Gavilla construible

En matemáticas , un haz construible es un haz de grupos abelianos sobre algún espacio topológico X , tal que X es la unión de un número finito de subconjuntos localmente cerrados en cada uno de los cuales el haz es un haz localmente constante . Tiene sus orígenes en la geometría algebraica , donde en la cohomología étale los haces construibles se definen de manera similar (Artin, Grothendieck y Verdier 1972, Exposé IX § 2). Para la categoría derivada de haces construibles, véase una sección sobre haces ℓ-ádicos .

El teorema de finitud en la cohomología étale establece que las imágenes directas superiores de un haz construible son construibles.

Definición de poleas construibles étale en un esquema.incógnita

Aquí utilizamos la definición de haces étale construibles del libro de Freitag y Kiehl al que se hace referencia a continuación. En lo que sigue en esta subsección, todos los haces de los esquemas son haces étale a menos que se indique lo contrario. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

Un haz se denomina construible si se puede escribir como una unión finita de subesquemas localmente cerrados de modo que para cada subesquema de la cubierta, el haz es un haz finito localmente constante. En particular, esto significa que para cada subesquema que aparece en la cubierta finita, hay una cubierta de étale de modo que para todos los subesquemas de étale en la cubierta de , el haz es constante y está representado por un conjunto finito. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{Y}:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{Y}=i_{Y}^{\ast }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lbrace U_{i}\to Y\mid i\in I\rbrace }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (i_{Y})^{\ast }{\mathcal {F}}|_{U_{i}}}$

Esta definición nos permite derivar, a partir de la inducción noetheriana y del hecho de que un haz de estrellas es constante si y sólo si su restricción de a es también constante, donde es la reducción del esquema . De ello se sigue que un haz de estrellas representable es en sí mismo construible. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\text{red}}}$ ${\displaystyle X_{\text{red}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De particular interés para la teoría de haces étales construibles es el caso en el que se trabaja con haces étales construibles de grupos abelianos. El resultado notable es que los haces étales construibles de grupos abelianos son precisamente los objetos noetherianos en la categoría de todos los haces étales de torsión (cf. Proposición I.4.8 de Freitag-Kiehl).

Ejemplos de topología algebraica

La mayoría de los ejemplos de haces construibles provienen de haces de cohomología de intersección o del empuje hacia delante derivado de un sistema local en una familia de espacios topológicos parametrizados por un espacio base.

Empuje hacia adelante derivado en P1

Un buen conjunto de ejemplos de haces construibles proviene del empuje hacia delante derivado (con o sin soporte compacto) de un sistema local en . Dado que cualquier bucle alrededor es homotópico a un bucle alrededor, solo tenemos que describir la monodromía alrededor de y . Por ejemplo, podemos establecer los operadores de monodromía como ${\displaystyle U=\mathbb {P} ^{1}-\{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}},\quad &T_{1}={\begin{bmatrix}1&l\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

donde los tallos de nuestro sistema local son isomorfos a . Entonces, si tomamos el empuje hacia adelante derivado o de para obtenemos un haz construible donde los tallos en los puntos calculan la cohomología de los sistemas locales restringidos a un vecindario de ellos en . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\oplus 2}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} j_{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle j:U\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle 0,1,\infty }$ ${\displaystyle U}$

Familia de curvas elípticas de Weierstrass

Por ejemplo, considere la familia de curvas elípticas degenerativas

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-t)}$

sobre . En esta familia de curvas degenera en una curva nodal. Si denotamos esta familia por entonces ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle t=0,1}$ ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{0}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong \mathbf {R} ^{2}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} }}$

y

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}\oplus {\underline {\mathbb {Q} }}_{\{0,1\}}}$

donde los tallos del sistema local son isomorfos a . Esta monodromía local alrededor de este sistema local alrededor se puede calcular utilizando la fórmula de Picard–Lefschetz . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle 0,1}$

Referencias

Notas del seminario

• Gunningham, Sam; Hughes, Richard, Temas en módulos D (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2017-09-21

Referencias

• Artín, Michael ; Grothendieck, Alejandro ; Verdier, Jean-Louis , eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 305. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.vi+640. doi :10.1007/BFb0070714. ISBN 978-3-540-06118-2.Sr. 0354654  .
• Dimca, Alexandru (2004), Haces en topología , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20665-1, Sr.  2050072
• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 13, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-02541-3, ISBN 3-540-12175-7, Sr.  0926276