explotando

Explosión del plano afín.

En matemáticas , explotar o hacer estallar es un tipo de transformación geométrica que reemplaza un subespacio de un espacio dado con el espacio de todas las direcciones que apuntan hacia ese subespacio. Por ejemplo, la ampliación de un punto en un plano reemplaza el punto con el espacio tangente proyectizado en ese punto. La metáfora es la de hacer zoom en una fotografía para ampliar parte de la imagen, en lugar de referirse a una explosión .

Las explosiones son la transformación más fundamental en geometría biracional , porque cada morfismo biracional entre variedades proyectivas es una explosión. El teorema de factorización débil dice que todo mapa biracional puede factorizarse como una composición de ampliaciones particularmente simples. El grupo de Cremona , el grupo de automorfismos birracionales del avión, se genera por explosiones.

Además de su importancia para describir transformaciones birracionales, las explosiones también son una forma importante de construir nuevos espacios. Por ejemplo, la mayoría de los procedimientos para la resolución de singularidades proceden ampliando las singularidades hasta que se vuelven suaves. Una consecuencia de esto es que se pueden utilizar ampliaciones para resolver las singularidades de mapas biracionales.

Clásicamente, las ampliaciones se definían extrínsecamente, definiendo primero la ampliación en espacios como el espacio proyectivo utilizando una construcción explícita en coordenadas y luego definiendo las ampliaciones en otros espacios en términos de una incrustación. Esto se refleja en parte de la terminología, como el término clásico transformación monoidal . La geometría algebraica contemporánea trata la explosión como una operación intrínseca en una variedad algebraica. Desde esta perspectiva, una explosión es la forma universal (en el sentido de la teoría de categorías ) de convertir una subvariedad en un divisor Cartier .

Una ampliación también puede denominarse transformación monoidal , transformación localmente cuadrática , dilatación , proceso σ o mapa de Hopf .

La explosión de un punto en un avión.

El caso más simple de explosión es la explosión de un punto en un plano. La mayoría de las características generales de la explosión se pueden ver en este ejemplo.

La explosión tiene una descripción sintética como correspondencia de incidencia. Recuerde que el Grassmanniano G (1,2) parametriza el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto del plano. La ampliación del plano proyectivo P ² en el punto P , que denotaremos X , es

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).}$

Aquí Q denota otro punto y es un elemento del Grassmanniano. X es una variedad proyectiva porque es una subvariedad cerrada de un producto de variedades proyectivas. Viene con un morfismo natural π a P 2 ^que lleva el par a Q. Este morfismo es un isomorfismo en el subconjunto abierto de todos los puntos con Q ≠ P porque la recta está determinada por esos dos puntos. Sin embargo , cuando Q = P , la recta puede ser cualquier recta que pase por P. Estas líneas corresponden al espacio de direcciones que pasan por P , que es isomorfo a P ¹ . Este P ¹ se llama divisor excepcional y, por definición , es el espacio normal proyectivizado en P. Debido a que P es un punto, el espacio normal es el mismo que el espacio tangente, por lo que el divisor excepcional es isomorfo al espacio tangente proyectivizado en P. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (Q,\ell )}$ ${\displaystyle (Q,\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Para dar las coordenadas de la explosión, podemos escribir ecuaciones para la correspondencia de incidencia anterior. Dé a P ² coordenadas homogéneas [ X ₀ : X ₁ : X ₂ ] en las que P es el punto [ P ₀ : P ₁ : P ₂ ]. Por dualidad proyectiva , G (1,2) es isomorfa a P ² , por lo que podemos darle coordenadas homogéneas [ L ₀ : L ₁ : L ₂ ]. Una línea es el conjunto de todos [ X ₀ : X ₁ : X ₂ ] tales que X ₀ L ₀ + X ₁ L ₁ + X ₂ L ₂ = 0. Por lo tanto, la explosión se puede describir como ${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$

${\displaystyle X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

La ampliación está a un isomorfismo de P , y al trabajar en el plano afín en lugar del plano proyectivo, podemos dar ecuaciones más simples para la ampliación. Después de una transformación proyectiva, podemos suponer que P = [0:0:1]. Escribe xey para las coordenadas en el plano afín X 2 ≠ ₀ . La condición P ∈ implica que L ₂ = 0, por lo que podemos reemplazar el Grassmanniano con un P ¹ . Entonces la explosión es la variedad. ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

Es más común cambiar las coordenadas para invertir uno de los signos. Entonces la explosión se puede escribir como

${\displaystyle \left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.}$

Esta ecuación es más fácil de generalizar que la anterior.

