En geometría algebraica , el problema de resolución de singularidades pregunta si cada variedad algebraica V tiene una resolución, que es una variedad no singular W con una función biracional propia W → V . Para variedades sobre cuerpos de característica 0 , esto fue demostrado por Heisuke Hironaka en 1964; [1] mientras que para variedades de dimensión al menos 4 sobre cuerpos de característica p , es un problema abierto. [2]
Originalmente el problema de resolución de singularidades era encontrar un modelo no singular para el cuerpo de funciones de una variedad X , en otras palabras una variedad no singular completa X′ con el mismo cuerpo de funciones. En la práctica es más conveniente pedir una condición diferente como sigue: una variedad X tiene una resolución de singularidades si podemos encontrar una variedad no singular X′ y una función biracional propia de X′ a X . La condición de que la función sea propia es necesaria para excluir soluciones triviales, como tomar X′ como la subvariedad de puntos no singulares de X .
En términos más generales, suele ser útil resolver las singularidades de una variedad X incrustada en una variedad mayor W . Supongamos que tenemos una incrustación cerrada de X en una variedad regular W . Una fuerte desingularización de X se da mediante un morfismo biracional apropiado de una variedad regular W ′ a W sujeto a algunas de las siguientes condiciones (la elección exacta de las condiciones depende del autor):
Hironaka demostró que existe una fuerte desingularización que satisface las primeras tres condiciones anteriores siempre que X se define sobre un campo de característica 0, y su construcción fue mejorada por varios autores (ver más abajo) de modo que satisface todas las condiciones anteriores.
Cada curva algebraica tiene un modelo proyectivo no singular único, lo que significa que todos los métodos de resolución son esencialmente iguales porque todos construyen este modelo. En dimensiones superiores esto ya no es así: las variedades pueden tener muchos modelos proyectivos no singulares diferentes.
Kollár (2007) enumera alrededor de 20 formas de demostrar la resolución de singularidades de curvas.
La resolución de singularidades de curvas fue demostrada esencialmente por primera vez por Newton (1676), quien mostró la existencia de la serie de Puiseux para una curva de la cual la resolución se sigue fácilmente.
Riemann construyó una superficie de Riemann suave a partir del campo de funciones de una curva algebraica compleja, que proporciona una resolución de sus singularidades. Esto se puede hacer sobre campos más generales utilizando el conjunto de anillos de valoración discretos del campo como sustituto de la superficie de Riemann.
El método de Albanese consiste en tomar una curva que abarca un espacio proyectivo de dimensión suficientemente grande (más del doble del grado de la curva) y proyectarla repetidamente hacia abajo desde puntos singulares a espacios proyectivos de dimensión más pequeña. Este método se extiende a variedades de dimensiones superiores y muestra que cualquier variedad n -dimensional tiene un modelo proyectivo con singularidades de multiplicidad como máximo n !. Para una curva, n = 1 , y por lo tanto no hay puntos singulares.
Muhly y Zariski (1939) presentaron un método de un solo paso para resolver las singularidades de una curva mediante la normalización de la curva. La normalización elimina todas las singularidades en la codimensión 1, por lo que funciona para curvas, pero no en dimensiones superiores.
Otro método de un solo paso para resolver las singularidades de una curva es tomar un espacio de anillos de valoración del campo de funciones de la curva. Este espacio puede convertirse en una curva proyectiva no singular biracional con respecto a la curva original.
Ampliar repetidamente los puntos singulares de una curva eventualmente resolverá las singularidades. La tarea principal con este método es encontrar una manera de medir la complejidad de una singularidad y demostrar que ampliarla mejora esta medida. Hay muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, se puede usar el género aritmético de la curva.
El método de Noether toma una curva plana y aplica transformaciones cuadráticas repetidas (determinadas por un punto singular y dos puntos en posición general). Al final, esto produce una curva plana cuyas únicas singularidades son puntos múltiples ordinarios (todas las líneas tangentes tienen multiplicidad dos).
