En matemáticas , particularmente en geometría algebraica , análisis complejo y teoría algebraica de números , una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva que también es un grupo algebraico , es decir, tiene una ley de grupo que puede definirse mediante funciones regulares . Las variedades abelianas se encuentran al mismo tiempo entre los objetos más estudiados en geometría algebraica y son herramientas indispensables para muchas investigaciones sobre otros temas de geometría algebraica y teoría de números.
Una variedad abeliana puede definirse mediante ecuaciones que tengan coeficientes en cualquier campo ; entonces se dice que la variedad está definida sobre ese campo. Históricamente las primeras variedades abelianas estudiadas fueron las definidas sobre el campo de los números complejos . Estas variedades abelianas resultan ser exactamente esos toros complejos que pueden incrustarse holomórficamente en un espacio proyectivo complejo .
Las variedades abelianas definidas sobre campos de números algebraicos son un caso especial, que también es importante desde el punto de vista de la teoría de números. Las técnicas de localización conducen naturalmente desde variedades abelianas definidas sobre campos numéricos hasta variedades definidas sobre campos finitos y varios campos locales . Dado que un campo numérico es el campo fraccionario de un dominio de Dedekind , para cualquier primo distinto de cero de su dominio de Dedekind , hay un mapa desde el dominio de Dedekind hasta el cociente del dominio de Dedekind por el primo, que es un campo finito para todos los primos finitos. . Esto induce un mapa desde el campo fraccionario a cualquier campo finito. Dada una curva con una ecuación definida sobre el campo numérico, podemos aplicar este mapa a los coeficientes para obtener una curva definida sobre algún campo finito, donde las elecciones del campo finito corresponden a los números primos finitos del campo numérico.
Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conectados del cero en las variedades Picard ) y variedades albanesas de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad es no singular . Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen dimensión Kodaira 0.
A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas logró dar una base para la teoría de las integrales elípticas , y esto dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar de integrales elípticas involucraban las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y cuárticos . Cuando éstos fueran reemplazados por polinomios de mayor grado, digamos quinticos , ¿qué pasaría?
En el trabajo de Niels Abel y Carl Jacobi , se formuló la respuesta: esto involucraría funciones de dos variables complejas , que tienen cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto dio el primer vistazo de una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana ): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica de género 2 .
Después de Abel y Jacobi, algunos de los contribuyentes más importantes a la teoría de las funciones abelianas fueron Riemann , Weierstrass , Frobenius , Poincaré y Picard . El tema era muy popular en la época, contando ya con una amplia literatura.
A finales del siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de las funciones abelianas. Finalmente, en la década de 1920, Lefschetz sentó las bases para el estudio de las funciones abelianas en términos de toros complejos. También parece ser el primero en utilizar el nombre "variedad abeliana". Fue André Weil en los años 1940 quien dio al tema sus fundamentos modernos en el lenguaje de la geometría algebraica.
Hoy en día, las variedades abelianas constituyen una herramienta importante en la teoría de números, en los sistemas dinámicos (más específicamente en el estudio de los sistemas hamiltonianos ) y en la geometría algebraica (especialmente las variedades Picard y las variedades albanesas ).
Un toro complejo de dimensión g es un toro de dimensión real 2 g que lleva la estructura de una variedad compleja . Siempre se puede obtener como el cociente de un espacio vectorial complejo de dimensión g mediante una red de rango 2 g . Una variedad abeliana compleja de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que también es una variedad algebraica proyectiva sobre el campo de números complejos. Invocando el teorema de incrustación de Kodaira y el teorema de Chow, se puede definir de manera equivalente una variedad abeliana compleja de dimensión g como un toro complejo de dimensión g que admite un haz de líneas positivo. Al ser toros complejos, las variedades abelianas llevan la estructura de un grupo . Un morfismo de variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que preserva el elemento de identidad de la estructura del grupo. Una isogenia es un morfismo finito a uno.
Cuando un toro complejo lleva la estructura de una variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso g = 1, la noción de variedad abeliana es la misma que la de curva elíptica , y todo toro complejo da lugar a tal curva; para g > 1 se sabe desde Riemann que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales a un toro complejo.
El siguiente criterio de Riemann decide si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si puede o no incrustarse en un espacio proyectivo. Sea X un toro de dimensión g dado como X = V / L donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es una red en V. Entonces X es una variedad abeliana si y sólo si existe una forma hermitiana definida positiva en V cuya parte imaginaria toma valores enteros en L × L. Esta forma en X suele denominarse forma de Riemann (no degenerada) . Al elegir una base para V y L , se puede hacer más explícita esta condición. Hay varias formulaciones equivalentes de esto; todas ellas se conocen como condiciones de Riemann.
