colector Kähler

Colector con estructura riemanniana, compleja y simpléctica.

En matemáticas y especialmente en geometría diferencial , una variedad de Kähler es una variedad con tres estructuras mutuamente compatibles: una estructura compleja , una estructura de Riemann y una estructura simpléctica . El concepto fue estudiado por primera vez por Jan Arnoldus Schouten y David van Dantzig en 1930, y luego introducido por Erich Kähler en 1933. La terminología ha sido fijada por André Weil . La geometría de Kähler se refiere al estudio de las variedades Kähler, su geometría y topología, así como al estudio de estructuras y construcciones que se pueden realizar en las variedades Kähler, como la existencia de conexiones especiales como las conexiones Hermitian Yang-Mills , o métricas especiales como como métricas de Kähler-Einstein .

Cada variedad proyectiva compleja suave es una variedad de Kähler. La teoría de Hodge es una parte central de la geometría algebraica , demostrada mediante la métrica de Kähler.

Definiciones

Dado que los colectores Kähler están equipados con varias estructuras compatibles, se pueden describir desde diferentes puntos de vista:

Punto de vista simplético

Una variedad de Kähler es una variedad simpléctica ( X , ω ) equipada con una estructura casi compleja integrable J que es compatible con la forma simpléctica ω, lo que significa que la forma bilineal

${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$

en el espacio tangente de X en cada punto es simétrico y definido positivo (y por tanto una métrica de Riemann en X ). ^[1]

Punto de vista complejo

Una variedad de Kähler es una variedad compleja X con una métrica hermitiana h cuya forma 2 asociada ω es cerrada . Con más detalle, h da una forma hermitiana definida positiva en el espacio tangente TX en cada punto de X , y la forma 2 ω está definida por

${\displaystyle \omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)}$

para vectores tangentes u y v (donde i es el número complejo ). Para una variedad de Kähler X , la forma de Kähler ω es una forma (1,1) real cerrada . Una variedad de Kähler también puede verse como una variedad de Riemann, con la métrica de Riemann g definida por ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).}$

De manera equivalente, una variedad de Kähler X es una variedad hermitiana de dimensión compleja n tal que para cada punto p de X , hay un gráfico de coordenadas holomorfas alrededor de p en el que la métrica concuerda con la métrica estándar en C ⁿ para ordenar 2 cerca de p . ^[2] Es decir, si el gráfico lleva p a 0 en C ⁿ y la métrica se escribe en estas coordenadas como h _ab = (∂/∂ z _a,∂/∂ z _b) , entonces

${\displaystyle h_{ab}=\delta _{ab}+O(\|z\|^{2})}$

para todo a , b en {1, ..., n }.

Dado que la forma 2 ω es cerrada, determina un elemento en la cohomología H2 ⁽ X , R ) de De Rham , conocida como clase de Kähler .

Punto de vista riemanniano

Una variedad de Kähler es una variedad de Riemann X de dimensión par 2 n cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo unitario U ( n ). ^[3] De manera equivalente, existe una estructura compleja J en el espacio tangente de X en cada punto (es decir, un mapa lineal real de TX a sí mismo con J ² = −1 ) tal que J conserva la métrica g (lo que significa que g ( Ju , Jv ) = g ( u , v ) ) y J se conserva mediante transporte paralelo .

potencial de Kähler

Una función suave de valor real ρ en una variedad compleja se llama estrictamente plurisubarmónica si la forma real cerrada (1,1)

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho }$

es positivo, es decir, una forma de Kähler. Aquí están los operadores de Dolbeault . La función ρ se llama potencial de Kähler para ω . ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$

Por el contrario, mediante la versión compleja del lema de Poincaré , conocida como lema local ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ , cada métrica de Kähler puede describirse localmente de esta manera. Es decir, si ( X , ω ) es una variedad de Kähler, entonces para cada punto p en X hay una vecindad U de p y una función suave de valor real ρ en U tal que . ^[4] Aquí ρ se denomina potencial de Kähler local para ω . No existe una forma comparable de describir una métrica riemanniana general en términos de una única función. ${\displaystyle \omega \vert _{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$

