estructura de hodge

estructura algebraica

En matemáticas, una estructura de Hodge , llamada así en honor a WVD Hodge , es una estructura algebraica a nivel de álgebra lineal , similar a la que la teoría de Hodge da a los grupos de cohomología de una variedad de Kähler suave y compacta . Las estructuras de Hodge se han generalizado para todas las variedades complejas (incluso si son singulares e incompletas ) en forma de estructuras de Hodge mixtas , definidas por Pierre Deligne (1970). Una variación de la estructura de Hodge es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad, estudiada por primera vez por Phillip Griffiths (1968). Todos estos conceptos fueron generalizados aún más a módulos Hodge mixtos sobre variedades complejas por Morihiko Saito (1989).

estructuras de hodge

Definición de estructuras de Hodge

Una estructura de Hodge pura de peso entero n consiste en un grupo abeliano y una descomposición de su complejización H en una suma directa de subespacios complejos , donde , con la propiedad de que el conjugado complejo de es : ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle p+q=n}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle H^{q,p}}$

${\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}$

Se obtiene una definición equivalente reemplazando la descomposición suma directa de H por la filtración de Hodge , una filtración finita decreciente de H por subespacios complejos sujetos a la condición ${\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}$

La relación entre estas dos descripciones se da de la siguiente manera:

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}$

Por ejemplo, si X es una variedad de Kähler compacta , es el n -ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes enteros, entonces es su n -ésimo grupo de cohomología con coeficientes complejos y la teoría de Hodge proporciona la descomposición de H en una suma directa como se indicó anteriormente, de modo que estos datos definan una estructura de Hodge pura de peso n . Por otro lado, la secuencia espectral de Hodge-de Rham proporciona la filtración decreciente como en la segunda definición. ^[1] ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle F^{p}H}$

Para aplicaciones en geometría algebraica, es decir, clasificación de variedades proyectivas complejas por sus períodos , el conjunto de todas las estructuras de Hodge de peso n es demasiado grande. Utilizando las relaciones bilineales de Riemann , en este caso llamadas relaciones bilineales de Hodge Riemann , se puede simplificar sustancialmente. Una estructura de Hodge polarizada de peso n consta de una estructura de Hodge y una forma bilineal entera no degenerada Q en ( polarización ), que se extiende a H por linealidad y que satisface las condiciones: ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi );\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}$

En términos de la filtración de Hodge, estas condiciones implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}$

donde C es el operador de Weil en H , dado por on . ${\displaystyle C=i^{p-q}}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$

Otra definición más de una estructura de Hodge se basa en la equivalencia entre la clasificación en un espacio vectorial complejo y la acción del grupo circular U(1) . En esta definición , se da una acción del grupo multiplicativo de números complejos visto como un toro algebraico real bidimensional sobre H. ^[2] Esta acción debe tener la propiedad de que un número real a actúa por a ⁿ . El subespacio es el subespacio sobre el que actúa la multiplicación por ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle z^{p}{\overline {z}}^{q}.}$

Una estructura de Hodge

En la teoría de los motivos, resulta importante permitir coeficientes más generales para la cohomología. La definición de estructura de Hodge se modifica fijando un subanillo noetheriano A del campo de los números reales , para el cual es un campo. Luego , una estructura A pura de Hodge de peso n se define como antes, reemplazándola por A. Hay functores naturales de cambio de base y restricción que relacionan las estructuras A y B de Hodge para A , un subanillo de B. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Estructuras mixtas de Hodge

Jean-Pierre Serre se dio cuenta en la década de 1960, basándose en las conjeturas de Weil , de que incluso las variedades algebraicas singulares (posiblemente reducibles) y no completas deberían admitir "números virtuales de Betti". Más precisamente, uno debería poder asignar a cualquier variedad algebraica X un polinomio P _X ( t ), llamado su polinomio virtual de Poincaré , con las propiedades

• Si X es no singular y proyectivo (o completo)
  $${\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}}$$
• Si Y es un subconjunto algebraico cerrado de X y U = X  \  Y
  $${\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}$$

La existencia de tales polinomios se derivaría de la existencia de un análogo de la estructura de Hodge en las cohomologías de una variedad algebraica general (singular e incompleta). La característica novedosa es que la enésima cohomología de una variedad general parece contener piezas de diferentes pesos. Esto llevó a Alexander Grothendieck a su teoría conjetural de los motivos y motivó la búsqueda de una extensión de la teoría de Hodge, que culminó en el trabajo de Pierre Deligne . Introdujo la noción de una estructura de Hodge mixta, desarrolló técnicas para trabajar con ellas, dio su construcción (basada en la resolución de singularidades de Heisuke Hironaka ) y las relacionó con los pesos de la cohomología l-ádica , demostrando la última parte de la estructura de Weil. conjeturas .

