Étale cohomología

Cohomología de gavilla en el sitio étale

En matemáticas , los grupos de cohomología étale de una variedad o esquema algebraico son análogos algebraicos de los grupos de cohomología usuales con coeficientes finitos de un espacio topológico , introducidos por Grothendieck para demostrar las conjeturas de Weil . La teoría de la cohomología étale puede usarse para construir la cohomología ℓ-ádica , que es un ejemplo de una teoría de cohomología de Weil en geometría algebraica. Esto tiene muchas aplicaciones, como la demostración de las conjeturas de Weil y la construcción de representaciones de grupos finitos de tipo Lie .

Historia

La cohomología étale fue introducida por Alexander Grothendieck  (1960), usando algunas sugerencias de Jean-Pierre Serre , y fue motivada por el intento de construir una teoría de cohomología de Weil para probar las conjeturas de Weil . Los fundamentos fueron elaborados poco después por Grothendieck junto con Michael Artin , y publicados como (Artin 1962) y SGA 4. Grothendieck usó la cohomología étale para probar algunas de las conjeturas de Weil ( Bernard Dwork ya había logrado probar la parte de racionalidad de las conjeturas en 1960 usando métodos p-ádicos ), y la conjetura restante, el análogo de la hipótesis de Riemann , fue probada por Pierre Deligne (1974) usando cohomología ℓ-ádica.

Un mayor contacto con la teoría clásica se produjo con la versión de Grothendieck del grupo de Brauer , que Yuri Manin aplicó poco después a la geometría diofántica . La tarea y el éxito de la teoría general consistieron sin duda en integrar toda esta información y demostrar en este contexto resultados generales como la dualidad de Poincaré y el teorema del punto fijo de Lefschetz .

Grothendieck desarrolló originalmente la cohomología étale en un contexto extremadamente general, trabajando con conceptos como los topos de Grothendieck y los universos de Grothendieck . En retrospectiva, gran parte de esta maquinaria resultó innecesaria para la mayoría de las aplicaciones prácticas de la teoría étale, y Deligne (1977) dio una exposición simplificada de la teoría de la cohomología étale. El uso que Grothendieck hizo de estos universos (cuya existencia no puede probarse en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) condujo a algunas especulaciones de que la cohomología étale y sus aplicaciones (como la prueba del Último Teorema de Fermat ) requieren axiomas más allá de ZFC. Sin embargo, en la práctica la cohomología étale se utiliza principalmente en el caso de haces construibles sobre esquemas de tipo finito sobre los números enteros, y esto no necesita axiomas profundos de teoría de conjuntos: con cuidado, los objetos necesarios se pueden construir sin utilizar ningún conjunto incontable, y esto se puede hacer en ZFC, e incluso en teorías mucho más débiles.

La cohomología de Étale encontró rápidamente otras aplicaciones; por ejemplo, Deligne y George Lusztig la utilizaron para construir representaciones de grupos finitos de tipo Lie ; véase la teoría de Deligne-Lusztig .

Motivación

Para variedades algebraicas complejas, los invariantes de la topología algebraica, como el grupo fundamental y los grupos de cohomología, son muy útiles, y sería deseable tener análogos de estos para variedades sobre otros cuerpos, como los cuerpos finitos. (Una razón para esto es que Weil sugirió que las conjeturas de Weil podrían demostrarse utilizando dicha teoría de cohomología). En el caso de la cohomología de haces coherentes , Serre demostró que se podía obtener una teoría satisfactoria simplemente utilizando la topología de Zariski de la variedad algebraica, y en el caso de variedades complejas esto da los mismos grupos de cohomología (para haces coherentes) que la topología compleja mucho más fina. Sin embargo, para haces constantes como el haz de números enteros esto no funciona: los grupos de cohomología definidos utilizando la topología de Zariski se comportan mal. Por ejemplo, Weil imaginó una teoría de cohomología para variedades sobre campos finitos con un poder similar a la cohomología singular habitual de los espacios topológicos, pero, de hecho, cualquier haz constante en una variedad irreducible tiene una cohomología trivial (todos los grupos de cohomología superiores se desvanecen).