Espacio de potenciales de Kähler

Si bien no siempre es posible describir una forma de Kähler globalmente utilizando un único potencial de Kähler, es posible describir la diferencia de dos formas de Kähler de esta manera, siempre que estén en la misma clase de cohomología de De Rham . Esto es una consecuencia del lema de la teoría de Hodge . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Es decir, si es una variedad Kähler compacta, entonces la clase de cohomología se llama clase Kähler . Cualquier otro representante de esta clase, digamos, se diferencia de por en alguna forma única . El lema establece además que esta forma exacta puede escribirse como para una función suave . En la discusión local anterior, se toma la clase local de Kähler en un subconjunto abierto y, según el lema de Poincaré, cualquier forma de Kähler será localmente cohomóloga a cero. Por tanto, el potencial de Kähler local es el mismo a nivel local. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega '=\omega +d\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d\beta }$ ${\displaystyle d\beta =i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$

En general, si es una clase de Kähler, entonces cualquier otra métrica de Kähler se puede escribir para una función tan fluida. Esta forma no es automáticamente una forma positiva , por lo que el espacio de potenciales de Kähler para la clase se define como aquellos casos positivos y comúnmente se denota por : ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{[\omega ]}:=\{\varphi :X\to \mathbb {R} {\text{ smooth}}\mid \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

Si dos potenciales de Kähler difieren en una constante, entonces definen la misma métrica de Kähler, por lo que el espacio de métricas de Kähler en la clase se puede identificar con el cociente . El espacio de potenciales de Kähler es un espacio contráctil . De esta manera, el espacio de potenciales de Kähler permite estudiar todas las métricas de Kähler en una clase determinada simultáneamente, y esta perspectiva en el estudio de la existencia resulta para las métricas de Kähler. ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$

Colectores y minimizadores de volumen Kähler

Para una variedad compacta de Kähler X , el volumen de un subespacio complejo cerrado de X está determinado por su clase de homología . En cierto sentido, esto significa que la geometría de un subespacio complejo está limitada en términos de su topología. (Esto falla completamente para subvariedades reales). Explícitamente, la fórmula de Wirtinger dice que

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r},}$

donde Y es un subespacio complejo cerrado de r dimensiones y ω es la forma de Kähler. ^[5] Dado que ω es cerrado, esta integral depende sólo de la clase de Y en H _{2 r} ( X , R ) . Estos volúmenes son siempre positivos, lo que expresa una fuerte positividad de la clase ω de Kähler en H ² ( X , R ) con respecto a subespacios complejos. En particular, ω ⁿ no es cero en H ^{2 n} ( X , R ) , para una variedad compacta de Kähler X de dimensión compleja n .

Un hecho relacionado es que cada subespacio complejo cerrado Y de una variedad compacta de Kähler X es una subvariedad mínima (fuera de su conjunto singular). Aún más: según la teoría de la geometría calibrada , Y minimiza el volumen entre todos los ciclos (reales) en la misma clase de homología.

Identidades Kähler

Como consecuencia de la fuerte interacción entre las estructuras suaves, complejas y riemannianas en una variedad de Kähler, existen identidades naturales entre los diversos operadores en las formas diferenciales complejas de las variedades de Kähler que no se cumplen para variedades complejas arbitrarias. Estas identidades relacionan la derivada exterior , los operadores de Dolbeault y sus adjuntos, los laplacianos , y el operador de Lefschetz y su adjunto, el operador de contracción . ^[6] Las identidades forman la base del conjunto de herramientas analíticas sobre las variedades de Kähler y, combinadas con la teoría de Hodge, son fundamentales para demostrar muchas propiedades importantes de las variedades de Kähler y su cohomología. En particular, las identidades de Kähler son fundamentales para demostrar los teoremas de desaparición de Kodaira y Nakano , el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema de Lefschetz duro , las relaciones bilineales de Hodge-Riemann y el teorema del índice de Hodge . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle L:=\omega \wedge -}$ ${\displaystyle \Lambda =L^{*}}$

El laplaciano en una variedad de Kähler

En una variedad de Riemann de dimensión N , el laplaciano en formas r suaves se define por dónde está la derivada exterior y dónde está el operador estrella de Hodge . (Equivalentemente, es el adjunto de con respecto al producto interno L 2 en r -formas con soporte compacto.) Para una variedad hermitiana X , y se descomponen como ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{Nr}\star d\star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}}$

