En matemáticas , la geometría biracional es un campo de la geometría algebraica en el que el objetivo es determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas fuera de subconjuntos de dimensiones inferiores. Esto equivale a estudiar aplicaciones dadas por funciones racionales en lugar de polinomios ; Es posible que el mapa no se defina donde las funciones racionales tienen polos.
Un mapa racional de una variedad (entendida como irreducible ) a otra variedad , escrito como una flecha discontinua X ⇢ Y , se define como un morfismo de un subconjunto abierto no vacío a . Por definición de la topología de Zariski utilizada en geometría algebraica, un subconjunto abierto no vacío siempre es denso en , de hecho, el complemento de un subconjunto de dimensiones inferiores. Concretamente, un mapa racional se puede escribir en coordenadas utilizando funciones racionales.
Una aplicación biracional de X a Y es una aplicación racional f : X ⇢ Y tal que existe una aplicación racional Y ⇢ X inversa a f . Un mapa biracional induce un isomorfismo desde un subconjunto abierto no vacío de X a un subconjunto abierto no vacío de Y , y viceversa: un isomorfismo entre subconjuntos abiertos no vacíos de X , Y por definición da un mapa biracional f : X ⇢ Y. En este caso, se dice que X e Y son biracionales o biracionalmente equivalentes . En términos algebraicos, dos variedades sobre un campo k son birracionales si y sólo si sus campos funcionales son isomórficos como campos de extensión de k .
Un caso especial es un morfismo biracional f : X → Y , es decir, un morfismo biracional. Es decir, f está definida en todas partes, pero su inversa puede no estarlo. Normalmente, esto sucede porque un morfismo biracional contrae algunas subvariedades de X a puntos en Y.
Se dice que una variedad X es racional si es biracional al espacio afín (o equivalentemente, al espacio proyectivo ) de alguna dimensión. La racionalidad es una propiedad muy natural: significa que X menos algún subconjunto de dimensiones inferiores puede identificarse con el espacio afín menos algún subconjunto de dimensiones inferiores.
Por ejemplo, el círculo con ecuación en el plano afín es una curva racional, porque existe una aplicación racional f : ⇢ X dada por
que tiene un inverso racional g : X ⇢ dado por
Aplicando el mapa f con t a un número racional se obtiene una construcción sistemática de ternas pitagóricas .
El mapa racional no está definido en el lugar donde . Entonces, en la línea afín compleja , hay un morfismo en el subconjunto abierto ,. Asimismo, el mapa racional g : X ⇢ no está definido en el punto (0,−1) en .
De manera más general, una hipersuperficie X cuádrica suave (grado 2) de cualquier dimensión n es racional, por proyección estereográfica . (Para X una cuádrica sobre un campo k , se debe suponer que X tiene un k -punto racional ; esto es automático si k es algebraicamente cerrado.) Para definir la proyección estereográfica, sea p un punto en X. Luego, se obtiene un mapa biracional de X al espacio proyectivo de líneas que pasan por p enviando un punto q en X a la línea que pasa por p y q . Esta es una equivalencia birracional pero no un isomorfismo de variedades, porque no se puede definir donde q = p (y el mapa inverso no se puede definir en aquellas líneas que pasan por p que están contenidas en X ).
La incrustación de Segre da una incrustación dada por
La imagen es la superficie cuádrica en . Eso da otra prueba de que esta superficie cuádrica es racional, ya que es obviamente racional al tener un subconjunto abierto isomorfo a .
Toda variedad algebraica es biracional a una variedad proyectiva ( lema de Chow ). Por tanto, a los efectos de la clasificación birracional, basta con trabajar sólo con variedades proyectivas, y ésta suele ser la configuración más conveniente.
Mucho más profundo es el teorema de Hironaka de 1964 sobre la resolución de singularidades : sobre un campo de característica 0 (como los números complejos), cada variedad es biracional a una variedad proyectiva suave . Teniendo esto en cuenta, basta con clasificar las variedades proyectivas suaves hasta la equivalencia biracional.
En la dimensión 1, si dos curvas proyectivas suaves son biracionales, entonces son isomorfas. Pero esto falla al menos en la dimensión 2, debido a la explosión de la construcción. Al expandirse, cada variedad proyectiva suave de dimensión al menos 2 es biracional para infinitas variedades "más grandes", por ejemplo, con números de Betti más grandes .