Ejemplo de curvas

Para motivar la definición, considere el caso de una curva algebraica compleja reducible X que consta de dos componentes no singulares, y , que se cruzan transversalmente en los puntos y . Además, supongamos que los componentes no son compactos, pero pueden compactarse sumando los puntos . El primer grupo de cohomología de la curva X (con soporte compacto) es dual al primer grupo de homología, lo que es más fácil de visualizar. Hay tres tipos de ciclos únicos en este grupo. En primer lugar, hay elementos que representan pequeños bucles alrededor de los pinchazos . Luego están los elementos que van surgiendo de la primera homología de la compactación de cada uno de los componentes. El ciclo único en ( ) correspondiente a un ciclo en la compactación de este componente, no es canónico: estos elementos están determinados módulo el lapso de . Finalmente, módulo de los dos primeros tipos, el grupo se genera mediante un ciclo combinatorio que va de a a lo largo de una ruta en un componente y regresa a lo largo de una ruta en el otro componente . Esto sugiere que admite una filtración creciente. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle X_{k}\subset X}$ ${\displaystyle k=1,2}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}$

cuyos cocientes sucesivos W _n / W _{n −1} se originan en la cohomología de variedades completas suaves, por lo tanto admiten estructuras de Hodge (puras), aunque de diferentes pesos. Se pueden encontrar más ejemplos en "Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge". ^[3]

Definición de estructura mixta de Hodge

Una estructura de Hodge mixta en un grupo abeliano consiste en una filtración finita decreciente F ^p en el espacio vectorial complejo H (la complejización de ), llamada filtración de _Hodge y una filtración finita creciente Wi en el espacio vectorial racional (obtenida extendiendo los escalares a números racionales), llamada filtración en peso , sujeta al requisito de que el n -ésimo cociente graduado asociado de con respecto a la filtración en peso, junto con la filtración inducida por F en su complexificación, sea una estructura de Hodge pura de peso n , para todo número entero n . Aquí la filtración inducida en ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }$

es definido por

${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}$

Se puede definir una noción de morfismo de estructuras mixtas de Hodge, que debe ser compatible con las filtraciones F y W y demostrar lo siguiente:

Teorema. Las estructuras mixtas de Hodge forman una categoría abeliana . Los núcleos y núcleos de esta categoría coinciden con los núcleos y núcleos habituales en la categoría de espacios vectoriales, con las filtraciones inducidas.

La cohomología total de una variedad Kähler compacta tiene una estructura de Hodge mixta, donde el enésimo espacio de la filtración de peso W _n es la suma directa de los grupos de cohomología (con coeficientes racionales) de grado menor o igual a n . Por lo tanto, se puede pensar que la teoría clásica de Hodge en el caso compacto y complejo proporciona una doble calificación en el grupo de cohomología complejo, que define una filtración creciente F ^p y una filtración decreciente W _n que son compatibles en cierta manera. En general, el espacio de cohomología total todavía tiene estas dos filtraciones, pero ya no provienen de una descomposición por suma directa. En relación con la tercera definición de la estructura de Hodge pura, se puede decir que una estructura de Hodge mixta no puede describirse usando la acción del grupo. Una idea importante de Deligne es que en el caso mixto hay un grupo proalgebraico no conmutativo más complicado que puede utilizarse con el mismo efecto utilizando el formalismo tannakiano . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}$

Además, la categoría de estructuras de Hodge (mixtas) admite una buena noción de producto tensorial, correspondiente al producto de variedades, así como conceptos relacionados de Hom interno y objeto dual , lo que la convierte en una categoría tannakiana . Según la filosofía de Tannaka-Krein , esta categoría es equivalente a la categoría de representaciones de dimensión finita de un determinado grupo, que Deligne, Milne y et al. ha descrito explícitamente, ver Deligne & Milne (1982) ^[4] y Deligne (1994). Kapranov (2012) reformuló la descripción de este grupo en términos más geométricos. Patrikis (2016) realizó el análisis correspondiente (mucho más complicado) de estructuras de Hodge polarizables puras y racionales.