Toda curva algebraica C de género g ≥ 1 está asociada a una variedad abeliana J de dimensión g , mediante un mapa analítico de C en J. Como toro, J tiene una estructura de grupo conmutativa y la imagen de C genera J como grupo. Más exactamente, J está cubierto por C g : [1] cualquier punto en J proviene de una g -tupla de puntos en C . El estudio de las formas diferenciales en C , que dan lugar a las integrales abelianas con las que comenzó la teoría, puede derivarse de la teoría de diferenciales en J , más simple e invariante en la traducción . La variedad abeliana J se llama variedad jacobiana de C , para cualquier curva C no singular sobre números complejos. Desde el punto de vista de la geometría biracional , su campo funcional es el campo fijo del grupo simétrico de letras g que actúan sobre el campo funcional de C g .
Una función abeliana es una función meromorfa en una variedad abeliana, que puede considerarse, por tanto, como una función periódica de n variables complejas, que tiene 2 n períodos independientes; de manera equivalente, es una función en el campo funcional de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX hubo mucho interés en las integrales hiperelípticas que pudieran expresarse en términos de integrales elípticas. Esto se reduce a preguntar que J es un producto de curvas elípticas, hasta una isogenia.
Un teorema estructural importante de las variedades abelianas es el teorema de Matsusaka . Afirma que sobre un campo algebraicamente cerrado cada variedad abeliana es el cociente del jacobiano de alguna curva; es decir, existe cierta sobreyección de variedades abelianas donde hay una jacobiana. Este teorema sigue siendo cierto si el campo terrestre es infinito. [2]
Comúnmente se utilizan dos definiciones equivalentes de variedad abeliana sobre un campo general k :
Cuando la base es el cuerpo de números complejos, estas nociones coinciden con la definición anterior. En todas las bases, las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión 1.
A principios de la década de 1940, Weil utilizó la primera definición (sobre un campo base arbitrario), pero al principio no pudo demostrar que implicara la segunda. Sólo en 1948 demostró que se pueden incluir grupos algebraicos completos en el espacio proyectivo. Mientras tanto, para poder demostrar la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos que había anunciado en 1940, tuvo que introducir la noción de variedad abstracta y reescribir los fundamentos de la geometría algebraica para trabajar con variedades sin incrustaciones proyectivas. (ver también la sección de historia en el artículo de Geometría Algebraica ).
Según las definiciones, una variedad abeliana es una variedad grupal. Se puede demostrar que su grupo de puntos es conmutativo .
Para C , y por tanto según el principio de Lefschetz para todo campo algebraicamente cerrado de característica cero, el grupo de torsión de una variedad abeliana de dimensión g es isomorfo a ( Q / Z ) 2 g . Por lo tanto, su parte de n -torsión es isomorfa a ( Z / nZ ) 2g , es decir , el producto de 2g copias del grupo cíclico de orden n .
Cuando el campo base es un campo algebraicamente cerrado de característica p , la n -torsión sigue siendo isomorfa a ( Z / n Z ) 2g cuando n y p son coprimos . Cuando n y p no son coprimos, se puede recuperar el mismo resultado siempre que se interprete como que la n -torsión define un esquema de grupo plano finito de rango 2 g . Si en lugar de observar la estructura del esquema completo en la n -torsión, se consideran sólo los puntos geométricos, se obtiene un nuevo invariante para las variedades en la característica p (el llamado rango p cuando n = p ).
El grupo de k -puntos racionales para un campo global k es generado de forma finita por el teorema de Mordell-Weil . Por lo tanto, según el teorema de estructura para grupos abelianos generados finitamente , es isomorfo a un producto de un grupo abeliano libre Z r y un grupo conmutativo finito para algún entero no negativo r llamado rango de la variedad abeliana. Resultados similares son válidos para algunas otras clases de campos k .
El producto de una variedad abeliana A de dimensión m y una variedad abeliana B de dimensión n , sobre el mismo campo, es una variedad abeliana de dimensión m + n . Una variedad abeliana es simple si no es isógena a un producto de variedades abelianas de menor dimensión. Cualquier variedad abeliana es isógena a un producto de variedades abelianas simples.
