En geometría algebraica , una variedad o esquema algebraico X es normal si es normal en todos los puntos, lo que significa que el anillo local en el punto es un dominio integralmente cerrado . Una variedad afín X (entendida como irreducible) es normal si y sólo si el anillo O ( X ) de funciones regulares en X es un dominio integralmente cerrado. Una variedad X sobre un campo es normal si y sólo si cada morfismo biracional finito de cualquier variedad Y a X es un isomorfismo .
Las variedades normales fueron introducidas por Zariski (1939, sección III).
Un morfismo de variedades es finito si la imagen inversa de cada punto es finita y el morfismo es propio . Un morfismo de variedades es biracional si se restringe a un isomorfismo entre subconjuntos abiertos densos. Entonces, por ejemplo, la curva cúbica cúspide X en el plano afín A 2 definido por x 2 = y 3 no es normal, porque hay un morfismo biracional finito A 1 → X (es decir, t se asigna a ( t 3 , t 2 )) que no es un isomorfismo. Por el contrario, la línea afín A 1 es normal: no puede simplificarse más mediante morfismos biracionales finitos.
Una variedad compleja normal X tiene la propiedad, cuando se la ve como un espacio estratificado usando la topología clásica, de que todos los enlaces están conectados. De manera equivalente, todo punto complejo x tiene vecindades U arbitrariamente pequeñas tales que U menos el conjunto singular de X está conexo. Por ejemplo, se deduce que la curva cúbica nodal X en la figura, definida por x 2 = y 2 ( y + 1), no es normal. Esto también se desprende de la definición de normalidad, ya que existe un morfismo biracional finito de A 1 a X que no es un isomorfismo; envía dos puntos de A 1 al mismo punto en X .
De manera más general, un esquema X es normal si cada uno de sus anillos locales
es un dominio integralmente cerrado . Es decir, cada uno de estos anillos es un dominio integral R , y cada anillo S con R ⊆ S ⊆ Frac( R ) tal que S se genera finitamente como un R -módulo es igual a R. (Aquí Frac( R ) denota el campo de fracciones de R .) Esta es una traducción directa, en términos de anillos locales, de la condición geométrica de que todo morfismo biracional finito a X es un isomorfismo.
Una noción más antigua es que una subvariedad X de espacio proyectivo es linealmente normal si el sistema lineal que proporciona la incrustación es completo. De manera equivalente, X ⊆ P n no es la proyección lineal de una incrustación X ⊆ P n+1 (a menos que X esté contenido en un hiperplano P n ). Este es el significado de "normal" en las frases curva normal racional y desplazamiento normal racional .
Todo esquema regular es normal. Por el contrario, Zariski (1939, teorema 11) demostró que toda variedad normal es regular fuera de un subconjunto de codimensión al menos 2, y un resultado similar es válido para los esquemas. [1] Entonces, por ejemplo, toda curva normal es regular.
Cualquier esquema reducido X tiene una normalización única : un esquema normal Y con un morfismo birracional integral Y → X. (Para X una variedad sobre un campo, el morfismo Y → X es finito, lo cual es más fuerte que "integral". [2] ) La normalización de un esquema de dimensión 1 es regular, y la normalización de un esquema de dimensión 2 tiene sólo singularidades aisladas. La normalización no se suele utilizar para la resolución de singularidades en esquemas de mayor dimensión.
Para definir la normalización, supongamos primero que X es un esquema reducido irreducible X . Cada subconjunto abierto afín de X tiene la forma Spec R con R un dominio integral . Escriba X como una unión de subconjuntos abiertos afines Spec A i . Sea B i la clausura integral de Ai en su campo fraccionario. Luego, la normalización de X se define pegando los esquemas afines Spec B i .
Si el esquema inicial no es irreducible, la normalización se define como la unión disjunta de las normalizaciones de los componentes irreducibles.
Considere la curva afín
con la singularidad de la cúspide en el origen. Su normalización puede venir dada por el mapa.
inducido a partir del mapa de álgebra
Por ejemplo,
No es un esquema irreductible ya que tiene dos componentes. Su normalización viene dada por el morfismo del esquema.
inducido a partir de los dos mapas de cocientes
De manera similar, para polinomios homogéneos irreducibles en una UFD, la normalización de
viene dado por el morfismo
![{\displaystyle C={\text{Especificación}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911a5814713125113003a841c21d5db37e3e058c)
![{\displaystyle {\text{Especificación}}(k[t])\a C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eded942983b505e5335234195d66151f5d439206)
![{\displaystyle X={\text{Especificación}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d237b10494d0c4f6e27c5cf076d49147557900)
![{\displaystyle {\text{Especificación}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Especificación} }(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888da3a9b24086f646224774dbf14ba6c4c6e644)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(x,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(x) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ffe6d0c0c59c546c502a64abee433741e46cbb)
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![{\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}} \bien)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e722fff2f8e78abf0854bda871835d738620b52)
![{\displaystyle {\text{Proj}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e4c0469a45a6ebd2c9105760c52028cf8cfd29)