El método de Bertini es similar al de Noether. Comienza con una curva plana y aplica transformaciones birracionales repetidas veces al plano para mejorar la curva. Las transformaciones biracionales son más complicadas que las transformaciones cuadráticas utilizadas en el método de Noether, pero producen un mejor resultado, ya que las únicas singularidades son puntos dobles ordinarios.
Las superficies tienen muchos modelos proyectivos no singulares diferentes (a diferencia del caso de las curvas, donde el modelo proyectivo no singular es único). Sin embargo, una superficie aún tiene una resolución mínima única, que todas las demás tienen en cuenta (todas las demás son resoluciones de ella). En dimensiones superiores no es necesario que haya una resolución mínima.
Hubo varios intentos de demostrar la resolución para superficies sobre los números complejos por parte de Del Pezzo (1892), Levi (1899), Severi (1914), Chisini (1921) y Albanese (1924), pero Zariski (1935, capítulo I sección 6) señala que ninguno de estos primeros intentos es completo, y todos son vagos (o incluso erróneos) en algún punto crítico del argumento. La primera prueba rigurosa fue dada por Walker (1935), y una prueba algebraica para todos los cuerpos de característica 0 fue dada por Zariski (1939). Abhyankar (1956) dio una prueba para superficies de característica no nula. La resolución de singularidades también ha sido demostrada para todos los esquemas bidimensionales excelentes (incluyendo todas las superficies aritméticas) por Lipman (1978).
El método de Zariski para resolver singularidades en superficies consiste en alternar repetidamente la normalización de la superficie (que elimina las singularidades de codimensión 1) con la explosión de puntos (que mejora las singularidades de codimensión 2, pero puede introducir nuevas singularidades de codimensión 1). Aunque esto resolverá las singularidades de las superficies por sí mismo, Zariski utilizó un método más indirecto: primero demostró un teorema de uniformización local que mostraba que cada valoración de una superficie podía resolverse, luego utilizó la compacidad de la superficie de Zariski-Riemann para mostrar que es posible encontrar un conjunto finito de superficies tales que el centro de cada valoración sea simple en al menos una de estas superficies y, finalmente, al estudiar las funciones biracionales entre superficies, demostró que este conjunto finito de superficies podía reemplazarse por una única superficie no singular.
Jung (1908) aplica una fuerte resolución incorporada a las curvas para reducirlas a una superficie con sólo singularidades bastante especiales (singularidades de cociente abeliano) que luego se tratan explícitamente. La versión de dimensiones superiores de este método es el método de De Jong.
En general, el análogo del método de Albanese para curvas muestra que para cualquier variedad se puede reducir a singularidades de orden n como máximo , donde n es la dimensión. Para superficies esto se reduce al caso de singularidades de orden 2, que son bastante fáciles de hacer explícitamente.
Abhyankar (1956) demostró la resolución de singularidades para superficies sobre un cuerpo de cualquier característica al demostrar un teorema de uniformización local para anillos de valoración. El caso más difícil es el de los anillos de valoración de rango 1 cuyo grupo de valoración es un subgrupo no discreto de los números racionales. El resto de la demostración sigue el método de Zariski.
El método de Hironaka para variedades características arbitrarias proporciona un método de resolución para superficies, que implica ampliar repetidamente puntos o curvas suaves en el conjunto singular.
Lipman (1978) demostró que una superficie Y (un esquema noetheriano reducido bidimensional) tiene una desingularización si y solo si su normalización es finita sobre Y y analíticamente normal (las terminaciones de sus puntos singulares son normales) y tiene solo un número finito de puntos singulares. En particular, si Y es excelente , entonces tiene una desingularización.
Su método consistía en considerar superficies normales Z con una función propia biracional en Y y demostrar que existe una mínima con un género aritmético posible mínimo. Luego demuestra que todas las singularidades de esta Z mínima son pseudorracionales y demuestra que las singularidades pseudorracionales se pueden resolver haciendo estallar puntos repetidamente.
El problema de la resolución de singularidades en dimensiones superiores es conocido por muchas pruebas publicadas incorrectamente y anuncios de pruebas que nunca aparecieron.
