Identidades Kähler

En geometría compleja , las identidades de Kähler son una colección de identidades entre operadores en una variedad de Kähler que relacionan los operadores de Dolbeault y sus adjuntos , los operadores de contracción y cuña de la forma de Kähler y los laplacianos de la métrica de Kähler. Las identidades de Kähler se combinan con los resultados de la teoría de Hodge para producir una serie de relaciones en la cohomología de De Rham y Dolbeault de variedades compactas de Kähler, como el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema duro de Lefschetz , las relaciones bilineales de Hodge-Riemann y el teorema del índice de Hodge. . También son importantes, nuevamente combinados con la teoría de Hodge, para demostrar resultados analíticos fundamentales sobre variedades de Kähler, como el -lema , las desigualdades de Nakano y el teorema de fuga de Kodaira . ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Historia

Las identidades de Kähler fueron probadas por primera vez por WVD Hodge , que apareció en su libro sobre integrales armónicas en 1941. ^[1] La notación moderna de fue introducida por André Weil en el primer libro de texto sobre geometría de Kähler, Introducción a L'Étude des Variétés Kähleriennes. ^{[2] : 42} ${\displaystyle \Lambda }$

los operadores

Una variedad de Kähler admite una gran cantidad de operadores en su álgebra de formas diferenciales complejas ${\displaystyle (X,\omega ,J)}$

$${\displaystyle \Omega (X):=\bigoplus _{k\geq 0}\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p,q\geq 0}\Omega ^{p,q}(X)}$$

SCR^{[3] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle X}$

Operadores diferenciales

Los siguientes operadores son operadores diferenciales y surgen de la estructura compleja y fluida de : ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle d:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k+1}(X,\mathbb {C} )}$, la derivada exterior . ( S )
• ${\displaystyle \partial :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p+1,q}(X)}$, el operador Dolbeault . ( C ) ${\displaystyle (1,0)}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q+1}(X)}$, el operador Dolbeault . ( C ) ${\displaystyle (0,1)}$

Los operadores de Dolbeault están relacionados directamente con la derivada exterior mediante la fórmula . La propiedad característica de la derivada exterior que luego implica y . ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }$

Algunas fuentes utilizan el siguiente operador para expresar las identidades de Kähler.

• ${\displaystyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }}):\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p+1,q}(X)\oplus \Omega ^{p,q+1}(X)}$. ^{[Nota 1]} ( C )

Este operador es útil ya que las identidades de Kähler para se pueden deducir a partir de las identidades expresadas de manera más sucinta comparando bigrados. También es útil para la propiedad que . Se puede definir en términos de estructura compleja mediante la fórmula ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d^{c}}$ ${\displaystyle dd^{c}=i\partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle d^{c}=J^{-1}\circ d\circ J=-J\circ d\circ J.}$$

Operadores tensoriales

Los siguientes operadores son de naturaleza tensorial , es decir, son operadores que sólo dependen del valor de la forma diferencial compleja en un punto. En particular, cada uno de ellos puede definirse como operadores entre espacios vectoriales de formas en cada punto individualmente. ${\displaystyle \Lambda _{x}^{p,q}:=\Lambda ^{p}T_{1,0}^{*}X_{x}\otimes \Lambda ^{q}T_{0,1}^{*}X_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

• ${\displaystyle {\bar {\cdot }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{q,p}(X)}$, el operador conjugado complejo. ( C )
• ${\displaystyle L:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p+1,q+1}(X)}$, el operador de Lefschetz definido por dónde está la forma de Kähler. ( CR ) ${\displaystyle L(\alpha ):=\omega \wedge \alpha }$ ${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle \star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X)}$, el operador estrella de Hodge . ( r )

La descomposición por suma directa de las formas diferenciales complejas en aquellas de bigrado (p,q) manifiesta una serie de operadores de proyección.