Estructura mixta de Hodge en cohomología (teorema de Deligne)

Deligne ha demostrado que el enésimo grupo de cohomología de una variedad algebraica arbitraria tiene una estructura de Hodge mixta canónica. Esta estructura es funcional y compatible con los productos de variedades ( isomorfismo de Künneth ) y el producto en cohomología. Para una variedad X completa no singular, esta estructura es pura de peso n , y la filtración de Hodge se puede definir mediante la hipercohomología del complejo de Rham truncado.

La prueba consta aproximadamente de dos partes, atendiendo a la no compacidad y las singularidades. Ambas partes utilizan la resolución de singularidades (debido a Hironaka) de manera esencial. En el caso singular, las variedades se reemplazan por esquemas simpliciales, lo que conduce a un álgebra homológica más complicada, y se utiliza una noción técnica de estructura de Hodge en complejos (a diferencia de la cohomología).

Utilizando la teoría de motivos , es posible refinar la filtración de peso en la cohomología con coeficientes racionales a una con coeficientes integrales. ^[5]

Ejemplos

• La estructura de Tate-Hodge es la estructura de Hodge con el módulo subyacente dado por (un subgrupo de ), por lo que es pura de peso −2 por definición y es la única estructura de Hodge pura unidimensional de peso −2 hasta isomorfismos. De manera más general, su n- ésima potencia tensor se denota por ser unidimensional y puro de peso −2 n . ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (n);}$
• La cohomología de una variedad Kähler compacta tiene una estructura de Hodge, y el enésimo grupo de cohomología es puro de peso n .
• La cohomología de una variedad compleja (posiblemente singular o no propia) tiene una estructura de Hodge mixta. Esto fue demostrado para variedades suaves por Deligne (1971), Deligne (1971a) y en general por Deligne (1974).
• Para una variedad proyectiva con singularidades de cruce normales, existe una secuencia espectral con una página E ₂ degenerada que calcula todas sus estructuras mixtas de Hodge. La página E ₁ tiene términos explícitos con un diferencial proveniente de un conjunto simple. ^[6] ${\displaystyle X}$
• Cualquier variedad suave X admite una compactación suave con complemento a un divisor de cruce normal. Las formas logarítmicas correspondientes se pueden utilizar para describir explícitamente la estructura mixta de Hodge en la cohomología de X. ^[7]
• La estructura de Hodge para una hipersuperficie proyectiva suave de grado fue elaborada explícitamente por Griffiths en su artículo "Period Integrals of Algebraic Manifolds". Si es el polinomio que define la hipersuperficie, entonces el anillo del cociente jacobiano graduado ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}$$
  Contiene toda la información de la cohomología media de . Él muestra que ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}$$
  Por ejemplo, considere la superficie K3 dada por , por lo tanto y . Entonces, el anillo jacobiano graduado es ${\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle n=2}$
  $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}$$
  El isomorfismo de los grupos de cohomología primitivos se lee entonces
  $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}}$$
  por eso
  $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}$$
  Observe que es el espacio vectorial abarcado por ${\displaystyle R(g)_{4}}$
  $${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}$$
  que tiene 19 dimensiones. Hay un vector adicional dado por la clase Lefschetz . A partir del teorema del hiperplano de Lefschetz y la dualidad de Hodge, el resto de la cohomología es tal como es -dimensional. Por lo tanto, el diamante Hodge dice ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle [L]}$ ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ ${\displaystyle 1}$
• También podemos utilizar el isomorfismo anterior para verificar el género de una curva plana de grados. Dado que es una curva suave y el teorema de fibración de Ehresmann garantiza que cualquier otra curva suave de género es difeomorfa, tenemos que el género es el mismo. Entonces, usando el isomorfismo de la cohomología primitiva con la parte graduada del anillo jacobiano, vemos que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}$ ${\displaystyle g}$
  $${\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}$$
  Esto implica que la dimensión es
  $${\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$$
  como se desee.
• Los números de Hodge para una intersección completa también son fácilmente computables: existe una fórmula combinatoria encontrada por Friedrich Hirzebruch . ^[8]

Aplicaciones

La maquinaria basada en las nociones de estructura de Hodge y estructura de Hodge mixta forma parte de la teoría de los motivos todavía en gran medida conjetural prevista por Alexander Grothendieck . La información aritmética para la variedad algebraica no singular X , codificada por el valor propio de elementos de Frobenius que actúan sobre su cohomología l-ádica , tiene algo en común con la estructura de Hodge que surge de X considerada como una variedad algebraica compleja. Sergei Gelfand y Yuri Manin observaron alrededor de 1988 en sus Métodos de álgebra homológica , que a diferencia de las simetrías de Galois que actúan sobre otros grupos de cohomología, el origen de las "simetrías de Hodge" es muy misterioso, aunque formalmente se expresan a través de la acción de un grupo bastante sencillo. sobre la cohomología de De Rham. Desde entonces, el misterio se ha profundizado con el descubrimiento y la formulación matemática de la simetría especular. ${\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}$

Variación de la estructura de Hodge.