La razón por la que la topología de Zariski no funciona bien es que es demasiado burda: tiene muy pocos conjuntos abiertos. No parece haber una buena manera de solucionar esto usando una topología más fina en una variedad algebraica general. La idea clave de Grothendieck fue darse cuenta de que no hay razón por la que los conjuntos abiertos más generales deban ser subconjuntos de la variedad algebraica: la definición de un haz funciona perfectamente bien para cualquier categoría, no solo la categoría de subconjuntos abiertos de un espacio. Definió la cohomología étale reemplazando la categoría de subconjuntos abiertos de un espacio por la categoría de aplicaciones étale a un espacio: en términos generales, se pueden considerar como subconjuntos abiertos de cubiertas no ramificadas finitas del espacio. Resulta que (después de mucho trabajo) dan suficientes conjuntos abiertos adicionales para que se puedan obtener grupos de cohomología razonables para algunos coeficientes constantes, en particular para los coeficientes Z / n Z cuando n es coprimo con la característica del cuerpo sobre el que se está trabajando.

Algunas intuiciones básicas de la teoría son las siguientes:

• El requisito de étale es la condición que permitiría aplicar el teorema de la función implícita si fuera cierto en la geometría algebraica (pero no lo es: las funciones algebraicas implícitas se denominan algebroides en la literatura más antigua).
• Hay ciertos casos básicos, de dimensión 0 y 1, y para una variedad abeliana , donde se pueden predecir las respuestas con haces constantes de coeficientes (mediante la cohomología de Galois y los módulos de Tate ).

Definiciones

Para cualquier esquema X la categoría Et( X ) es la categoría de todos los morfismos étale desde un esquema hasta X . Es análoga a la categoría de subconjuntos abiertos de un espacio topológico, y sus objetos pueden considerarse informalmente como "subconjuntos abiertos étale" de X . La intersección de dos conjuntos abiertos de un espacio topológico corresponde al pullback de dos aplicaciones étale a X . Aquí hay un problema de teoría de conjuntos bastante menor, ya que Et( X ) es una categoría "grande": sus objetos no forman un conjunto.

Un prehaz en un espacio topológico X es un funtor contravariante de la categoría de subconjuntos abiertos a conjuntos. Por analogía, definimos un prehaz étale en un esquema X como un funtor contravariante de Et( X ) a conjuntos.

Un prehaz F en un espacio topológico se llama haz si satisface la condición de haz: siempre que un subconjunto abierto está cubierto por subconjuntos abiertos U _i , y se nos dan elementos de F ( U _i ) para todo i cuyas restricciones a U _i ∩ U _j concuerdan para todo i , j , entonces son imágenes de un único elemento de F ( U ). Por analogía, un prehaz étale se llama haz si satisface la misma condición (con intersecciones de conjuntos abiertos reemplazadas por pullbacks de morfismos étale, y donde se dice que un conjunto de mapas étale a U cubre U si el espacio topológico subyacente a U es la unión de sus imágenes). De manera más general, se puede definir un haz para cualquier topología de Grothendieck en una categoría de manera similar.

La categoría de haces de grupos abelianos sobre un esquema tiene suficientes objetos inyectivos, por lo que se pueden definir funtores derivados por la derecha de funtores exactos por la izquierda. Los grupos de cohomología étale H ⁱ ( F ) del haz F de grupos abelianos se definen como los funtores derivados por la derecha del funtor de secciones,

${\displaystyle F\to \Gamma (F)}$

(donde el espacio de secciones Γ( F ) de F es F ( X )). Las secciones de un haz pueden considerarse como Hom( Z , F ) donde Z es el haz que devuelve los enteros como un grupo abeliano . La idea del funtor derivado aquí es que el funtor de secciones no respeta secuencias exactas ya que no es exacto; de acuerdo con los principios generales del álgebra homológica habrá una secuencia de funtores H  ⁰ , H  ¹ , ... que representan las 'compensaciones' que se deben hacer para restaurar alguna medida de exactitud (secuencias exactas largas que surgen de las cortas). El funtor H  ⁰ coincide con el funtor de sección Γ.

De manera más general, un morfismo de esquemas f  : X → Y induce una función f _∗ de haces étales sobre X a haces étales sobre Y , y sus funtores derivados por la derecha se denotan por R ^q f _∗ , para q un entero no negativo. En el caso especial en el que Y es el espectro de un campo algebraicamente cerrado (un punto), R ^q f _∗ ( F  ) es lo mismo que H ^q ( F  ).

Supóngase que X es un esquema noetheriano. Un haz étale abeliano F sobre X se llama finito localmente constante si está representado por una cubierta étale de X . Se llama construible si X puede ser cubierto por una familia finita de subesquemas en cada uno de los cuales la restricción de F es finita localmente constante. Se llama torsión si F ( U ) es un grupo de torsión para todas las cubiertas étale U de X . Los haces finitos localmente constantes son construibles, y los haces construibles son torsión. Cada haz de torsión es un límite inductivo filtrado de haces construibles.