Para 3-folds la resolución de singularidades fue probada en característica 0 por Zariski (1944). Primero demostró un teorema sobre uniformización local de anillos de valoración, válido para variedades de cualquier dimensión sobre cualquier cuerpo de característica 0. Luego demostró que el espacio de Zariski-Riemann de valoraciones es cuasi-compacto (para cualquier variedad de cualquier dimensión sobre cualquier cuerpo), lo que implica que hay una familia finita de modelos de cualquier variedad proyectiva tal que cualquier valoración tiene un centro suave sobre al menos uno de estos modelos. La parte final y más difícil de la prueba, que utiliza el hecho de que la variedad es de dimensión 3 pero que funciona para todas las características, es mostrar que dados 2 modelos uno puede encontrar un tercero que resuelva las singularidades que cada uno de los dos modelos dados resuelve.
Abhyankar (1966) demostró la resolución de singularidades para 3 pliegues en característica mayor que 6. La restricción en la característica surge porque Abhyankar muestra que es posible resolver cualquier singularidad de un 3 pliegue de multiplicidad menor que la característica, y luego utiliza el método de Albanese para demostrar que las singularidades pueden reducirse a las de multiplicidad como máximo (dimensión)! = 3! = 6. Cutkosky (2009) dio una versión simplificada de la prueba de Abhyankar.
Cossart y Piltant (2008, 2009) demostraron la resolución de singularidades de 3-folds en todas las características, al probar la uniformización local en dimensión como máximo 3, y luego verificar que la prueba de Zariski de que esto implica resolución para 3-folds todavía funciona en el caso de característica positiva.
La resolución de singularidades de característica 0 en todas las dimensiones fue demostrada por primera vez por Hironaka (1964). Demostró que era posible resolver singularidades de variedades sobre cuerpos de característica 0 mediante la explosión repetida a lo largo de subvariedades no singulares, utilizando un argumento muy complicado por inducción en la dimensión. Varias personas dieron versiones simplificadas de su formidable prueba, entre ellas Bierstone y Milman (1991), Bierstone y Milman (1997), Villamayor (1992), Encinas y Villamayor (1998), Encinas y Hauser (2002), Wlodarczyk (2005), Kollár (2007). Algunas de las pruebas recientes tienen aproximadamente una décima parte de la longitud de la prueba original de Hironaka, y son lo suficientemente fáciles como para darlas en un curso introductorio de posgrado. Para una explicación expositiva del teorema, véase (Hauser 2003) y para una discusión histórica, véase (Hauser 2000).
De Jong (1996) encontró un enfoque diferente para la resolución de singularidades, generalizando el método de Jung para superficies, que fue utilizado por Bogomolov y Pantev (1996) y por Abramovich y de Jong (1997) para probar la resolución de singularidades en la característica 0. El método de De Jong dio un resultado más débil para variedades de todas las dimensiones en la característica p , que es lo suficientemente fuerte como para actuar como un sustituto de la resolución para muchos propósitos. De Jong demostró que para cualquier variedad X sobre un cuerpo hay un morfismo propio dominante que preserva la dimensión de una variedad regular sobre X . Esto no necesita ser una función biracional, por lo que no es una resolución de singularidades, ya que puede ser genéricamente finito a uno y por lo tanto implica una extensión finita del cuerpo de funciones de X . La idea de De Jong era tratar de representar X como una fibración sobre un espacio más pequeño Y con fibras que son curvas (esto puede implicar modificar X ), luego eliminar las singularidades de Y por inducción en la dimensión, luego eliminar las singularidades en las fibras.
Es fácil extender la definición de resolución a todos los esquemas. No todos los esquemas tienen resoluciones de sus singularidades: Grothendieck y Dieudonné (1965, sección 7.9) demostraron que si un esquema localmente noetheriano X tiene la propiedad de que se pueden resolver las singularidades de cualquier esquema integral finito sobre X , entonces X debe ser cuasi-excelente . Grothendieck también sugirió que podría darse lo inverso: en otras palabras, si un esquema localmente noetheriano X es reducido y cuasi excelente, entonces es posible resolver sus singularidades. Cuando X se define sobre un cuerpo de característica 0 y es noetheriano, esto se sigue del teorema de Hironaka, y cuando X tiene dimensión como máximo 2 fue demostrado por Lipman.