Una variación de la estructura de Hodge (Griffiths (1968), Griffiths (1968a), Griffiths (1970)) es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad compleja X. Más precisamente, una variación de la estructura de Hodge de peso n en una variedad compleja X consiste en una gavilla localmente constante S de grupos abelianos generados finitamente en X , junto con una filtración de Hodge decreciente F en S ⊗ O _X , sujeto a las dos condiciones siguientes:

• La filtración induce una estructura de Hodge de peso n en cada tallo de la gavilla S
• ( Transversalidad de Griffiths ) La conexión natural en S ⊗ O _X se asigna a ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}$

Aquí la conexión natural (plana) en S ⊗ O _X inducida por la conexión plana en S y la conexión plana d en O _X , y O _X es el haz de funciones holomorfas en X , y es el haz de 1-formas en X . Esta conexión plana natural es una conexión Gauss-Manin ∇ y puede describirse mediante la ecuación de Picard-Fuchs . ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

Una variación de la estructura mixta de Hodge se puede definir de manera similar, agregando una clasificación o filtración W a S. Se pueden encontrar ejemplos típicos en los morfismos algebraicos . Por ejemplo, ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}$

tiene fibras

${\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}$

que son curvas planas suaves de género 10 para y degeneran a una curva singular en Entonces, las gavillas de cohomología ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle t=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}$

dar variaciones de estructuras mixtas de hodge.

módulos hodge

Los módulos de Hodge son una generalización de la variación de las estructuras de Hodge en una variedad compleja. Se pueden considerar informalmente como algo así como haces de estructuras de Hodge en una variedad; la definición precisa Saito (1989) es bastante técnica y complicada. Hay generalizaciones para módulos mixtos de Hodge y para variedades con singularidades.

Para cada variedad compleja suave, hay una categoría abeliana de módulos Hodge mixtos asociados a ella. Estos se comportan formalmente como las categorías de haces sobre las variedades; por ejemplo, los morfismos f entre variedades inducen functores f _∗ , f* , f _! , f ^! entre ( categorías derivadas de) módulos Hodge mixtos similares a los de las poleas.

Ver también

• Estructura mixta de Hodge
• Conjetura de Hodge
• ideal jacobiano
• Estructura de Hodge-Tate , un análogo p -ádico de las estructuras de Hodge.

Notas

1. En términos de secuencias espectrales, consulte álgebra homológica . Las filtraciones de Hodge se pueden describir de la siguiente manera:

   ${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\operatorname {gr} _{n}^{W}H)\Rightarrow H^{p+q},}$

   usando notaciones en #Definición de estructura mixta de Hodge. El hecho importante es que esto está degenerado en el término E ¹ , lo que significa que la secuencia espectral de Hodge-de Rham, y luego la descomposición de Hodge, depende solo de la estructura compleja, no de la métrica de Kähler en M.
2. Más precisamente, sea S el grupo algebraico real conmutativo bidimensional definido como la restricción de Weil del grupo multiplicativo de a en otras palabras, si A es un álgebra sobre entonces el grupo S ( A ) de puntos de S con valores A es el grupo multiplicativo de Entonces es el grupo de números complejos distintos de cero. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle A\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
3. Durfee, Alan (1981). "Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge". Análisis complejo de singularidades : 48–63. hdl :2433/102472.
4. El segundo artículo titulado Categorías tannakianas de Deligne y Milne se centró en este tema.
5. Gillet, Enrique ; Soulé, Christophe (1996). "Descendencia, motivos y teoría K ". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1996 (478): 127-176. arXiv : alg-geom/9507013 . Código Bib : 1995alg.geom..7013G. doi :10.1515/crll.1996.478.127. SEÑOR  1409056. S2CID  16441433., sección 3.1
6. Jones, BF, "Estructura mixta de Hodge de Deligne para variedades proyectivas solo con singularidades de cruce normales" (PDF) , Seminario de trabajo de la teoría de Hodge, primavera de 2005
7. Nicolaescu, Liviu, "Estructuras mixtas de Hodge sobre variedades algebraicas suaves" (PDF) , Seminario de trabajo de la teoría de Hodge, primavera de 2005
8. "Diamante Hodge de intersecciones completas". Intercambio de pila . 14 de diciembre de 2013.