Grupos de cohomología ℓ-ádicos

En aplicaciones a la geometría algebraica sobre un cuerpo finito F _q con característica p , el objetivo principal era encontrar un reemplazo para los grupos de cohomología singulares con coeficientes enteros (o racionales), que no están disponibles de la misma manera que para la geometría de una variedad algebraica sobre el cuerpo de números complejos . La cohomología étale funciona bien para coeficientes Z / n Z para n coprimos con p , pero da resultados insatisfactorios para coeficientes sin torsión. Para obtener grupos de cohomología sin torsión a partir de la cohomología étale uno tiene que tomar un límite inverso de los grupos de cohomología étale con ciertos coeficientes de torsión; esto se llama cohomología ℓ-ádica , donde ℓ representa cualquier número primo diferente de p . Uno considera, para los esquemas V , los grupos de cohomología

${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )}$

y define el grupo de cohomología ℓ-ádico

${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )}$

como su límite inverso . Aquí Z _ℓ denota los enteros ℓ-ádicos , pero la definición es por medio del sistema de haces 'constantes' con los coeficientes finitos Z /ℓ ^k Z. (Aquí hay una trampa notoria: la cohomología no conmuta con tomar límites inversos, y el grupo de cohomología ℓ-ádico, definido como un límite inverso, no es la cohomología con coeficientes en el haz étale Z _ℓ ; el último grupo de cohomología existe pero da los grupos de cohomología "incorrectos").

De manera más general, si F es un sistema inverso de haces étales F _i , entonces la cohomología de F se define como el límite inverso de la cohomología de los haces F _i

${\displaystyle H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),}$

y aunque hay un mapa natural

${\displaystyle H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),}$

Esto no suele ser un isomorfismo. Un haz ℓ-ádico es un tipo especial de sistema inverso de haces étale F _i , donde i pasa por enteros positivos, y F _i es un módulo sobre Z /ℓ ⁱ  Z y la función de F _{i +1} a F _i es simplemente reducción mod Z /ℓ ⁱ  Z .

Cuando V es una curva algebraica no singular de género g , H ¹ es un Z _ℓ -módulo libre de rango 2 g , dual al módulo de Tate de la variedad jacobiana de V . Dado que el primer número de Betti de una superficie de Riemann de género g es 2 g , esto es isomorfo a la cohomología singular habitual con coeficientes Z _ℓ para curvas algebraicas complejas. También muestra una razón por la que se requiere  la condición ℓ ≠  p : cuando ℓ = p el rango del módulo de Tate es como máximo g .

Pueden existir subgrupos de torsión , y Michael Artin y David Mumford los aplicaron a cuestiones geométricas ^{[ cita requerida ]} . Para eliminar cualquier subgrupo de torsión de los grupos de cohomología ℓ-ádicos y obtener grupos de cohomología que sean espacios vectoriales sobre cuerpos de característica 0, se define

${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }.}$

Esta notación es engañosa: el símbolo Q _ℓ a la izquierda no representa ni un haz étale ni un haz ℓ-ádico. La cohomología étale con coeficientes en el haz étale constante Q _ℓ también existe, pero es bastante diferente de . Confundir estos dos grupos es un error común. ${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }}$

Propiedades

En general, los grupos de cohomología ℓ-ádicos de una variedad tienden a tener propiedades similares a los grupos de cohomología singulares de variedades complejas, excepto que son módulos sobre los enteros (o números) ℓ-ádicos en lugar de los enteros (o racionales). Satisfacen una forma de dualidad de Poincaré en variedades proyectivas no singulares, y los grupos de cohomología ℓ-ádicos de una "reducción mod p" de una variedad compleja tienden a tener el mismo rango que los grupos de cohomología singulares. También se cumple una fórmula de Künneth .

Por ejemplo, el primer grupo de cohomología de una curva elíptica compleja es un módulo libre de rango 2 sobre los enteros, mientras que el primer grupo de cohomología ℓ-ádico de una curva elíptica sobre un cuerpo finito es un módulo libre de rango 2 sobre los enteros ℓ-ádicos, siempre que ℓ no sea la característica del cuerpo en cuestión, y sea dual a su módulo de Tate .

