Esquema Hilbert

El esquema de módulos de subesquemas de un esquema representa el funtor de familia plana de subesquemas

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , un esquema de Hilbert es un esquema que es el espacio de parámetros para los subesquemas cerrados de algún espacio proyectivo (o un esquema proyectivo más general), refinando la variedad Chow . El esquema de Hilbert es una unión disjunta de subesquemas proyectivos correspondientes a polinomios de Hilbert . La teoría básica de los esquemas de Hilbert fue desarrollada por Alexander Grothendieck  (1961). El ejemplo de Hironaka muestra que las variedades no proyectivas no necesitan tener esquemas de Hilbert.

Esquema de Hilbert del espacio proyectivo.

El esquema de Hilbert clasifica los subesquemas cerrados del espacio proyectivo en el siguiente sentido: Para cualquier esquema localmente noetheriano S , el conjunto de puntos con valores S ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))}$

del esquema de Hilbert es naturalmente isomorfo al conjunto de subesquemas cerrados de que son planos sobre S . Los subesquemas cerrados de that are flat over S pueden considerarse informalmente como las familias de subesquemas del espacio proyectivo parametrizados por S . El esquema de Hilbert se fragmenta como una unión disjunta de piezas correspondientes al esquema de Hilbert de los subesquemas del espacio proyectivo con polinomio de Hilbert P. Cada una de estas piezas es proyectiva . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$

La construcción como variedad determinante

Grothendieck construyó el esquema de Hilbert del espacio proyectivo dimensional como un subesquema de un Grassmanniano definido por la desaparición de varios determinantes . Su propiedad fundamental es que, para un esquema , representa el funtor cuyos puntos valorados son los subesquemas cerrados de los que son planos . ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times T}$ ${\displaystyle T}$

Si es un subesquema del espacio proyectivo -dimensional, entonces corresponde a un ideal graduado del anillo polinómico en variables, con piezas graduadas . Para suficientemente grandes, todos los grupos de cohomología superiores con coeficientes desaparecen. Usando la secuencia exacta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I_{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle I_{X}^{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m)}$

${\displaystyle 0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

tenemos tiene dimensión , donde está el polinomio de Hilbert del espacio proyectivo. Esto se puede demostrar tensorizando la secuencia exacta anterior mediante las gavillas localmente planas , dando una secuencia exacta donde los dos últimos términos tienen cohomología trivial, lo que implica la trivialidad de la cohomología superior de . Tenga en cuenta que estamos utilizando la igualdad del polinomio de Hilbert de una gavilla coherente con la característica de Euler de sus grupos de cohomología de gavilla. ${\displaystyle I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))}$ ${\displaystyle Q(m)-P_{X}(m)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)}$ ${\displaystyle I_{X}(m)}$

Elija un valor suficientemente grande de . El espacio -dimensional es un subespacio del espacio -dimensional , por lo que representa un punto del Grassmanniano . Esto dará una integración de la parte del esquema de Hilbert correspondiente al polinomio de Hilbert en este Grassmanniano. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (Q(m)-P_{X}(m))}$ ${\displaystyle I_{X}^{m}}$ ${\displaystyle Q(m)}$ ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle {\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))}$ ${\displaystyle P_{X}}$

Queda por describir la estructura del esquema de esta imagen, es decir, describir suficientes elementos para el ideal que le corresponde. Suficientes elementos de este tipo están dados por las condiciones de que el mapa I _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) tenga rango como máximo dim( I _X ( k + m )) para todo k positivo , lo cual es equivalente a la desaparición de diversos determinantes. (Un análisis más cuidadoso muestra que basta con tomar k = 1 ).