A una variedad abeliana A sobre un campo k , se le asocia una variedad abeliana dual A v (sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de haces de líneas de grado 0 parametrizada por una k -variedad T se define como un haz de líneas L en A × T tal que
Entonces hay una variedad A v y una familia de haces de líneas de grado 0 P , el paquete de Poincaré, parametrizado por A v tal que una familia L en T tiene asociado un morfismo único f : T → A v de modo que L es isomorfa a la retroceso de P a lo largo del morfismo 1 A × f : A × T → A × A v . Aplicando esto al caso en el que T es un punto, vemos que los puntos de A v corresponden a haces de líneas de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural en A v dada por el producto tensorial de haces de líneas, lo que hace que en una variedad abeliana.
Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A vv y A (definido a través del haz de Poincaré) y que es functorial contravariante , es decir, se asocia a todos los morfismos f : A → B morfismos duales f v : B v → A v de forma compatible. La n -torsión de una variedad abeliana y la n -torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general, para todos los n , los esquemas de grupos de torsión n de las variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.
Una polarización de una variedad abeliana es una isogenia de una variedad abeliana a su dual que es simétrica con respecto a la doble dualidad para las variedades abelianas y para la cual el retroceso del paquete de Poincaré a lo largo del morfismo del grafo asociado es amplio (por lo que es análogo a una forma cuadrática definida positiva). Las variedades abelianas polarizadas tienen grupos de automorfismos finitos . Una polarización principal es una polarización que es un isomorfismo. Los jacobianos de curvas están naturalmente equipados con una polarización principal tan pronto como se elige un punto base racional arbitrario en la curva, y la curva puede reconstruirse a partir de su jacobiano polarizado cuando el género es > 1. No todas las variedades abelianas principalmente polarizadas son jacobianos de curvas; ver el problema de Schottky . Una polarización induce una involución de Rosati en el anillo de endomorfismo de A.
Entre los números complejos, una variedad abeliana polarizada también se puede definir como una variedad abeliana A junto con la elección de una forma de Riemann H. Dos formas de Riemann, H 1 y H 2 , se llaman equivalentes si hay números enteros positivos n y m tales que nH 1 = mH 2 . La elección de una clase de equivalencia de formas de Riemann en A se denomina polarización de A. Un morfismo de variedades abelianas polarizadas es un morfismo A → B de variedades abelianas tal que el retroceso de la forma de Riemann en B a A es equivalente a la forma dada en A.
También se puede definir el esquema de variedades abelianas , teóricamente y en relación con una base . Esto permite un tratamiento uniforme de fenómenos como la reducción mod p de variedades abelianas (ver Aritmética de variedades abelianas ) y familias de parámetros de variedades abelianas. Un esquema abeliano sobre un esquema base S de dimensión relativa g es un esquema de grupo suave y adecuado sobre S cuyas fibras geométricas están conectadas y de dimensión g . Las fibras de un esquema abeliano son variedades abelianas, por lo que se podría pensar en un esquema abeliano sobre S como una familia de variedades abelianas parametrizadas por S.
Para un esquema abeliano A / S , el grupo de n -puntos de torsión forma un esquema de grupo plano finito . La unión de los p n -puntos de torsión, para todo n , forma un p-grupo divisible . Las deformaciones de los esquemas abelianos se rigen, según el teorema de Serre-Tate , por las propiedades de deformación de los p -grupos divisibles asociados.
Sea tal que no tenga raíces complejas repetidas. Entonces el discriminante es distinto de cero. Sea , entonces es un subesquema abierto de . Entonces se acabó el esquema abeliano . Se puede extender a un modelo de Néron terminado , que es un esquema de grupo fluido , pero el modelo de Néron no es apropiado y por lo tanto no es un esquema abeliano terminado .
VA Abrashkin [3] y Jean-Marc Fontaine [4] demostraron de forma independiente que no existen variedades abelianas distintas de cero sobre Q con buena reducción en todos los primos. De manera equivalente , no existen esquemas abelianos distintos de cero sobre Spec Z. La prueba implica mostrar que las coordenadas de p n -puntos de torsión generan campos numéricos con muy poca ramificación y, por tanto, de pequeño discriminante, mientras que, por otro lado, existen límites inferiores para los discriminantes de campos numéricos. [5]
Una variedad semibeliana es una variedad de grupo conmutativa que es una extensión de una variedad abeliana mediante un toro .
![{\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db78c7c6981e8b96dff61f40dc4ea0ff1c3275e3)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}zx^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc22d0899e4d3075856d76d5e49ee05953a56c92)