La ampliación se puede visualizar fácilmente si eliminamos el punto infinito del Grassmanniano, por ejemplo estableciendo w = 1, y obtenemos la superficie de silla  estándar y  =  xz en el espacio 3D.

La explosión también se puede describir usando directamente coordenadas en el espacio normal al punto. Nuevamente trabajamos en el plano afín A ² . El espacio normal al origen es el espacio vectorial m / m ² , donde m = ( x , y ) es el ideal máximo del origen. Algebraicamente, la proyectivización de este espacio vectorial es Proj de su álgebra simétrica, es decir,

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

En este ejemplo, esto tiene una descripción concreta como

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

donde x e y tienen grado 0 y z y w tienen grado 1.

Sobre los números reales o complejos, la ampliación tiene una descripción topológica como suma conexa . Suponga que P es el origen en A ² ⊆ P ² y escriba L para la recta en el infinito. A ² \ {0} tiene un mapa de inversión t que envía ( x , y ) a ( x /(| x | ² + | y ​​| ² ), y /(| x | ² + | y ​​| ² )). t es la inversión del círculo con respecto a la esfera unitaria S : fija S , preserva cada línea que pasa por el origen e intercambia el interior de la esfera con el exterior. t se extiende a un mapa continuo P ² \ {0} → A ² enviando la línea en el infinito al origen. Esta extensión, que también denotamos t , se puede utilizar para construir la ampliación. Sea C el complemento de la bola unitaria. La ampliación X es la variedad obtenida uniendo dos copias de C a lo largo de S. X viene con un mapa π a P ² que es la identidad en la primera copia de C yt en la segunda copia de C. Este mapa está a un isomorfismo de P , y la fibra sobre P es la línea en el infinito en la segunda copia de C . Cada punto de esta línea corresponde a una línea única que pasa por el origen, por lo que la fibra sobre π corresponde a las posibles direcciones normales que pasan por el origen. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$

Para CP ² , este proceso debería producir una variedad orientada. Para que esto suceda, las dos copias de C deben tener orientaciones opuestas. En símbolos, X es , donde es CP ² con la orientación opuesta a la estándar. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$

Explotar puntos en un espacio complejo

Sea Z el origen en un espacio complejo de n dimensiones , C ⁿ . Es decir, Z es el punto donde las n funciones de coordenadas desaparecen simultáneamente. Sea P ^{n - 1} un espacio proyectivo complejo ( n - 1) dimensional con coordenadas homogéneas . Sea el subconjunto de C ⁿ × P ^{n - 1} que satisface simultáneamente las ecuaciones para i, j = 1, ..., n . la proyección ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

${\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}$

induce naturalmente un mapa holomórfico

${\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}$

Este mapa π (o, a menudo, el espacio ) se llama explosión (escrito de diversas formas explosión o explosión ) de C ⁿ . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

El divisor excepcional E se define como la imagen inversa del lugar de ampliación Z bajo π. Es fácil ver eso

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

es una copia del espacio proyectivo. Es un divisor efectivo . Lejos de E , π es un isomorfismo entre y C ⁿ \ Z ; es un mapa biracional entre y C ⁿ . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$

Si en cambio consideramos la proyección holomorfa

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

obtenemos el haz de líneas tautológico de y podemos identificar el divisor excepcional con su sección cero, es decir, el que asigna a cada punto el elemento cero en la fibra sobre . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$ ${\displaystyle p}$

Explotar subvariedades en variedades complejas

De manera más general, se puede ampliar cualquier subvariedad Z compleja de codimensión -k de C ⁿ . Supongamos que Z es el lugar geométrico de las ecuaciones y sean coordenadas homogéneas en P ^{k - 1} . Entonces la ampliación es el lugar geométrico de las ecuaciones para todos i y j , en el espacio C ⁿ × P ^{k - 1} . ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$

De manera más general aún, se puede hacer estallar cualquier subvariedad de cualquier variedad compleja X aplicando esta construcción localmente. El efecto es , como antes, reemplazar el lugar de ampliación Z con el divisor excepcional E. En otras palabras, el mapa ampliado

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

es un mapeo biracional que, lejos de E , induce un isomorfismo y, en E , una fibración localmente trivial con fibra P ^{k - 1} . De hecho , la restricción se ve naturalmente como la proyectivización del paquete normal de Z en X. ${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$