Universalidad

Dado un subesquema cerrado sobre un campo con polinomio de Hilbert , el esquema de Hilbert H= Hilb ( n , P ) tiene un subesquema universal plano tal que ${\displaystyle Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle W\subset X\times H}$ ${\displaystyle H}$

• Las fibras sobre puntos cerrados son subesquemas cerrados de . Para denotar este punto como . ${\displaystyle W_{x}}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [Y]\in H}$
• ${\displaystyle H}$Es universal con respecto a todas las familias planas de subesquemas que tienen polinomio de Hilbert . Es decir, dado un esquema y una familia plana , existe un morfismo único tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W'\subset X\times T}$ ${\displaystyle \phi :T\to H}$ ${\displaystyle \phi ^{*}W\cong W'}$

Espacio tangente

El espacio tangente del punto viene dado por las secciones globales del paquete normal ; eso es, ${\displaystyle [Y]\in H}$ ${\displaystyle N_{Y/X}}$

${\displaystyle T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})}$

Libre de obstáculos de intersecciones completas

Para intersecciones locales completas tales como , el punto es suave. Esto implica que ninguna deformación de in está libre de obstáculos. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})=0}$ ${\displaystyle [Y]\in H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Dimensión del espacio tangente

En el caso , la dimensión de at es mayor o igual a . ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [Y]}$ ${\displaystyle h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})}$

Además de estas propiedades, Francis Sowerby Macaulay  (1927) determinó para qué polinomios el esquema de Hilbert es no vacío, y Robin Hartshorne  (1966) demostró que si no es vacío entonces es linealmente conexo. Entonces, dos subesquemas del espacio proyectivo están en el mismo componente conexo del esquema de Hilbert si y sólo si tienen el mismo polinomio de Hilbert. ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$ ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$

Los esquemas de Hilbert pueden tener singularidades malas, como componentes irreducibles que no están reducidos en todos los puntos. También pueden tener componentes irreducibles de dimensiones inesperadamente altas. Por ejemplo, uno podría esperar que el esquema de Hilbert de d puntos (más precisamente dimensión 0, longitud d subesquemas) de un esquema de dimensión n tenga dimensión dn , pero si n ≥ 3 sus componentes irreducibles pueden tener una dimensión mucho mayor.

Interpretación funcional

Existe una interpretación alternativa del esquema de Hilbert que conduce a una generalización de los esquemas de Hilbert relativos que parametrizan subesquemas de un esquema relativo. Para un esquema de base fija , deje y deje ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\in (Sch/S)}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

ser el funtor que envía un esquema relativo al conjunto de clases de isomorfismo del conjunto ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}(T)=\left\{{\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\times _{S}T&\to &X\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{matrix}}:Z\to T{\text{ is flat}}\right\}/\sim }$

donde la relación de equivalencia viene dada por las clases de isomorfismo de . Esta construcción es funcional aprovechando los retrocesos de las familias. Dado , hay una familia de más . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:T'\to T}$ ${\displaystyle f^{*}Z=Z\times _{T}T'}$ ${\displaystyle T'}$

Representabilidad para mapas proyectivos.

Si el mapa de estructura es proyectivo, entonces este functor está representado por el esquema de Hilbert construido anteriormente. Generalizar esto al caso de mapas de tipo finito requiere la tecnología de espacios algebraicos desarrollada por Artin. ^[1] ${\displaystyle X\to S}$

Esquema relativo de Hilbert para mapas de espacios algebraicos

En su mayor generalidad, el funtor de Hilbert se define para un mapa de tipo finito de espacios algebraicos definido sobre un esquema . Entonces, el funtor de Hilbert se define como ^[2] ${\displaystyle f\colon X\to B}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets}$

enviando T a

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}}$.

Este functor no es representable mediante un esquema, sino mediante un espacio algebraico. Además, si , y es un mapa de esquemas de tipo finito, su functor de Hilbert está representado por un espacio algebraico. ${\displaystyle S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle X\to B}$

Ejemplos de esquemas de Hilbert

Esquemas de Fano de hipersuperficies.