• ${\displaystyle \Pi _{k}:\Omega (X)\to \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )}$, la proyección sobre la parte de grado k. ( S )
• ${\displaystyle \Pi _{p,q}:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{p,q}(X)}$, la proyección sobre la parte de bigrado (p,q). ( C )
• ${\displaystyle \Pi =\sum _{k=0}^{2n}(k-n)\Pi _{k}:\Omega (X)\to \Omega (X)}$, conocido como operador de conteo . ^{[3] : 34} ( S )
• ${\displaystyle J=\sum _{p,q=0}^{n}i^{p-q}\Pi _{p,q}}$, el operador de estructura compleja en el espacio vectorial complejo . ( C ) ${\displaystyle \Omega (X)}$

Observe que el último operador es la extensión de la estructura casi compleja de la variedad de Kähler a formas diferenciales complejas de mayor grado, donde se recuerda que para una forma y para una forma, también actúa con factor en una forma. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J(\alpha )=i\alpha }$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle J(\alpha )=-i\alpha }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i^{p-q}}$ ${\displaystyle (p,q)}$

Adjuntos

La métrica de Riemann en , así como su orientación natural que surge de la estructura compleja, se pueden utilizar para definir adjuntos formales de los operadores diferenciales y tensoriales anteriores. Estos adjuntos pueden definirse mediante integración por partes o mediante fórmulas explícitas utilizando el operador estrella de Hodge . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \star }$

Para definir los adjuntos por integración, tenga en cuenta que la métrica de Riemann en define un producto interno en según la fórmula ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X)}$

$${\displaystyle \langle \langle \alpha ,\beta \rangle \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle \alpha ,\beta \rangle {\frac {\omega ^{n}}{n!}}}$$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \langle \langle T\alpha ,\beta \rangle \rangle _{L^{2}}=\langle \langle \alpha ,T^{*}\beta \rangle \rangle _{L^{2}}.}$$

soportada de forma compacta ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

En particular, se obtienen los siguientes operadores adjuntos formales de los operadores diferenciales y tensoriales anteriores. Se incluyen las fórmulas explícitas para estos adjuntos en términos del operador estrella de Hodge . ^{[Nota 2]} ${\displaystyle \star }$

• ${\displaystyle d^{*}:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k-1}(X,\mathbb {C} )}$dado explícitamente por . ( SR ) ${\displaystyle d^{*}=-\star \circ d\circ \star }$
• ${\displaystyle \partial ^{*}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p-1,q}(X)}$dado explícitamente por . ( CR ) ${\displaystyle \partial ^{*}=-\star \circ {\bar {\partial }}\circ \star }$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{*}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q-1}(X)}$dado explícitamente por . ( CR ) ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{*}=-\star \circ \partial \circ \star }$
• ${\displaystyle {d^{c}}^{*}:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k+1}(X,\mathbb {C} )}$dado explícitamente por . ( CR ) ${\displaystyle {d^{c}}^{*}=-\star \circ d^{c}\circ \star }$
• ${\displaystyle L^{*}=\Lambda :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$dado explícitamente por . ( CR ) ${\displaystyle \Lambda =\star ^{-1}\circ L\circ \star }$

El último operador, el adjunto del operador de Lefschetz, se conoce como operador de contracción con la forma de Kähler y comúnmente se denota por . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Lambda }$

laplacianos

A partir de los operadores y sus adjuntos formales se encuentran varios operadores de Laplace correspondientes a y : ${\displaystyle d,\partial }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

• ${\displaystyle \Delta _{d}:=dd^{*}+d^{*}d:\Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )\to \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )}$, también conocido como operador de Laplace-de Rham . ( SR )
• ${\displaystyle \Delta _{\partial }:=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)}$. ( CR )
• ${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}:={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)}$. ( CR )

Cada uno de los laplacianos anteriores son operadores autoadjuntos .

Operadores reales y complejos

Incluso si la estructura compleja ( C ) es necesaria para definir los operadores anteriores, pueden aplicarse a formas diferenciales reales . Cuando la forma resultante también tiene coeficientes reales, se dice que el operador es un operador real . Esto se puede caracterizar además de dos maneras: si el conjugado complejo del operador es él mismo, o si el operador conmuta con la estructura casi compleja que actúa sobre formas diferenciales complejas. La composición de dos operadores reales es real. ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(X,\mathbb {R} )\subset \Omega ^{k}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle J}$

El conjugado complejo de los operadores anteriores es el siguiente:

• ${\displaystyle {\bar {d}}=d}$y . ${\displaystyle {\overline {d^{*}}}=d^{*}}$
• ${\displaystyle {\overline {(\partial )}}={\bar {\partial }}}$y y de manera similar para y . ${\displaystyle {\overline {({\bar {\partial }})}}=\partial }$ ${\displaystyle \partial ^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{*}}$
• ${\displaystyle {\overline {d^{c}}}=d^{c}}$y . ${\displaystyle {\overline {{d^{c}}^{*}}}={d^{c}}^{*}}$
• ${\displaystyle {\bar {\star }}=\star }$.
• ${\displaystyle {\bar {J}}=-J}$.
• ${\displaystyle {\bar {L}}=L}$y . ${\displaystyle {\bar {\Lambda }}=\Lambda }$
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{d}=\Delta _{d}}$.
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{\partial }=\Delta _{\partial }}$.
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{\bar {\partial }}=\Delta _{\bar {\partial }}}$.

