente sobreyectivas de morfismos étale. El sitio étale pequeño de X es la categoría O ( X ét ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo étale fijo U → X . Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con las funciones fijas de X . El sitio étale grande de X es la categoría Ét/ X , es decir, la categoría de esquemas con una función fija de X , considerada con la topología étale.
La topología étale se puede definir utilizando un poco menos de datos. Primero, note que la topología étale es más fina que la topología de Zariski. En consecuencia, para definir una cobertura étale de un esquema X , basta con cubrir primero X por subesquemas afines abiertos, es decir, tomar una cobertura de Zariski, y luego definir una cobertura étale de un esquema afín. Una cobertura étale de un esquema afín X se puede definir como una familia conjuntamente sobreyectiva { u α : X α → X } tal que el conjunto de todos los α es finito, cada X α es afín y cada u α es étale. Entonces una cobertura étale de X es una familia { u α : X α → X } que se convierte en una cobertura étale después de que la base cambia a cualquier subesquema afín abierto de X.
Sea X un esquema con su topología étale, y fijemos un punto x de X . En la topología de Zariski, el tallo de X en x se calcula tomando un límite directo de las secciones del haz de estructura sobre todos los vecindarios abiertos de Zariski de x . En la topología étale, hay estrictamente más vecindarios abiertos de x , por lo que el análogo correcto del anillo local en x se forma tomando el límite sobre una familia estrictamente más grande. El análogo correcto del anillo local en x para la topología étale resulta ser la henselización estricta del anillo local . [ cita requerida ] Generalmente se denota .
![{\displaystyle \operatorname {Espec} _{X}({\mathcal {O}}_{X}[t,t^{-1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f26c126d0795eae8bc48f0e14b1eec46a934d)