Uno de los ejemplos que motivaron la investigación del esquema de Hilbert en general fue el esquema de Fano de un esquema proyectivo. Dado un subesquema de grado , existe un esquema para parametrizar dónde hay un plano en , lo que significa que es una incrustación de grado uno . ^[3] Para superficies lisas en grados , los esquemas de Fano no vacíos son suaves y de dimensión cero. Esto se debe a que las líneas en superficies lisas tienen una autointersección negativa. ^[3] ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F_{k}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (k,n)}$ ${\displaystyle H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle F_{k}(X)}$

Esquema de puntos de Hilbert

Otro conjunto común de ejemplos son los esquemas de Hilbert de puntos de un esquema , típicamente denotados . Porque hay una buena interpretación geométrica en la que se puede pensar que los lugares límite que describen la intersección de puntos parametrizan puntos junto con sus vectores tangentes. Por ejemplo, la ampliación del módulo diagonal ^[4] es la acción simétrica. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{[n]}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle B\subset H}$ ${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{[2]}}$ ${\displaystyle Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})}$

Hipersuperficies grado d

El esquema de Hilbert de grado k en hipersuperficies viene dado por la proyectivización . Por ejemplo, el esquema de Hilbert de hipersuperficies de grado 2 es con la hipersuperficie universal dada por ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}}$

donde el anillo subyacente está bigrado.

Esquema de Hilbert de curvas y módulos de curvas.

Para una curva algebraica de género fijo , el grado de la gavilla dualizadora tritensorada se genera globalmente, lo que significa que su característica de Euler está determinada por la dimensión de las secciones globales, por lo que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle \chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})}$.

La dimensión de este espacio vectorial es , por lo tanto, las secciones globales de determinan una incrustación para cada curva de género. Usando la fórmula de Riemann-Roch, el polinomio de Hilbert asociado se puede calcular como ${\displaystyle 5g-5}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5g-6}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)}$.

Entonces, el esquema de Hilbert

${\displaystyle {\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}}$

parametriza todas las curvas del género g . La construcción de este esquema es el primer paso en la construcción de la pila de módulos de curvas algebraicas. La otra herramienta técnica principal son los cocientes GIT, ya que este espacio de módulos se construye como el cociente

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]}$,

¿Dónde está el sublugar de curvas suaves en el esquema de Hilbert? ${\displaystyle U_{g}}$

Esquema de Hilbert de puntos en una variedad.

"Esquema de Hilbert" a veces se refiere al esquema de Hilbert puntual de subesquemas de dimensión 0 en un esquema. Informalmente, esto puede considerarse como algo así como colecciones finitas de puntos en un esquema, aunque esta imagen puede ser muy engañosa cuando varios puntos coinciden.

Existe un morfismo de Hilbert-Chow desde el esquema reducido de puntos de Hilbert a la variedad de ciclos de Chow, llevando cualquier esquema de dimensión 0 a su ciclo 0 asociado. (Fogarty 1968, 1969, 1973).

El esquema de Hilbert de n puntos en M está equipado con un morfismo natural para un n -ésimo producto simétrico de M. Este morfismo es biracional para M de dimensión como máximo 2. Para M de dimensión al menos 3, el morfismo no es biracional para n grande : el esquema de Hilbert es en general reducible y tiene componentes de dimensión mucho mayores que los del producto simétrico. ${\displaystyle M^{[n]}}$

El esquema de Hilbert de puntos en una curva C (una variedad compleja de dimensión 1) es isomorfo a una potencia simétrica de C. Es suave.

El esquema de Hilbert de n puntos sobre una superficie también es suave (Grothendieck). Si , se obtiene ampliando la diagonal y luego dividiéndola por la acción inducida por . Esto fue utilizado por Mark Haiman en su prueba de la positividad de los coeficientes de algunos polinomios de Macdonald . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

El esquema de Hilbert de una variedad suave de dimensión 3 o más no suele ser suave.

Esquemas de Hilbert y geometría hiperkähler.