Hay una manera en la que los grupos de cohomología ℓ-ádicos son mejores que los grupos de cohomología singulares: tienden a ser afectados por los grupos de Galois . Por ejemplo, si una variedad compleja se define sobre los números racionales, sus grupos de cohomología ℓ-ádicos son afectados por el grupo de Galois absoluto de los números racionales: proporcionan representaciones de Galois .

Los elementos del grupo de Galois de los racionales, distintos de la identidad y la conjugación compleja , no suelen actuar de forma continua sobre una variedad compleja definida sobre los racionales, por lo que no actúan sobre los grupos de cohomología singulares. Este fenómeno de las representaciones de Galois está relacionado con el hecho de que el grupo fundamental de un espacio topológico actúa sobre los grupos de cohomología singulares, porque Grothendieck demostró que el grupo de Galois puede considerarse como una especie de grupo fundamental. (Véase también la teoría de Galois de Grothendieck .)

Cálculo de grupos de cohomología étale para curvas algebraicas

El paso inicial principal para calcular grupos de cohomología étale de una variedad es calcularlos para curvas algebraicas suaves y completamente conectadas X sobre cuerpos algebraicamente cerrados k . Los grupos de cohomología étale de variedades arbitrarias pueden entonces controlarse utilizando análogos de la maquinaria usual de topología algebraica, como la secuencia espectral de una fibración. Para las curvas, el cálculo lleva varios pasos, como sigue (Artin 1962). Sea G _m el haz de funciones no nulas.

Cálculo deyo1(incógnita, Solmetro)

La secuencia exacta de las gavillas de étale

${\displaystyle 1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1}$

Da una secuencia larga y exacta de grupos de cohomología.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}}$

Aquí j es la inyección del punto genérico, i _x es la inyección de un punto cerrado x , G _{m , K} es el haz G _m en Spec K (el punto genérico de X ), y Z _x es una copia de Z para cada punto cerrado de X . Los grupos H  ⁱ ( i _x*  Z ) se anulan si i > 0 (porque i _x*  Z es un haz de rascacielos ) y para i = 0 son Z por lo que su suma es simplemente el grupo divisor de X . Además, el primer grupo de cohomología H  ¹ ( X , j _∗ G _{m , K} ) es isomorfo al grupo de cohomología de Galois H  ¹ ( K , K *) que se anula por el teorema de Hilbert 90 . Por lo tanto, la larga secuencia exacta de grupos de cohomología étale da una secuencia exacta

${\displaystyle K\to \operatorname {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1}$

donde Div( X ) es el grupo de divisores de X y K es su cuerpo de funciones. En particular, H  ¹ ( X , G _m ) es el grupo de Picard Pic( X ) (y los primeros grupos de cohomología de G _m son los mismos para las topologías de étale y Zariski). Este paso funciona para variedades X de cualquier dimensión (con puntos reemplazados por subvariedades de codimensión 1), no solo curvas.

Cálculo deHola​(incógnita, Solmetro)

La misma secuencia larga exacta anterior muestra que si i  ≥ 2 entonces el grupo de cohomología H  ⁱ ( X , G _m ) es isomorfo a H  ⁱ ( X , j _* G _{m , K} ), que es isomorfo al grupo de cohomología de Galois H  ⁱ ( K , K *). El teorema de Tsen implica que el grupo de Brauer de un cuerpo de funciones K en una variable sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se desvanece. Esto a su vez implica que todos los grupos de cohomología de Galois H  ⁱ ( K , K *) se desvanecen para i  ≥ 1, por lo que todos los grupos de cohomología H  ⁱ ( X , G _m ) se desvanecen si i  ≥ 2.

Cálculo deHola​(incógnita,μn​)

Si μ _n es el haz de raíces n -ésimas de la unidad y n y la característica del cuerpo k son números enteros coprimos, entonces:

${\displaystyle H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\operatorname {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}}$

donde Pic _n ( X ) es un grupo de n puntos de torsión de Pic( X ). Esto se desprende de los resultados anteriores utilizando la secuencia exacta larga

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}}$

de la secuencia exacta de haces de étale de Kummer

${\displaystyle 1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.}$

e insertando los valores conocidos

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\operatorname {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}}$

En particular obtenemos una secuencia exacta

${\displaystyle 1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \operatorname {Pic} (X)\xrightarrow {\times n} \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.}$

Si n es divisible por p, este argumento no es válido porque las raíces p -ésimas de la unidad se comportan de manera extraña sobre cuerpos de característica p . En la topología de Zariski, la sucesión de Kummer no es exacta a la derecha, ya que una función que no se anula no suele tener una raíz n -ésima localmente para la topología de Zariski, por lo que este es un lugar donde el uso de la topología étale en lugar de la topología de Zariski es esencial.