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

y se definen otros dos laplacianos:

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

Si X es Kähler, las identidades de Kähler implican que estos laplacianos son todos iguales hasta una constante: ^[7]

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

Estas identidades implican que en una variedad de Kähler X ,

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),}$

donde es el espacio de las formas armónicas r en X (formas α con Δ α = 0 ) y es el espacio de las formas armónicas ( p , q ) . Es decir, una forma diferencial es armónica si y sólo si cada uno de sus componentes ( p , q ) es armónico. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Además, para una variedad compacta de Kähler X , la teoría de Hodge da una interpretación de la división anterior que no depende de la elección de la métrica de Kähler. Es decir, la cohomología H ^r ( X , C ) de X con coeficientes complejos se divide como una suma directa de ciertos grupos de cohomología de gavilla coherente : ^[8]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}$

El grupo de la izquierda depende sólo de X como espacio topológico, mientras que los grupos de la derecha dependen de X como una variedad compleja. Entonces, este teorema de descomposición de Hodge conecta la topología y la geometría compleja para variedades compactas de Kähler.

Sea H ^{p , q} ( X ) el espacio vectorial complejo H ^q ( X , Ω ^p ) , que puede identificarse con el espacio de formas armónicas con respecto a una métrica de Kähler dada. Los números de Hodge de X están definidos por h ^{p , q} ( X ) = dim _C H ^{p , q} ( X ) . La descomposición de Hodge implica una descomposición de los números de Betti de una variedad compacta de Kähler X en términos de sus números de Hodge: ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

Los números de Hodge de una variedad de Kähler compacta satisfacen varias identidades. La simetría de Hodge h ^{p , q} = h ^{q , p} se cumple porque el laplaciano es un operador real, y así . La identidad h ^{p , q} = h ^{n − p , n − q} se puede demostrar usando que el operador estrella de Hodge da un isomorfismo . También se desprende de la dualidad de Serre . ${\displaystyle \Delta _{d}}$ ${\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}}$ ${\displaystyle H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}}$

Topología de colectores compactos de Kähler

Una consecuencia simple de la teoría de Hodge es que todo número impar de Betti b _{2 a +1} de una variedad compacta de Kähler es par, según la simetría de Hodge. Esto no es cierto para variedades complejas compactas en general, como lo muestra el ejemplo de la superficie de Hopf , que es difeomorfa a S ¹ × S ³ y, por lo tanto, tiene b ₁ = 1 .

El "paquete Kähler" es una colección de restricciones adicionales sobre la cohomología de variedades compactas de Kähler, basándose en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema duro de Lefschetz y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . ^[9] Un resultado relacionado es que toda variedad compacta de Kähler es formal en el sentido de la teoría de la homotopía racional. ^[10]

La cuestión de qué grupos pueden ser grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler, llamadas grupos de Kähler , está muy abierta. La teoría de Hodge impone muchas restricciones a los posibles grupos de Kähler. ^[11] La restricción más simple es que la abelianización de un grupo de Kähler debe tener rango par, ya que el número de Betti b ₁ de una variedad de Kähler compacta es par. (Por ejemplo, los números enteros Z no pueden ser el grupo fundamental de una variedad compacta de Kähler). Las extensiones de la teoría, como la teoría de Hodge no abeliana, imponen restricciones adicionales sobre qué grupos pueden ser grupos de Kähler.

Sin la condición de Kähler, la situación es simple: Clifford Taubes demostró que todo grupo presentado finitamente surge como el grupo fundamental de alguna variedad compleja compacta de dimensión 3. ^[12] (Por el contrario, el grupo fundamental de cualquier variedad cerrada está presentado finitamente).

Caracterizaciones de variedades proyectivas complejas y variedades compactas de Kähler.