Sea M una superficie de Kähler compleja con ( superficie K3 o un toro). El paquete canónico de M es trivial, como se desprende de la clasificación de superficies de Kodaira . Por tanto M admite una forma simpléctica holomorfa . Akira Fujiki (para ) y Arnaud Beauville observaron que también es holomórficamente simpléctico. Esto no es muy difícil de ver, por ejemplo, para . De hecho, es una ampliación de un cuadrado simétrico de M . Las singularidades de son localmente isomorfas a . La ampliación de es , y este espacio es simplético. Esto se utiliza para mostrar que la forma simpléctica se extiende naturalmente a la parte suave de los divisores excepcionales de . Se extiende al resto por el principio de Hartogs . ${\displaystyle c_{1}=0}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle M^{[2]}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle T^{*}\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$ ${\displaystyle M^{[n]}}$

Una variedad de Kähler holomórficamente simpléctica es hiperkähler , como se desprende del teorema de Calabi-Yau . Los esquemas de Hilbert de puntos en la superficie K3 y en un toro de 4 dimensiones dan dos series de ejemplos de variedades hiperkähler : un esquema de Hilbert de puntos en K3 y una superficie de Kummer generalizada .

Ver también

• esquema de cotizaciones
• Regularidad de Castelnuovo-Mumford
• El gran teorema de Matsusaka
• Módulos de curvas algebraicas.
• espacio de módulos
• Superficie modular Hilbert
• Variedad modular Siegel

Referencias

1. Artin, M. (31 de diciembre de 2015), "Algebraización de módulos formales: I", Análisis global: artículos en honor a K. Kodaira (PMS-29) , Princeton: Princeton University Press, págs. doi :10.1515/9781400871230-003, ISBN 978-1-4008-7123-0
2. "Sección 97.9 (0CZX): El funtor de Hilbert: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 17 de junio de 2020 .
3. "3264 y todo eso" (PDF) . págs.203, 212.
4. "Una introducción general al esquema de puntos de Hilbert en el plano" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 26 de febrero de 2020.

• Beauville, Arnaud (1983), "Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle", Journal of Differential Geometry , 18 (4): 755–782, doi : 10.4310/jdg/1214438181 , SEÑOR  0730926
• I. Dolgachev (2001) [1994], "Esquema de Hilbert", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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• Fogarty, John (1969), "Functores de Hilbert truncados", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 234 : 65–88, MR  0244268, archivado desde el original el 12 de febrero de 2013
• Fogarty, John (1973), "Familias algebraicas en una superficie algebraica. II. El esquema de Picard del esquema puntual de Hilbert", American Journal of Mathematics , 95 (3), Johns Hopkins University Press : 660–687, doi :10.2307/ 2373734, JSTOR  2373734, SEÑOR  0335512
• Göttsche, Lothar (1994), Esquemas de Hilbert de subesquemas de dimensión cero de variedades suaves , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1572, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0073491, ISBN 978-3-540-57814-7, SEÑOR  1312161
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• Macaulay, Francis Sowerby (1927), "Algunas propiedades de la enumeración en la teoría de sistemas modulares", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Serie 2, 26 : 531–555, doi :10.1112/plms/s2-26.1.531
• Mumford, David (21 de agosto de 1966), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-07993-6
• Nakajima, Hiraku (1999), Conferencias sobre esquemas de puntos de Hilbert en superficies , Serie de conferencias universitarias, vol. 18, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1956-2, señor  1711344
• Nitsure, Nitin (2005), "Construcción de esquemas de Hilbert y Quot", Geometría algebraica fundamental , Matemáticas. Encuestas Monogr., vol. 123, Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 105–137, arXiv : math/0504590 , Bibcode : 2005math......4590N, MR  2223407
• Qin, Zhenbo (2018), Esquemas de puntos de Hilbert y álgebras de Lie de dimensión infinita , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 228, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-1-4704-4188-3

Ejemplos y aplicaciones

• Fórmula de Bott y geometría enumerativa.
• El número de cúbicos torcidos en un quíntico triple
• Curvas racionales en triples de Calabi-Yau: verificación de predicciones de simetría especular

enlaces externos

• Bertram, Aaron (1999), Construcción del esquema Hilbert , consultado el 6 de septiembre de 2008.
• Boloñesa, Bárbara; Losev, Ivan, Introducción general al esquema de puntos de Hilbert en el plano (PDF) , archivado desde el original el 30 de agosto de 2017.{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Maclagan, Diane , Notas sobre los esquemas de Hilbert (PDF) , archivado desde el original el 7 de marzo de 2016{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)