Esto lleva a la idea de modelos mínimos : ¿existe una variedad más simple única en cada clase de equivalencia biracional? La definición moderna es que una variedad proyectiva X es mínima si el paquete de líneas canónicas K X tiene un grado no negativo en cada curva en X ; en otras palabras, K X es nef . Es fácil comprobar que las variedades ampliadas nunca son mínimas.
Esta noción funciona perfectamente para superficies algebraicas (variedades de dimensión 2). En términos modernos, un resultado central de la escuela italiana de geometría algebraica de 1890-1910, parte de la clasificación de superficies , es que toda superficie X es birracional con respecto a un producto de alguna curva C o con respecto a una superficie mínima Y. [1] Los dos casos son mutuamente excluyentes e Y es único si existe. Cuando Y existe , se llama modelo mínimo de X.
Al principio, no está claro cómo demostrar que existen variedades algebraicas que no son racionales. Para demostrar esto, se necesitan algunos invariantes biracionales de variedades algebraicas. Un invariante biracional es cualquier tipo de número, anillo, etc. que sea igual, o isomórfico, para todas las variedades que sean biracionalmente equivalentes.
Un conjunto útil de invariantes biracionales son los plurigenerados . El paquete canónico de una variedad suave X de dimensión n significa el paquete lineal de n formas K X = Ω n , que es la n -ésima potencia exterior del paquete cotangente de X . Para un número entero d , la d- ésima potencia tensorial de K X es nuevamente un paquete de líneas. Para d ≥ 0 , el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , K X d ) tiene la notable propiedad de que un mapa biracional f : X ⇢ Y entre variedades proyectivas suaves induce un isomorfismo H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d ) . [2]
Para d ≥ 0 , defina el désimo plurigenus P d como la dimensión del espacio vectorial H 0 ( X , K X d ) ; entonces los plurigéneros son invariantes biracionales para variedades proyectivas suaves. En particular, si cualquier plurigénero P d con d > 0 no es cero, entonces X no es racional.
Un invariante biracional fundamental es la dimensión de Kodaira , que mide el crecimiento del plurigenera P d cuando d llega al infinito. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades de dimensión n en n + 2 tipos, con dimensión de Kodaira −∞, 0, 1, ..., o n . Esta es una medida de la complejidad de una variedad, teniendo el espacio proyectivo dimensión de Kodaira −∞. Las variedades más complicadas son aquellas con dimensión Kodaira igual a su dimensión n , llamadas variedades de tipo general .
De manera más general, para cualquier suma natural
del r- ésimo poder tensor del paquete cotangente Ω 1 con r ≥ 0 , el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , E (Ω 1 )) es un invariante biracional para variedades proyectivas suaves. En particular, los números de Hodge
son invariantes biracionales de X . (La mayoría de los demás números de Hodge h p , q no son invariantes biracionales, como se muestra al ampliarlo).
El grupo fundamental π 1 ( X ) es un invariante biracional para variedades proyectivas complejas suaves.
El "teorema de factorización débil", demostrado por Abramovich, Karu, Matsuki y Włodarczyk (2002), dice que cualquier mapa biracional entre dos variedades proyectivas complejas suaves se puede descomponer en un número finito de ampliaciones o degradaciones de subvariedades suaves. Es importante saber esto, pero aún puede resultar muy difícil determinar si dos variedades proyectivas suaves son biracionales.
Una variedad proyectiva X se llama mínima si el paquete canónico K X es nef . Para X de dimensión 2, basta con considerar variedades suaves en esta definición. En dimensiones al menos 3, se debe permitir que las variedades mínimas tengan ciertas singularidades leves, para las cuales K X todavía se comporta bien; éstas se denominan singularidades terminales .
Dicho esto, la conjetura del modelo mínimo implicaría que cada variedad X está cubierta por curvas racionales o biracional a una variedad mínima Y. Cuando existe, Y se denomina modelo mínimo de X.