Hauser (2010) presentó un estudio del trabajo sobre el problema de resolución de características p no resuelto .
La percepción persistente de que la prueba de resolución es muy difícil se fue alejando gradualmente de la realidad. ... es posible probar la resolución en las últimas dos semanas de un curso inicial de geometría algebraica.
(Kollár 2007, Conferencias sobre resolución de singularidades)
Existen muchas construcciones de desingularización fuerte pero todas ellas dan esencialmente el mismo resultado. En cada caso el objeto global (la variedad a desingularizar) se reemplaza por datos locales (el haz ideal de la variedad y los de los divisores excepcionales y algunos órdenes que representan cuánto debe resolverse el ideal en ese paso). Con estos datos locales se definen los centros de explosión. Los centros se definirán localmente y por lo tanto es un problema garantizar que coincidirán en un centro global. Esto se puede hacer definiendo qué explosiones se permiten para resolver cada ideal. Si se hace adecuadamente, esto hará que los centros coincidan automáticamente. Otra forma es definir un invariante local en función de la variedad y la historia de la resolución (los centros locales anteriores) de modo que los centros consistan en el lugar geométrico máximo del invariante. La definición de esto se hace de modo que hacer esta elección sea significativo, dando centros suaves transversales a los divisores excepcionales.
En ambos casos el problema se reduce a resolver singularidades de la tupla formada por el haz ideal y los datos extra (los divisores excepcionales y el orden, d , al que debe ir la resolución para ese ideal). Esta tupla se llama ideal marcado y el conjunto de puntos en el que el orden del ideal es mayor que d se llama su co-soporte. La prueba de que existe una resolución para los ideales marcados se hace por inducción sobre dimensión. La inducción se divide en dos pasos:
Aquí decimos que un ideal marcado es de orden máximo si en algún punto de su co-soporte el orden del ideal es igual a d . Un ingrediente clave en la resolución fuerte es el uso de la función de Hilbert-Samuel de los anillos locales de los puntos en la variedad. Este es uno de los componentes del invariante de resolución.
La invariante más obvia de una singularidad es su multiplicidad. Sin embargo, esta no tiene por qué disminuir con la explosión, por lo que es necesario utilizar invariantes más sutiles para medir la mejora.
Por ejemplo, la cúspide romboidal y 2 = x 5 tiene una singularidad de orden 2 en el origen. Después de estallar en su punto singular se convierte en la cúspide ordinaria y 2 = x 3 , que todavía tiene multiplicidad 2.
Está claro que la singularidad ha mejorado, ya que el grado del polinomio definitorio ha disminuido. Esto no sucede en general. Un ejemplo en el que no sucede lo da la singularidad aislada de x 2 + y 3 z + z 3 = 0 en el origen. Al ampliarla se obtiene la singularidad x 2 + y 2 z + yz 3 = 0. No es inmediatamente obvio que esta nueva singularidad sea mejor, ya que ambas singularidades tienen multiplicidad 2 y están dadas por la suma de monomios de grados 2, 3 y 4.
Una idea natural para mejorar las singularidades es hacer estallar el lugar geométrico de los puntos singulares "peores". El paraguas de Whitney x 2 = y 2 z tiene como eje z un conjunto singular , la mayoría de cuyos puntos son puntos dobles ordinarios, pero hay una singularidad de punto de pinza más complicada en el origen, por lo que hacer estallar los peores puntos singulares sugiere que uno debería comenzar por hacer estallar el origen. Sin embargo, hacer estallar el origen reproduce la misma singularidad en uno de los gráficos de coordenadas. Por lo tanto, hacer estallar los puntos singulares (aparentemente) "peores" no mejora la singularidad. En cambio, la singularidad se puede resolver haciéndola estallar a lo largo del eje z .