El teorema de incrustación de Kodaira caracteriza variedades proyectivas complejas y suaves entre todas las variedades compactas de Kähler. Es decir, una variedad compleja compacta X es proyectiva si y sólo si hay una forma de Kähler ω en X cuya clase en H ² ( X , R ) está en la imagen del grupo de cohomología integral H ² ( X , Z ) . (Debido a que un múltiplo positivo de una forma de Kähler es una forma de Kähler, es equivalente a decir que X tiene una forma de Kähler cuya clase en H ² ( X , R ) proviene de H ² ( X , Q ) .) De manera equivalente, X es proyectiva si y sólo si hay un paquete de líneas holomorfas L en X con una métrica hermitiana cuya forma de curvatura ω es positiva (ya que ω es entonces una forma de Kähler que representa la primera clase Chern de L en H ² ( X , Z ) ). La forma de Kähler ω que satisface estas condiciones (es decir, la forma de Kähler ω es una forma diferencial integral) también se llama forma de Hodge, y la métrica de Kähler en este momento se llama métrica de Hodge. Los colectores compactos de Kähler con métrica Hodge también se denominan colectores Hodge. ^{[13] [14]}

Muchas propiedades de las variedades de Kähler se mantienen en la generalidad ligeramente mayor de las variedades -, es decir, variedades complejas compactas para las cuales se cumple el lema . En particular, la cohomología de Bott-Chern es una alternativa a la cohomología de Dolbeault de variedades complejas compactas, y son isomorfas si y sólo si la variedad satisface el -lema y, en particular, concuerdan cuando la variedad es Kähler. En general, el núcleo del mapa natural desde la cohomología de Bott-Chern hasta la cohomología de Dolbeault contiene información sobre el hecho de que la variedad no sea Kähler. ^[15] ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Cada curva compleja compacta es proyectiva, pero en una dimensión compleja de al menos 2, hay muchas variedades Kähler compactas que no son proyectivas; por ejemplo, la mayoría de los toros complejos compactos no son proyectivos. Cabe preguntarse si toda variedad compacta de Kähler puede al menos deformarse (variando continuamente la estructura compleja) hasta obtener una variedad proyectiva suave. El trabajo de Kunihiko Kodaira sobre la clasificación de superficies implica que cada variedad compacta de Kähler de dimensión compleja 2 puede deformarse a una variedad proyectiva suave. Claire Voisin descubrió, sin embargo, que esto falla en dimensiones al menos 4. Construyó una variedad Kähler compacta de dimensión compleja 4 que ni siquiera es equivalente en homotopía a ninguna variedad proyectiva compleja suave. ^[dieciséis]

También se puede solicitar una caracterización de las variedades compactas de Kähler entre todas las variedades complejas compactas. En la dimensión compleja 2, Kodaira y Yum-Tong Siu demostraron que una superficie compleja compacta tiene una métrica de Kähler si y sólo si su primer número de Betti es par. ^[17] Buchdahl y Lamari proporcionaron de forma independiente una prueba alternativa de este resultado que no requiere un estudio duro caso por caso utilizando la clasificación de superficies compactas complejas. ^{[18] [19]} Por tanto, "Kähler" es una propiedad puramente topológica para superficies complejas compactas. El ejemplo de Hironaka muestra, sin embargo, que esto falla en dimensiones de al menos 3. Más detalladamente, el ejemplo es una familia de 1 parámetro de 3 pliegues complejos lisos y compactos, de modo que la mayoría de las fibras son Kähler (e incluso proyectivas), pero una fibra es No Kähler. Por tanto, una variedad de Kähler compacta puede ser difeomorfa de una variedad compleja que no es de Kähler.

Colectores de Kähler-Einstein

Una variedad de Kähler se llama Kähler-Einstein si tiene curvatura de Ricci constante . De manera equivalente, el tensor de curvatura de Ricci es igual a una constante λ multiplicada por el tensor métrico , Ric = λg . La referencia a Einstein proviene de la relatividad general , que afirma en ausencia de masa que el espacio-tiempo es una variedad lorentziana de 4 dimensiones con curvatura de Ricci cero. Consulte el artículo sobre variedades de Einstein para obtener más detalles.