Cálculo deHola ​(incógnita, Z/norteZ)

Fijando una raíz primitiva n -ésima de la unidad podemos identificar el grupo Z / nZ con el grupo _μn de raíces n-ésimas de la unidad. El grupo étale H i ( X , Z/nZ ) es  ^entonces un módulo libre sobre el anillo Z / nZ y su rango está dado por:

${\displaystyle \operatorname {rank} (H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}}$

donde g es el género de la curva X . Esto se deduce del resultado anterior, usando el hecho de que el grupo de Picard de una curva son los puntos de su variedad jacobiana , una variedad abeliana de dimensión g , y si n es coprimo con la característica entonces los puntos de orden que dividen a n en una variedad abeliana de dimensión g sobre un cuerpo algebraicamente cerrado forman un grupo isomorfo a ( Z / n Z ) ^{2 g} . Estos valores para el grupo étale H  ⁱ ( X , Z / n Z ) son los mismos que los grupos de cohomología singulares correspondientes cuando X es una curva compleja.

Cálculo deHola​(incógnita, Z/pagZ)

Es posible calcular grupos de cohomología étale con coeficientes constantes de orden divisible por la característica de manera similar, utilizando la secuencia de Artin-Schreier.

${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0}$

en lugar de la secuencia de Kummer. (Para los coeficientes en Z / p ⁿ Z existe una secuencia similar que involucra vectores de Witt ). Los grupos de cohomología resultantes usualmente tienen rangos menores que los de los grupos correspondientes en característica 0.

Ejemplos de grupos de cohomología étale

• Si X es el espectro de un campo K con grupo de Galois absoluto G , entonces los haces étales sobre X corresponden a conjuntos continuos (o grupos abelianos) sobre los que actúa el grupo (profinito) G , y la cohomología étal del haz es la misma que la cohomología del grupo de G , es decir, la cohomología de Galois de K .
• Si X es una variedad compleja, entonces la cohomología étale con coeficientes finitos es isomorfa a la cohomología singular con coeficientes finitos. (Esto no se cumple para coeficientes enteros). De manera más general, la cohomología con coeficientes en cualquier haz construible es la misma.
• Si F es un haz coherente (o G _m ), entonces la cohomología étale de F es la misma que la cohomología del haz coherente de Serre calculada con la topología de Zariski (y si X es una variedad compleja, esta es la misma que la cohomología del haz calculada con la topología compleja habitual).
• Para las variedades abelianas y las curvas existe una descripción elemental de la cohomología ℓ-ádica. Para las variedades abelianas el primer grupo de cohomología ℓ-ádica es el dual del módulo de Tate , y los grupos de cohomología superiores están dados por sus potencias exteriores. Para las curvas el primer grupo de cohomología es el primer grupo de cohomología de su jacobiano. Esto explica por qué Weil pudo dar una prueba más elemental de las conjeturas de Weil en estos dos casos: en general uno espera encontrar una prueba elemental siempre que haya una descripción elemental de la cohomología ℓ-ádica.

Dualidad de Poincaré y cohomología con soporte compacto

Los grupos de cohomología étale con soporte compacto de una variedad X se definen como

${\displaystyle H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)}$

donde j es una inmersión abierta de X en una variedad propia Y y j _! es la extensión por 0 del haz étale F a Y . Esto es independiente de la inmersión j . Si X tiene dimensión como máximo n y F es un haz de torsión entonces estos grupos de cohomología con soporte compacto se anulan si q > 2 n , y si además X es afín de tipo finito sobre un cuerpo cerrado separablemente los grupos de cohomología se anulan para q  >  n (para la última afirmación, véase SGA 4, XIV, Cor.3.2). ${\displaystyle H_{c}^{q}(X,F)}$ ${\displaystyle H^{q}(X,F)}$

De manera más general, si f es un morfismo separado de tipo finito de X a S (con X y S noetherianos), entonces las imágenes directas superiores con soporte compacto R ^q f _! se definen por

${\displaystyle R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)}$

para cualquier haz de torsión F . Aquí j es cualquier inmersión abierta de X en un esquema Y con un morfismo propio g a S (con f  =  gj ), y como antes la definición no depende de la elección de j e Y . La cohomología con soporte compacto es el caso especial de esto con S un punto. Si f es un morfismo separado de tipo finito entonces R ^q f _! lleva haces construibles en X a haces construibles en S . Si además las fibras de f tienen dimensión como máximo n entonces R ^q f _! se desvanece en haces de torsión para q > 2n . Si X es una variedad compleja entonces R ^q f _! es lo mismo que la imagen directa superior habitual con soporte compacto (para la topología compleja) para haces de torsión.