Hay algoritmos que funcionan haciendo estallar los puntos singulares "peores" en algún sentido, como (Bierstone y Milman 1997), pero este ejemplo muestra que la definición de los puntos "peores" debe ser bastante sutil.
Para singularidades más complicadas, como x 2 = y m z n, que es singular a lo largo de x = yz = 0, hacer estallar la peor singularidad en el origen produce las singularidades x 2 = y m + n −2 z n y x 2 = y m z m + n −2, que son peores que la singularidad original si m y n son ambas al menos 3.
Después de la resolución, la transformada total (la unión de la transformada estricta y los divisores excepcionales) es una variedad con singularidades del tipo de cruces normales simples. Es natural considerar la posibilidad de resolver singularidades sin resolver este tipo de singularidades, esto es encontrar una resolución que sea un isomorfismo sobre el conjunto de puntos de cruces normales suaves y simples. Cuando la transformada estricta es un divisor (es decir, puede ser incrustada como una subvariedad de codimensión uno en una variedad suave) se sabe que existe una resolución fuerte que evita los puntos de cruces normales simples. El paraguas de Whitney muestra que no es posible resolver singularidades evitando hacer estallar las singularidades de cruces normales.
Una forma natural de resolver singularidades es hacer estallar repetidamente alguna subvariedad suave elegida canónicamente. Esto nos lleva al siguiente problema. El conjunto singular de x 2 = y 2 z 2 es el par de líneas dado por los ejes y y z . Las únicas variedades razonables para hacer estallar son el origen, uno de estos dos ejes o el conjunto singular completo (ambos ejes). Sin embargo, no se puede utilizar el conjunto singular completo ya que no es suave y elegir uno de los dos ejes rompe la simetría entre ellos, por lo que no es canónico. Esto significa que tenemos que empezar por hacer estallar el origen, pero esto reproduce la singularidad original, por lo que parece que estamos dando vueltas en círculos.
La solución a este problema es que, aunque ampliar el origen no cambia el tipo de singularidad, sí proporciona una mejora sutil: rompe la simetría entre los dos ejes singulares porque uno de ellos es un divisor excepcional para una ampliación anterior, por lo que ahora es permisible ampliar solo uno de ellos. Sin embargo, para aprovechar esto, el procedimiento de resolución necesita tratar estas dos singularidades de manera diferente, aunque localmente sean las mismas. Esto a veces se hace dándole al procedimiento de resolución algo de memoria, de modo que el centro de la ampliación en cada paso dependa no solo de la singularidad, sino también de las ampliaciones anteriores utilizadas para producirla.
Algunos métodos de resolución (en característica 0) son funcionales para todos los morfismos suaves. Sin embargo, no es posible encontrar un funcional de resolución fuerte para todos los morfismos (posiblemente no suaves). Un ejemplo lo da la función del plano afín A 2 a la singularidad cónica x 2 + y 2 = z 2 tomando ( X , Y ) como (2 XY , X 2 − Y 2 , X 2 + Y 2 ). El plano XY ya es no singular, por lo que no debería cambiarse por resolución, y cualquier resolución de la singularidad cónica se factoriza a través de la resolución mínima dada por la explosión del punto singular. Sin embargo, la función racional del plano XY a esta explosión no se extiende a una función regular.
Las resoluciones mínimas (resoluciones tales que cada resolución se factoriza a través de ellas) existen en dimensiones 1 y 2, pero no siempre en dimensiones superiores. El flop de Atiyah da un ejemplo en 3 dimensiones de una singularidad sin resolución mínima. Sea Y los ceros de xy = zw en A 4 , y sea V la explosión de Y en el origen. El lugar geométrico excepcional de esta explosión es isomorfo a P 1 × P 1 , y puede reducirse a P 1 de 2 maneras diferentes, dando dos resoluciones pequeñas X 1 y X 2 de Y , ninguna de las cuales puede reducirse más.