Aunque la curvatura de Ricci se define para cualquier variedad de Riemann, juega un papel especial en la geometría de Kähler: la curvatura de Ricci de una variedad de Kähler X puede verse como una forma real cerrada (1,1) que representa c ₁ ( X ) (la primera clase de Chern del paquete tangente ) en H ² ( X , R ) . De ello se deduce que una variedad compacta de Kähler-Einstein X debe tener un paquete canónico K _X ya sea anti-amplio, homólogamente trivial o amplio , dependiendo de si la constante de Einstein λ es positiva, cero o negativa. Las variedades de Kähler de esos tres tipos se denominan Fano , Calabi-Yau o con haz canónico amplio (lo que implica tipo general ), respectivamente. Según el teorema de incrustación de Kodaira, las variedades de Fano y las variedades con paquete canónico amplio son automáticamente variedades proyectivas.

Shing-Tung Yau demostró la conjetura de Calabi : cada variedad proyectiva suave con paquete canónico amplio tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci negativa constante), y cada variedad de Calabi-Yau tiene una métrica de Kähler-Einstein (con curvatura de Ricci cero). Estos resultados son importantes para la clasificación de variedades algebraicas, con aplicaciones como la desigualdad de Miyaoka-Yau para variedades con paquete canónico amplio y la descomposición de Beauville-Bogomolov para variedades de Calabi-Yau. ^[20]

Por el contrario, no todas las variedades suaves de Fano tienen una métrica de Kähler-Einstein (que tendría una curvatura de Ricci positiva constante). Sin embargo, Xiuxiong Chen, Simon Donaldson y Song Sun demostraron la conjetura de Yau- Tian -Donaldson: una variedad Fano suave tiene una métrica de Kähler-Einstein si y sólo si es K-estable , una condición puramente álgebro-geométrica.

En situaciones en las que no puede existir una métrica de Kähler-Einstein, es posible estudiar generalizaciones leves que incluyen métricas de Kähler de curvatura escalar constante y métricas extremas de Kähler . Cuando puede existir una métrica de Kähler-Einstein, estas generalizaciones más amplias son automáticamente Kähler-Einstein.

Curvatura seccional holomorfa

La desviación de una variedad de Riemann X de la métrica estándar en el espacio euclidiano se mide mediante curvatura seccional , que es un número real asociado a cualquier plano 2 real en el espacio tangente de X en un punto. Por ejemplo, la curvatura seccional de la métrica estándar en CP ⁿ (para n ≥ 2 ) varía entre 1/4 y 1 en cada punto. Para una variedad hermitiana (por ejemplo, una variedad de Kähler), la curvatura seccional holomorfa significa la curvatura seccional restringida a líneas complejas en el espacio tangente. Esto se comporta de manera más simple, ya que CP ⁿ tiene una curvatura seccional holomorfa igual a 1 en todas partes. En el otro extremo, la bola unitaria abierta en C ⁿ tiene una métrica de Kähler completa con curvatura seccional holomorfa igual a −1. (Con esta métrica, la pelota también se llama espacio hiperbólico complejo ).

La curvatura seccional holomorfa está íntimamente relacionada con la geometría compleja de la variedad compleja subyacente. Es una consecuencia elemental del lema de Ahlfors Schwarz que si es una variedad hermitiana con una métrica hermitiana de curvatura seccional holomorfa negativa (limitada arriba por una constante negativa), entonces es hiperbólica de Brody (es decir, cada aplicación holomorfa es constante). Si X resulta ser compacto, entonces esto equivale a que la variedad sea hiperbólica de Kobayashi . ^[21] ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \to X}$

Por otro lado, si es una variedad de Kähler compacta con una métrica de Kähler de curvatura seccional holomorfa positiva, Yang Xiaokui demostró que X está racionalmente conexo. ${\displaystyle (X,\omega )}$

Una característica notable de la geometría compleja es que la curvatura seccional holomorfa disminuye en subvariedades complejas. ^[22] (Lo mismo ocurre con un concepto más general, curvatura biseccional holomorfa). Por ejemplo, cada subvariedad compleja de C ⁿ (con la métrica inducida de C ⁿ ) tiene curvatura seccional holomorfa ≤ 0.