Si X es una variedad algebraica suave de dimensión N y n es coprimo con la característica, entonces existe un mapa de trazas.

${\displaystyle \operatorname {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$

y la forma bilineal Tr( a ∪ b ) con valores en Z / n Z identifica cada uno de los grupos

${\displaystyle H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})}$

y

${\displaystyle H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )}$

con el dual del otro. Este es el análogo de la dualidad de Poincaré para la cohomología étale.

Una aplicación a las curvas

Así es como se podría aplicar la teoría a la función zeta local de una curva algebraica .

Teorema. Sea X una curva de género g definida sobre F _p , el cuerpo finito con p elementos. Entonces para n ≥ 1

${\displaystyle \#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},}$

donde α _i son ciertos números algebraicos que satisfacen | α _i | = √ p .

Esto concuerda con que P ¹ ( F _{p ⁿ} ) es una curva de género .0 con p ⁿ + 1 puntos. También muestra que el número de puntos en cualquier curva es bastante cercano (dentro de 2 gp ^{n / 2} ) al de la línea proyectiva; en particular, generaliza el teorema de Hasse sobre curvas elípticas .

Idea de prueba

Según el teorema de punto fijo de Lefschetz , el número de puntos fijos de cualquier morfismo f  : X → X es igual a la suma

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\operatorname {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).}$

Esta fórmula es válida para las variedades topológicas ordinarias y la topología ordinaria, pero es incorrecta para la mayoría de las topologías algebraicas . Sin embargo, esta fórmula es válida para la cohomología étale (aunque esto no es tan fácil de demostrar).

Los puntos de X que están definidos sobre F _{p ⁿ} son aquellos fijados por F ⁿ , donde F es el automorfismo de Frobenius en característica p .

Los números de Betti de cohomología étale de X en dimensiones 0, 1, 2 son 1, 2 g y 1 respectivamente.

De acuerdo con todo esto,

${\displaystyle \#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).}$

Esto da la forma general del teorema.

La afirmación sobre los valores absolutos de α _i es la hipótesis de Riemann unidimensional de las conjeturas de Weil.

Toda la idea encaja en el marco de los motivos : formalmente [ X ] = [punto] + [línea] + [1 parte], y [1 parte] tiene algo así como √ p puntos.

Véase también

• Morfismo acíclico localmente
• Teorema de pureza absoluta

Referencias

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• Artin, Michael (1972), Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1, Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés), vol. 269, Berlín; Nueva York: Springer-Verlag , xix, 525.
• Artin, Michael (1972), Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) – vol. 2, Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés), vol. 270, Berlín; Nueva York: Springer-Verlag , págs. iv, 418
• Artin, Michael (1972), Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3, Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés), vol. 305, Berlín; Nueva York: Springer-Verlag , págs. vi, 640
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• Deligne, Pierre (1980), "La conjetura de Weil: II", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 52 : 137–252, doi :10.1007/BF02684780, S2CID  189769469
• Deligne, Pierre , ed. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — Cohomologie étale (SGA 4.5), Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 569, Berlín: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0091516, ISBN 978-0-387-08066-6, archivado desde el original el 15 de mayo de 2009 , consultado el 17 de marzo de 2007Capítulo 1: doi :10.1007/BFb0091518
• IV Dolgachev (2001) [1994], "Cohomología ℓ-ádica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Freitag, E.; Kiehl, Reinhardt (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-12175-8
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• Grothendieck, Alexander (1960), "La teoría de la cohomología de las variedades algebraicas abstractas", Proc. Internat. Congress Math. (Edimburgo, 1958) , Cambridge University Press , pp. 103–118, MR  0130879
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton Mathematical Series, vol. 33, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7, Sr.  0559531
• Tamme, Günter (1994), Introducción a la cohomología étale , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57116-2

Enlaces externos

• Cohomología de Archibald y Savitt Étale
• Programa Goresky Langlands para físicos
• Milne, James S. (1998), Conferencias sobre cohomología Étale
• Dolgachev, IV (2001) [1994], "Cohomología L-ádica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press