Kollár (2007, ejemplo 3.4.4, página 121) da el siguiente ejemplo que muestra que no se puede esperar que un procedimiento de resolución suficientemente bueno conmute con productos. Si f : A → B es la ampliación del origen de un cono cuadrático B en un 3-espacio afín, entonces f × f : A × A → B × B no puede producirse mediante un procedimiento de resolución local étale, esencialmente porque el lugar excepcional tiene 2 componentes que se intersecan.
Las singularidades de las variedades tóricas dan ejemplos de singularidades de alta dimensión que son fáciles de resolver explícitamente. Una variedad tórica se define por un abanico, una colección de conos en una red. Las singularidades se pueden resolver subdividiendo cada cono en una unión de conos, cada uno de los cuales se genera a partir de una base para la red, y tomando la variedad tórica correspondiente.
La construcción de una desingularización de una variedad X puede no producir centros de explosiones que sean subvariedades suaves de X . Muchas construcciones de una desingularización de una variedad abstracta X proceden mediante la incrustación local de X en una variedad suave W , considerando su ideal en W y calculando una desingularización canónica de este ideal. La desingularización de ideales utiliza el orden del ideal como una medida de cuán singular es el ideal. La desingularización del ideal puede hacerse de tal manera que uno pueda justificar que los centros locales se juntan para dar centros globales. Este método conduce a una prueba que es relativamente más simple de presentar, en comparación con la prueba original de Hironaka, que utiliza la función de Hilbert-Samuel como la medida de cuán malas son las singularidades. Por ejemplo, las pruebas en Villamayor (1992), Encinas y Villamayor (1998), Encinas y Hauser (2002) y Kollár (2007) utilizan esta idea. Sin embargo, este método sólo garantiza centros de explosiones que sean regulares en W.
El siguiente ejemplo muestra que este método puede producir centros que tienen intersecciones no suaves con la (transformada estricta de) X . [3] Por lo tanto, la desingularización resultante, cuando se restringe a la variedad abstracta X , no se obtiene haciendo estallar subvariedades regulares de X .
Sea X la subvariedad del plano afín de cuatro dimensiones, con coordenadas x,y,z,w , generada por y 2 - x 3 y x 4 + xz 2 - w 3 . La desingularización canónica del ideal con estos generadores haría estallar el centro C 0 dado por x = y = z = w =0. La transformada del ideal en el diagrama x si se genera por x - y 2 e y 2 ( y 2 + z 2 - w 3 ). El siguiente centro de explosión C 1 está dado por x = y =0. Sin embargo, la transformada estricta de X es X 1 , que se genera por x - y 2 e y 2 + z 2 - w 3 . Esto significa que la intersección de C 1 y X 1 está dada por x = y =0 y z 2 - w 3 =0, que no es regular.
Para producir centros de explosiones que sean subvariedades regulares de X, se utilizan pruebas más fuertes de la función de Hilbert-Samuel de los anillos locales de X en lugar del orden de su ideal en la incrustación local en W. [4]
Después de la resolución, la transformada total, la unión de la transformada estricta, X , y el divisor excepcional, es una variedad que se puede hacer, en el mejor de los casos, que tenga singularidades de cruce normales simples. Entonces es natural considerar la posibilidad de resolver singularidades sin resolver este tipo de singularidades. El problema es encontrar una resolución que sea un isomorfismo sobre el conjunto de puntos de cruce normales suaves y simples. Cuando X es un divisor, es decir, se puede incrustar como una subvariedad de codimensión uno en una variedad suave, se sabe que es cierta la existencia de la resolución fuerte que evita los puntos de cruce normales simples. El caso general o las generalizaciones para evitar diferentes tipos de singularidades aún no se conocen. [5]
Es imposible evitar ciertas singularidades. Por ejemplo, no se pueden resolver las singularidades evitando hacer estallar las singularidades de cruces normales. De hecho, para resolver la singularidad del punto de pinzamiento, es necesario hacer estallar todo el lugar geométrico singular, incluidos los puntos en los que hay singularidades de cruces normales.