Para mapas holomórficos entre variedades hermitianas, la curvatura seccional holomorfa no es lo suficientemente fuerte como para controlar el término de curvatura objetivo que aparece en la estimación de segundo orden del lema de Schwarz. Esto motivó la consideración de la curvatura biseccional real , introducida por Xiaokui Yang y Fangyang Zheng. ^[23] Esto también aparece en el trabajo de Man-Chun Lee y Jeffrey Streets bajo el nombre de operador de curvatura compleja . ^[24]

Ejemplos

1. El espacio complejo C ⁿ con la métrica hermitiana estándar es una variedad de Kähler.
2. Un toro complejo compacto C ⁿ /Λ (Λ una red completa ) hereda una métrica plana de la métrica euclidiana en C ⁿ y, por lo tanto, es una variedad de Kähler compacta.
3. Cada métrica de Riemann en una variedad 2 orientada es Kähler. (De hecho, su grupo de holonomía está contenido en el grupo de rotación SO(2), que es igual al grupo unitario U(1).) En particular, una variedad 2 de Riemann orientada es una superficie de Riemann de forma canónica; esto se conoce como existencia de coordenadas isotérmicas . Por el contrario, cada superficie de Riemann es Kähler ya que la forma Kähler de cualquier métrica hermitiana es cerrada por razones dimensionales.
4. Existe una elección estándar de métrica de Kähler en el espacio proyectivo complejo CP ⁿ , la métrica de Fubini-Study . Una descripción involucra el grupo unitario U( n + 1) , el grupo de automorfismos lineales de ^{Cn +1} que ^preservan la forma hermitiana estándar. La métrica de Fubini-Study es la única métrica de Riemann en CP ⁿ (hasta un múltiplo positivo) que es invariante bajo la acción de U ( n + 1) en CP ⁿ . Una generalización natural de CP ⁿ la proporcionan los espacios simétricos hermitianos de tipo compacto, como los Grassmannianos . La métrica natural de Kähler en un espacio simétrico hermitiano de tipo compacto tiene curvatura seccional ≥ 0.
5. La métrica inducida en una subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler. En particular, cualquier variedad de Stein (incrustada en C ⁿ ) o variedad algebraica proyectiva suave (incrustada en CP ⁿ ) es Kähler. Esta es una gran clase de ejemplos.
6. La bola unitaria abierta B en C ⁿ tiene una métrica de Kähler completa llamada métrica de Bergman , con curvatura seccional holomorfa igual a −1. Una generalización natural de la pelota la proporcionan los espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto, como el medio espacio superior de Siegel . Todo espacio simétrico hermitiano X de tipo no compacto es isomorfo a un dominio acotado en algún C ⁿ , y la métrica de Bergman de X es una métrica de Kähler completa con curvatura seccional ≤ 0.
7. Cada superficie K3 es Kähler (de Siu). ^[17]

Ver también

• Colector casi complejo
• Colector Hyperkähler
• Colector Quaternion-Kähler
• energía K funcional

Notas

1. Cannas da Silva (2001), Definición 16.1.
2. Zheng (2000), Proposición 7.14.
3. Kobayashi y Nomizu (1996), v.2, pág. 149.
4. Moroianu (2007), Proposición 8.8.
5. Zheng (2000), sección 7.4.
6. Huybrechts (2005), sección 3.1.
7. Huybrechts (2005), Proposición 3.1.12.
8. Huybrechts (2005), Corolario 3.2.12.
9. Huybrechts (2005), secciones 3.3 y 5.2,
10. Huybrechts (2005), Proposición 3.A.28.
11. Amorós et al. (1996)
12. Amorós et al. (1996), Corolario 1.66.
13. Wells (2007) p.217 Definición 1.1
14. Kodaira (1954)
15. Angella, D. y Tomassini, A., 2013. Sobre la cohomología del lema y Bott-Chern. Inventiones mathematicae , 192 (1), págs.71-81. ${\displaystyle \partial {\overline {\partial }}}$
16. Voisin (2004)
17. Barth y col. (2004), sección IV.3.
18. Buchdahl (1999)
19. Lamari (1999)
20. Zheng (2000), Corolario 9.8.
21. Zheng (2000), Lema 9.14.
22. Kobayashi y Nomizu (1996), v.2, Proposición IX.9.2.
23. Yang y Zheng (2018)
24. Lee y calles (2021)

Referencias

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enlaces externos

• "Múltiple Kähler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Moroianu, Andrei (2004), Conferencias sobre geometría de Kähler (PDF)