Módulo Tate

Estructura algebraica

En matemáticas , un módulo de Tate de un grupo abeliano, llamado así por John Tate , es un módulo construido a partir de un grupo abeliano A. A menudo, esta construcción se realiza en la siguiente situación: G es un esquema de grupo conmutativo sobre un cuerpo K , K ^s es la clausura separable de K y A  =  G ( K ^s ) (los puntos de G con valor K s ). En este caso, el módulo de Tate de A está equipado con una acción del grupo de Galois absoluto de K y se lo denomina módulo de Tate de G.

Definición

Dado un grupo abeliano A y un número primo p , el módulo de Tate p -ádico de A es

${\displaystyle T_{p}(A)={\underset {\longleftarrow }{\lim }}A[p^{n}]}$

donde A [ p ⁿ ] es la torsión p n de A (es decir, el núcleo de la función de multiplicación por p ⁿ ), y el límite inverso es sobre enteros positivos n con morfismos de transición dados por la función de multiplicación por p A [ p ^{n +1} ] → A [ p ⁿ ]. Por lo tanto, el módulo de Tate codifica toda la torsión de potencia p de A . Está equipado con la estructura de un módulo p Z mediante

${\displaystyle z(a_{n})_{n}=((z{\text{ mod }}p^{n})a_{n})_{n}.}$

Ejemplos

ElMódulo Tate

Cuando el grupo abeliano A es el grupo de raíces de la unidad en una clausura separable K ^s de K , el módulo de Tate p -ádico de A se denomina a veces módulo de Tate (donde la elección de p y K se sobreentiende tácitamente). Es un módulo libre de rango uno sobre Z _p con una acción lineal del grupo de Galois absoluto G _K de K . Por lo tanto, es una representación de Galois también denominada carácter ciclotómico p -ádico de K . También puede considerarse como el módulo de Tate del esquema de grupo multiplicativo G _{m , K} sobre K .

El módulo Tate de una variedad abeliana

Dada una variedad abeliana G sobre un cuerpo K , los K puntos ^s -valuados de G son un grupo abeliano. El módulo de Tate p -ádico T _p ( G ) de G es una representación de Galois (del grupo de Galois absoluto, G _K , de K ).

Los resultados clásicos sobre variedades abelianas muestran que si K tiene característica cero , o característica ℓ donde el número primo p ≠ ℓ, entonces T _p ( G ) es un módulo libre sobre Z _p de rango 2 d , donde d es la dimensión de G . ^[1] En el otro caso, sigue siendo libre, pero el rango puede tomar cualquier valor de 0 a d (véase, por ejemplo, la matriz de Hasse-Witt ).

En el caso en que p no sea igual a la característica de K , el módulo de Tate p -ádico de G es el dual de la cohomología étale . ${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(G\times _{K}K^{s},\mathbf {Z} _{p})}$

Un caso especial de la conjetura de Tate puede expresarse en términos de módulos de Tate. ^[2] Supóngase que K se genera finitamente sobre su cuerpo primo (por ejemplo, un cuerpo finito , un cuerpo de números algebraicos , un cuerpo de funciones globales ), de característica diferente de p , y A y B son dos variedades abelianas sobre K . La conjetura de Tate predice entonces que

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,B)\otimes \mathbf {Z} _{p}\cong \mathrm {Hom} _{G_{K}}(T_{p}(A),T_{p}(B))}$

donde Hom _K ( A , B ) es el grupo de morfismos de variedades abelianas de A a B , y el lado derecho es el grupo de G _K -aplicaciones lineales de T _p ( A ) a T _p ( B ). El caso en el que K es un cuerpo finito fue demostrado por el propio Tate en los años 1960. ^[3] Gerd Faltings demostró el caso en el que K es un cuerpo numérico en su célebre "artículo de Mordell". ^[4]

En el caso de un jacobiano sobre una curva C sobre un cuerpo finito k de característica prima a p , el módulo de Tate puede identificarse con el grupo de Galois de la extensión compuesta

${\displaystyle k(C)\subset {\hat {k}}(C)\subset A^{(p)}\ }$

donde es una extensión de k que contiene todas las raíces p -potenciales de la unidad y A ^{( p )} es la p -extensión abeliana no ramificada máxima de . ^[5] ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ${\displaystyle {\hat {k}}(C)}$

Módulo Tate de un cuerpo numérico

La descripción del módulo de Tate para el cuerpo de funciones de una curva sobre un cuerpo finito sugiere una definición para un módulo de Tate de un cuerpo de números algebraicos , la otra clase de cuerpo global , introducida por Kenkichi Iwasawa . Para un cuerpo de números K , denotamos por K _m la extensión por p ^m -raíces de potencia de la unidad, la unión de K _m y A ^{( p ) la} p -extensión abeliana no ramificada máxima de . Sea ${\displaystyle {\hat {K}}}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

${\displaystyle T_{p}(K)=\mathrm {Gal} (A^{(p)}/{\hat {K}})\ .}$

Entonces T _p ( K ) es un pro- p -grupo y por lo tanto un Z _p -módulo. Utilizando la teoría de campos de clases se puede describir a T _p ( K ) como isomorfo al límite inverso de los grupos de clases C _m del K _m bajo la norma. ^[5]

Iwasawa exhibió T _p ( K ) como un módulo sobre la completitud Z _p [[ T ]] y esto implica una fórmula para el exponente de p en el orden de los grupos de clases C _m de la forma

${\displaystyle \lambda m+\mu p^{m}+\kappa \ .}$

El teorema de Ferrero-Washington establece que μ es cero. ^[6]

Véase también

• Conjetura de Tate
• Giro de Tate
• Teoría de Iwasawa

Notas

1. Murty 2000, Proposición 13.4
2. Murty 2000, §13.8
3. Tate 1966
4. Fallecimientos 1983
5. Manin y Panchishkin 2007, pág. 245
6. Manin y Panchishkin 2007, pág. 246

Referencias

• Faltings, Gerd (1983), "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern", Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349–366, Bibcode :1983InMat..73..349F, doi :10.1007/BF01388432, S2CID  121049418
• "Módulo Tate", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría de números moderna , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 49 (segunda ed.), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Zbl  1079.11002
• Murty, V. Kumar (2000), Introducción a las variedades abelianas , CRM Monograph Series, vol. 3, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1179-5
• Sección 13 de Rohrlich, David (1994), "Curvas elípticas y el grupo Weil–Deligne", en Kisilevsky, Hershey; Murty, M. Ram (eds.), Curvas elípticas y temas relacionados , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 4, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-6994-9
• Tate, John (1966), "Endomorfismos de variedades abelianas sobre cuerpos finitos", Inventiones Mathematicae , 2 (2): 134–144, Bibcode :1966InMat...2..134T, doi :10.1007/bf01404549, MR  0206004, S2CID  245902