Por lo tanto y son todos operadores reales. En particular, si alguno de estos operadores se indica con , entonces el conmutador donde es el operador de estructura compleja anterior. ${\displaystyle d,d^{*},d^{c},{d^{c}}^{*},\star ,L,\Lambda ,\Delta _{d},\Delta _{\partial },}$ ${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle [T,J]=0}$ ${\displaystyle J}$

las identidades

Las identidades de Kähler son una lista de relaciones de conmutador entre los operadores anteriores. Explícitamente denotamos por el operador obtenido a través de la composición de los operadores anteriores en diversos grados. ${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$ ${\displaystyle \Omega (X)=\Omega ^{\bullet }(X,\mathbb {C} )}$

Las identidades de Kähler son esencialmente identidades locales en la variedad de Kähler y se mantienen incluso en el caso no compacto. De hecho, pueden probarse en el caso modelo de una métrica de Kähler y transferirse a cualquier variedad de Kähler utilizando la propiedad clave de que la condición de Kähler implica que la métrica de Kähler toma la forma estándar hasta el segundo orden. Dado que las identidades de Kähler son identidades de primer orden en la métrica de Kähler, las relaciones del conmutador correspondientes implican las identidades de Kähler localmente en cualquier variedad de Kähler. ^{[4] : Capítulo 0 §7} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Cuando la variedad de Kähler es compacta, las identidades se pueden combinar con la teoría de Hodge para concluir muchos resultados sobre la cohomología de la variedad.

Identidades de Kähler ^{[3] : §3.1  [6] : §5.1  [7] : Ch V §4}  —  Sea una variedad de Kähler. Entonces se mantienen las siguientes identidades: ${\displaystyle (X,\omega ,J)}$

• ${\displaystyle [{\bar {\partial }},L]=0}$.
• ${\displaystyle [\partial ,L]=0}$.
• ${\displaystyle [{\bar {\partial }}^{*},\Lambda ]=0}$.
• ${\displaystyle [\partial ^{*},\Lambda ]=0}$.
• ${\displaystyle [{\bar {\partial }}^{*},L]=i\partial }$.
• ${\displaystyle [\partial ^{*},L]=-i{\bar {\partial }}}$.
• ${\displaystyle [\Lambda ,{\bar {\partial }}]=-i\partial ^{*}}$.
• ${\displaystyle [\Lambda ,\partial ]=i{\bar {\partial }}^{*}}$.
• ${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}$.
• ${\displaystyle \Delta =\Delta _{d}}$viaja con todos y . También conmuta y, por tanto, conserva bigrado (p,q). ${\displaystyle \star ,\partial ,{\bar {\partial }},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*},L,}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Pi ^{p,q}}$ ${\displaystyle \Delta _{d}}$

Además los operadores y satisfacen las identidades: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{c}}$

• ${\displaystyle [\Lambda ,d]=-2{d^{c}}^{*}}$.
• ${\displaystyle [L,d]=0}$.
• ${\displaystyle [\Lambda ,d^{c}]=0}$.
• ${\displaystyle [L,d^{*}]=2d^{c}}$.

Las identidades de Kähler anteriores se pueden actualizar en el caso de que los operadores diferenciales estén emparejados con una conexión Chern en un paquete de vectores holomorfos . Si es una métrica hermitiana y es un operador de Dolbeault que define la estructura holomorfa de , entonces la única conexión compatible de Chern y su parte satisfacen . Denota la forma de curvatura de la conexión Chern por . Los adjuntos formales se pueden definir de manera similar a lo anterior utilizando un producto interno donde la métrica hermitiana se combina con el producto interno en las formas. En este caso, todas las identidades de Kähler, a veces llamadas identidades Nakano , ^{[3] : Lem 5.2.3} se mantienen sin cambios, excepto lo siguiente: ^{[5] : Ch VII §1  [6] : §5.1} ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D_{E}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle \partial _{E}}$ ${\displaystyle D_{E}=\partial _{E}+{\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{2}}$

