Módulos de variedades abelianas

Las variedades abelianas son una generalización natural de las curvas elípticas , incluidos los toros algebraicos en dimensiones superiores. Así como las curvas elípticas tienen un espacio de módulos natural sobre la característica 0 construido como un cociente del semiplano superior por la acción de , ^[1] existe una construcción análoga para las variedades abelianas utilizando el semiespacio superior de Siegel y el grupo simpléctico . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Construcciones sobre característica 0

Variedades abelianas principalmente polarizadas

Recordemos que el semiplano superior de Siegel está dado por ^[3]

${\displaystyle H_{g}=\{\Omega \in \operatorname {Mat} _{g,g}(\mathbb {C} ):\Omega ^{T}=\Omega ,\operatorname {Im} (\Omega )>0\}\subseteq \operatorname {Sym} _{g}(\mathbb {C} )}$

que es un subconjunto abierto en las matrices simétricas (ya que es un subconjunto abierto de , y es continua). Observe si esto da matrices con parte imaginaria positiva, por lo tanto, este conjunto es una generalización del semiplano superior. Entonces, cualquier punto da un toro complejo ${\displaystyle g\times g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\Omega )>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} }$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle \Omega \in H_{g}}$

${\displaystyle X_{\Omega }=\mathbb {C} ^{g}/(\Omega \mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g})}$

con una polarización principal de la matriz ^{[2] página 34.} Resulta que todas las variedades abelianas principalmente polarizadas surgen de esta manera, dando la estructura de un espacio de parámetros para todas las variedades abelianas principalmente polarizadas. Pero, existe una equivalencia donde ${\displaystyle H_{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$ ${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle X_{\Omega }\cong X_{\Omega '}\iff \Omega =M\Omega '}$para ${\displaystyle M\in \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Por lo tanto, el espacio de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas se construye a partir del cociente de pila.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}=[\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\backslash H_{g}]}$

lo que da una pila Deligne-Mumford sobre . Si esto, en cambio, viene dado por un cociente GIT , entonces da el espacio de módulos grueso . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A_{g}}$

Variedades abelianas principalmente polarizadas con nivelnorte-estructura

En muchos casos, es más fácil trabajar con el espacio de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas con estructura de nivel n porque crea una rigidización del problema de módulos que da un funtor de módulos en lugar de una pila de módulos. ^{[4] [5]} Esto significa que el funtor es representable por una variedad algebraica, como una variedad o esquema , en lugar de una pila. Una estructura de nivel n está dada por una base fija de

${\displaystyle H_{1}(X_{\Omega },\mathbb {Z} /n)\cong {\frac {1}{n}}\cdot L/L\cong n{\text{-torsion of }}X_{\Omega }}$

donde es la red . Fijar dicha base elimina los automorfismos de una variedad abeliana en un punto en el espacio de módulos, por lo tanto existe una variedad algebraica auténtica sin una estructura estabilizadora. Denote ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega \mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g}\subset \mathbb {C} ^{2g}}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\ker[\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )/n]}$

y definir

${\displaystyle A_{g,n}=\Gamma (n)\backslash H_{g}}$

como una variedad cociente.

Referencias

1. Hain, Richard (25 de marzo de 2014). "Conferencias sobre espacios de módulos de curvas elípticas". arXiv : 0812.1803 [math.AG].
2. Arapura, Donu. "Variedades y módulos abelianos" (PDF) .
3. Birkenhake, Cristina; Lange, Herbert (2004). Variedades abelianas complejas. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (2 ed.). Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. págs. 210–241. ISBN 978-3-540-20488-6.
4. Mumford, David (1983), Artin, Michael; Tate, John (eds.), "Hacia una geometría enumerativa del espacio de módulos de curvas", Aritmética y geometría: artículos dedicados a IR Shafarevich con motivo de su sexagésimo cumpleaños. Volumen II: Geometría , Progress in Mathematics, Birkhäuser, pp. 271–328, doi :10.1007/978-1-4757-9286-7_12, ISBN 978-1-4757-9286-7
5. Se utilizan estructuras de nivel n para construir una teoría de intersección de pilas de Deligne-Mumford

Véase también

• Problema de Schottky
• Variedad modular de Siegel
• Pila de módulos de curvas elípticas
• Módulos de curvas algebraicas
• Esquema de Hilbert
• Teoría de la deformación