Los modelos mínimos no son únicos en dimensiones de al menos 3, pero dos variedades mínimas cualesquiera que sean birracionales están muy cerca. Por ejemplo, son isomórficos fuera de los subconjuntos de codimensión al menos 2 y, más precisamente, están relacionados por una secuencia de fracasos . Por tanto, la conjetura del modelo mínimo proporcionaría información sólida sobre la clasificación biracional de variedades algebraicas.
La conjetura fue demostrada en la dimensión 3 por Mori. [3] Ha habido grandes avances en dimensiones superiores, aunque el problema general sigue abierto. En particular, Birkar, Cascini, Hacon y McKernan (2010) [4] demostraron que cada variedad de tipo general sobre un campo de característica cero tiene un modelo mínimo.
Una variedad se llama sin reglas si está recorrida por curvas racionales. Una variedad sin reglas no tiene un modelo mínimo, pero hay un buen sustituto: Birkar, Cascini, Hacon y McKernan demostraron que cada variedad sin reglas sobre un campo de característica cero es birracional a un espacio de fibra de Fano . [a] Esto conduce al problema de la clasificación biracional de los espacios de fibras de Fano y (como el caso especial más interesante) de las variedades de Fano . Por definición, una variedad proyectiva X es Fano si el paquete anticanónico es amplio . Las variedades de Fano pueden considerarse las variedades algebraicas más similares al espacio proyectivo.
En la dimensión 2, cada variedad de Fano (conocida como superficie de Del Pezzo ) sobre un campo algebraicamente cerrado es racional. Un descubrimiento importante en la década de 1970 fue que, a partir de la dimensión 3, hay muchas variedades de Fano que no son racionales . En particular, los 3 pliegues cúbicos suaves no son racionales según Clemens-Griffiths (1972), y los 3 pliegues cuárticos suaves no son racionales según Iskovskikh-Manin (1971). Sin embargo, el problema de determinar exactamente qué variedades de Fano son racionales está lejos de estar resuelto. Por ejemplo, no se sabe si existe alguna hipersuperficie cúbica suave con n ≥ 4 que no sea racional.
Las variedades algebraicas difieren ampliamente en la cantidad de automorfismos biracionales que tienen. Cada variedad de tipo general es extremadamente rígida, en el sentido de que su grupo de automorfismo biracional es finito. En el otro extremo, el grupo de automorfismo birracional del espacio proyectivo sobre un campo k , conocido como grupo de Cremona Cr n ( k ), es grande (en cierto sentido, de dimensión infinita) para n ≥ 2 . Para n = 2 , el complejo grupo de Cremona se genera mediante la "transformación cuadrática"
junto con el grupo de automorfismos de de Max Noether y Castelnuovo . Por el contrario, el grupo de Cremona en dimensiones n ≥ 3 es en gran medida un misterio: no se conoce ningún conjunto explícito de generadores.
Iskovskikh-Manin (1971) demostró que el grupo de automorfismo birracional de un cuártico suave triple es igual a su grupo de automorfismo, que es finito. En este sentido, los triples cuárticos están lejos de ser racionales, ya que el grupo de automorfismos biracionales de una variedad racional es enorme. Desde entonces, este fenómeno de "rigidez biracional" se ha descubierto en muchos otros espacios de fibras de Fano. [ cita necesaria ]
La geometría biracional ha encontrado aplicaciones en otras áreas de la geometría, pero especialmente en problemas tradicionales de geometría algebraica.
Es famoso que János Kollár y Nicholas Shepherd-Barron utilizaron el programa de modelo mínimo para construir espacios de módulos de variedades de tipo general , ahora conocidos como espacios de módulos KSB. [5]
La geometría birracional ha encontrado recientemente aplicaciones importantes en el estudio de la estabilidad K de las variedades de Fano a través de resultados de existencia general para las métricas de Kähler-Einstein , en el desarrollo de invariantes explícitos de las variedades de Fano para probar la estabilidad de K mediante la computación en modelos biracionales, y en el construcción de espacios moduli de variedades Fano. [6] Se han utilizado resultados importantes en geometría biracional, como la prueba de Birkar de la acotación de las variedades Fano, para demostrar los resultados de existencia de espacios de módulos.
![{\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375395e20d9ffe5658e7a8c4156823c3a4e04ce8)