• ${\displaystyle [L,\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}]=-iF\wedge -}$.
• ${\displaystyle [L,\Delta _{\partial _{E}}]=iF\wedge -}$.
• ${\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}+\Delta _{\partial _{E}}=\Delta _{D_{E}}}$.
• ${\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}-\Delta _{\partial _{E}}=[iF\wedge -,\Lambda ]}$, conocida como la identidad Bochner-Kodaira-Nakano . ^{[5] : Capítulo VII § 1}

En particular, tenga en cuenta que cuando la conexión Chern asociada a es una conexión plana , de modo que la curvatura , aún se obtiene la relación que . ${\displaystyle (h,{\bar {\partial }}_{E})}$ ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle \Delta _{D_{E}}=2\Delta _{\partial _{E}}=2\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}$

Cohomología primitiva y representación de sl(2,C)

Además de las relaciones de conmutación contenidas en las identidades de Kähler, algunos de los operadores anteriores satisfacen otras relaciones de conmutación interesantes. En particular, recuerde el operador de Lefschetz , el operador de contracción y el operador de conteo anteriores. Entonces se pueden mostrar las siguientes relaciones de conmutación: ^{[3] : Proposición 1.2.26} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Pi }$

• ${\displaystyle [\Pi ,L]=2L}$.
• ${\displaystyle [\Pi ,\Lambda ]=-2\Lambda }$.
• ${\displaystyle [L,\Lambda ]=\Pi }$.

Comparando con el álgebra de Lie , se ve que forma un triple sl2 , y por lo tanto el álgebra de formas diferenciales complejas en una variedad de Kähler se convierte en una representación de . Las identidades de Kähler implican que todos los operadores conmutan y, por lo tanto, conservan las formas armónicas en su interior . En particular, cuando la variedad de Kähler es compacta, al aplicar la descomposición de Hodge , el triple de operadores desciende para dar un triple sl2 en la cohomología de De Rham de X. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{\Pi ,L,\Lambda \}}$ ${\displaystyle \Omega (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Pi ,L,\Lambda }$ ${\displaystyle \Delta _{d}}$ ${\displaystyle \Omega (X)}$ ${\displaystyle \{\Pi ,L,\Lambda \}}$

En el lenguaje de la teoría de la representación , el operador es el operador que sube y es el operador que baja . Cuando es compacto, es consecuencia de la teoría de Hodge que los grupos de cohomología son de dimensión finita. Por lo tanto la cohomología ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle H(X)=\bigoplus _{k=0}^{2n}H^{i}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p,q\geq 0}H^{p,q}(X)}$$

representaciones irreducibles de dimensión finita de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$^{[7] : Ch V §3}elemento primitivocohomología primitiva ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Lambda \alpha =0}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle P^{k}(X,\mathbb {C} )=\{\alpha \in H^{k}(X,\mathbb {C} )\mid \Lambda \alpha =0\},\quad P^{p,q}(X)=P^{k}(X,\mathbb {C} )\cap H^{p,q}(X).}$$

$${\displaystyle P^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}P^{p,q}(X).}$$

Descomposición dura de Lefschetz

La teoría de la representación describe completamente una representación irreductible en términos de su elemento primitivo. Si es un elemento primitivo distinto de cero, entonces, dado que las formas diferenciales desaparecen por encima de la dimensión , la cadena eventualmente termina después de un número finito de potencias de . Esto define un espacio vectorial de dimensión finita. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \alpha \in P^{k}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \alpha ,L(\alpha ),L^{2}(\alpha ),\dots }$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle V(\alpha )=\operatorname {span} \langle \alpha ,L(\alpha ),L^{2}(\alpha ),\dots \rangle }$$

descomposición dura de Lefschetz ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{\Pi ,L,\Lambda \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H(X)}$

Descomposición dura de Lefschetz ^{[6] : Thm 5.27  [3] : Prop 3.3.13  [5] : Ch VI Thm 8.17}  -  Sea una variedad compacta de Kähler. Entonces la cohomología de De Rham admite una descomposición de suma directa ortogonal ${\displaystyle (X,\omega ,J)}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{i\geq 0}L^{i}(P^{k-2i}(X,\mathbb {C} )).}$$