Referencias introductorias

• Debarre, Olivier, Períodos y módulos
• Arapura, Donu, variedades algebraicas complejas y su cohomología (PDF) , págs. 120-123, archivado desde el original (PDF) el 4 de enero de 2020(Proporciona herramientas para calcular números de hodge utilizando cohomología de gavilla)
• Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge
• Dimca, Alexandru (1992). Singularidades y topología de hipersuperficies . Texto universitario. Nueva York: Springer-Verlag . págs.240, 261. doi :10.1007/978-1-4612-4404-2. ISBN 0-387-97709-0. SEÑOR  1194180. S2CID  117095021.(Proporciona una fórmula y generadores para números de Hodge mixtos de fibra de Milnor afín de un polinomio homogéneo ponderado, y también una fórmula para complementos de polinomios homogéneos ponderados en un espacio proyectivo ponderado).

Artículos de encuesta

• Arapura, Donu (2006), Estructuras mixtas de Hodge asociadas a variaciones geométricas (PDF) , arXiv : math/0611837 , Bibcode : 2006math..... 11837A

Referencias

• Deligne, Pierre (1971b), Travaux de Griffiths , Sem. Exp. Bourbaki. 376, Lectura. notas en matemáticas. Vol. 180, págs. 213–235
• Deligne, Pierre (1971), "Théorie de Hodge. I" (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , vol. 1, Gauthier-Villars, págs. 425–430, MR  0441965, archivado desde el original (PDF) el 2 de abril de 2015Esto construye una estructura de Hodge mixta sobre la cohomología de una variedad compleja.
• Deligne, Pierre (1971a), Teoría de Hodge. II., Instituto. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas. No. 40, págs. 5 a 57, SEÑOR  0498551Esto construye una estructura de Hodge mixta sobre la cohomología de una variedad compleja.
• Deligne, Pierre (1974), Teoría de Hodge. III., Instituto. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas. Núm. 44, págs. 5 a 77, SEÑOR  0498552Esto construye una estructura de Hodge mixta sobre la cohomología de una variedad compleja.
• Deligne, Pierre (1994), "Structures de Hodge mixtes réelles", Motives (Seattle, WA, 1991), Parte 1, Actas de simposios de matemática pura , vol. 55, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 509–514, SEÑOR  1265541
• Deligne, Pierre ; Milne, James (1982), "Categorías tannakianas", ciclos de Hodge, motivos y variedades de Shimura por Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shih , Lecture Notes in Mathematics , vol. 900, Springer-Verlag , págs. 1–414. Puede encontrar una versión comentada de este artículo en la página de inicio de J. Milne.
• Griffiths, Phillip (1968), "Períodos de integrales en variedades algebraicas I (Construcción y propiedades de las variedades modulares)", American Journal of Mathematics , 90 (2): 568–626, doi :10.2307/2373545, JSTOR  2373545
• Griffiths, Phillip (1968a), "Períodos de integrales en variedades algebraicas II (estudio local del mapeo de períodos)", American Journal of Mathematics , 90 (3): 808–865, doi :10.2307/2373485, JSTOR  2373485
• Griffiths, Phillip (1970), "Períodos de integrales en variedades algebraicas III. Algunas propiedades geométricas diferenciales globales del mapeo de períodos", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 38 : 228–296, doi :10.1007/BF02684654, S2CID  11443767
• Kapranov, Mikhail (2012), "Estructuras reales de Hodge mixtas", Journal of Nonconmutative Geometry , 6 (2): 321–342, arXiv : 0802.0215 , doi : 10.4171/jncg/93, MR  2914868, S2CID  56416260
• Ovseevich, Alexander I. (2001) [1994], "Estructura de Hodge", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Patrikis, Stefan (2016), "Grupos Mumford-Tate de estructuras de Hodge polarizables", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 144 (9): 3717–3729, arXiv : 1302.1803 , doi :10.1090/proc/13040, MR  3513533, S2CID  40142493
• Saito, Morihiko (1989), Introducción a los módulos mixtos de Hodge. Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987). , Astérisque No. 179–180, págs. 145–162, SEÑOR  1042805
• Schnell, Christian (2014), Una descripción general de la teoría de los módulos mixtos de Hodge de Morihiko Saito (PDF) , arXiv : 1405.3096
• Steenbrink, Joseph HM (2001) [1994], "Variación de la estructura de Hodge", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press