Esta descomposición es compatible con la descomposición de Hodge en grupos de cohomología de Dolbeault:

$${\displaystyle H^{p,q}(X)=\bigoplus _{i\geq 0}L^{i}(P^{p-i,q-i}(X)).}$$

Además

• Si entonces . ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle P^{k}(X,\mathbb {C} )=0}$
• El mapa es inyectivo para y se restringe a dar una inyección para cada (p,q) tal que . ${\displaystyle L^{n-k}:P^{k}(X,\mathbb {C} )\to H^{2n-k}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle L^{n-k}:P^{p,q}(X)\to H^{p+n-k,q+n-k}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle p+q=k}$
• El mapa es biyectivo para y se restringe a dar una biyección para cada (p,q) tal que . ${\displaystyle L^{n-k}:H^{k}(X,\mathbb {C} )\to H^{2n-k}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle L^{n-k}:H^{p,q}(X,\mathbb {C} )\to H^{p+n-k,q+n-k}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle p+q=k}$
• Si , entonces , y además . ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle P^{k}(X,\mathbb {C} )=\{\alpha \in H^{k}(X,\mathbb {C} )\mid L^{n-k+1}\alpha =0\}}$ ${\displaystyle P^{p,q}(X)=\{\alpha \in H^{p,q}(X)\mid L^{n-p-q+1}\alpha =0\}}$

Por las identidades de Kähler emparejadas con un paquete de vectores holomorfos, en el caso en que el paquete holomorfo sea plano, la descomposición de Hodge se extiende a los grupos de cohomología retorcidos de De Rham y a los grupos de cohomología de Dolbeault . El triple todavía actúa como un triple sl2 en la cohomología valorada en paquetes, y en este caso se cumple la versión a de la descomposición dura de Lefschetz. ^{[6] : Tom 5.31} ${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ ${\displaystyle \{\Pi ,L,\Lambda \}}$

Desigualdades de Nakano

Las desigualdades de Nakano son un par de desigualdades asociadas a productos internos de formas diferenciales armónicas con la curvatura de una conexión de Chern en un haz de vectores holomorfos sobre una variedad compacta de Kähler. En particular, sea un paquete de vectores holomorfos hermitianos sobre una variedad compacta de Kähler , y denotemos la curvatura de la conexión de Chern asociada. Las desigualdades de Nakano establecen que si es armónico, es decir, entonces ^{[7] : Capítulo VI Proposición 2.5} ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle F(h)}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}\alpha =0}$

• ${\displaystyle i\langle \langle F(h)\wedge \Lambda (\alpha ),\alpha \rangle \rangle _{L^{2}}\leq 0}$, y
• ${\displaystyle i\langle \langle \Lambda (F(h)\wedge \alpha ),\alpha \rangle \rangle _{L^{2}}\geq 0}$.

Estas desigualdades pueden probarse aplicando las identidades de Kähler acopladas a un paquete de vectores holomorfos como se describió anteriormente. En el caso de que haya un conjunto de líneas amplio , la curvatura de Chern es en sí misma una métrica de Kähler . La aplicación de las desigualdades de Nakano en este caso demuestra el teorema de fuga de Kodaira-Nakano para variedades compactas de Kähler. ${\displaystyle E=L}$ ${\displaystyle iF(h)}$ ${\displaystyle X}$

Notas

1. Algunas fuentes utilizan los coeficientes , o simplemente en la definición de por conveniencia de notación. Con la primera convención, la forma de Ricci de una métrica de Kähler tiene la forma local . Estas convenciones cambian las identidades de Kähler por una constante apropiada. ${\displaystyle -i/4\pi }$ ${\textstyle -i/2\pi }$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle d^{c}}$ ${\displaystyle \rho =dd^{c}\log \omega ^{n}}$ ${\displaystyle d^{c}}$
2. Tenga en cuenta que el signo (ver Codiferencial ) delante del adjunto se vuelve en todos los grados ya que la dimensión de la variedad compleja es par. ${\displaystyle n(k+1)+1}$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Hodge, WVD, 1989. La teoría y aplicaciones de las integrales armónicas . Archivo COPA.
2. Weil, A., 1958. Introducción al estudio de las variedades kählériennes
3. Huybrechts, D., 2005. Geometría compleja: una introducción (Vol. 78). Berlín: Springer.
4. Griffiths, P. y Harris, J., 2014. Principios de geometría algebraica . John Wiley e hijos.
5. Demailly, JP, 2012. Métodos analíticos en geometría algebraica (Vol. 1). Somerville, MA: Prensa internacional.
6. Ballmann, W., 2006. Conferencias sobre variedades de Kähler (Vol. 2). Sociedad matemática europea.
7. Wells, RON y García-Prada, O., 1980. Análisis diferencial de variedades complejas (Vol. 21980). Nueva York: Springer.