Dado que E es un divisor suave, su paquete normal es un paquete de líneas . No es difícil demostrar que E se corta a sí mismo negativamente. Esto significa que su paquete normal no posee secciones holomorfas; E es el único complejo suave representativo de su clase de homología en . (Supongamos que E podría separarse de sí mismo y pasar a otra subvariedad compleja de la misma clase. Entonces las dos subvariedades se cruzarían positivamente, como siempre lo hacen las subvariedades complejas, contradiciendo la autointersección negativa de E. ) Por eso el divisor se llama excepcional. ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Sea V alguna subvariedad de X distinta de Z. Si V es disjunto de Z , entonces esencialmente no se ve afectado por la explosión a lo largo de Z. Sin embargo, si se cruza con Z , entonces hay dos análogos distintos de V en la ampliación . Una es la transformación adecuada (o estricta ) , que es el cierre de ; su paquete normal en es típicamente diferente del de V en X. La otra es la transformación total , que incorpora parte o la totalidad de E ; es esencialmente el retroceso de V en cohomología . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Explotar esquemas

Para lograr la explosión en su mayor generalidad, sea X un esquema y sea un conjunto coherente de ideales sobre X. La ampliación de X con respecto a es un esquema junto con un morfismo ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

tal que sea una gavilla invertible , caracterizada por esta propiedad universal : para cualquier morfismo f : Y → X tal que sea una gavilla invertible , f se factoriza únicamente a través de π. ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$

Darse cuenta de

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

tiene esta propiedad; así es como se construye la explosión. Aquí Proj es la construcción de Proj sobre gavillas graduadas de anillos conmutativos .

Divisores excepcionales

El divisor excepcional de una explosión es el subesquema definido por la imagen inversa de la gavilla ideal , que a veces se denota . De la definición de explosión en términos de Proj se deduce que este subesquema E está definido por la gavilla ideal . Esta gavilla ideal es también relativa a π. ${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

π es un isomorfismo alejado del divisor excepcional, pero el divisor excepcional no necesita estar en el lugar excepcional de π. Es decir, π puede ser un isomorfismo en E . Esto sucede, por ejemplo, en la situación trivial en la que ya existe un haz invertible. En particular, en tales casos el morfismo π no determina el divisor excepcional. Otra situación en la que el lugar excepcional puede ser estrictamente más pequeño que el divisor excepcional es cuando X tiene singularidades. Por ejemplo, sea X el cono afín sobre P ¹ × P ¹ . X se puede dar como el lugar geométrico de fuga de xw − yz en A ⁴ . Los ideales ( x , y ) y ( x , z ) definen dos planos, cada uno de los cuales pasa por el vértice de X. Lejos del vértice, estos planos son hipersuperficies en X , por lo que la ampliación es un isomorfismo allí. El lugar excepcional de ampliación de cualquiera de estos planos está, por tanto, centrado sobre el vértice del cono y, en consecuencia, es estrictamente más pequeño que el divisor excepcional. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Más ejemplos

Explosiones de subespacios lineales

Sea n -espacio proyectivo dimensional . Fijar un subespacio lineal L de codimensión d . Hay varias formas explícitas de describir la explosión de a lo largo de L . Supongamos que tiene coordenadas . Después de cambiar las coordenadas, podemos suponer que . La explosión puede estar incrustada en . Sean las coordenadas del segundo factor. Debido a que L está definido por una secuencia regular, la explosión está determinada por la desaparición de los menores de dos por dos de la matriz. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle Y_{0},\dots ,Y_{n-d}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.}$$

LQ. ${\displaystyle P\in \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Q\in \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle (P,Q)}$

A esta explosión también se le puede dar una descripción sintética como la correspondencia de incidencia

$${\displaystyle \{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),}$$

GrassmannianoLesLQLQQ'ML.Ma PPL.QMa L. ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ ${\displaystyle (n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-d}}$ ${\displaystyle P\not \in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$ ${\displaystyle P\in L}$ ${\displaystyle (X_{0},\dots ,X_{n-d})}$

Explotar el esquema de intersecciones de curvas en teoría

Sean polinomios de grado homogéneos genéricos (es decir, sus variedades proyectivas asociadas se cruzan en puntos según el teorema de Bézout ). El siguiente morfismo proyectivo de esquemas proporciona un modelo de explosión en puntos: ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle d^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$

${\displaystyle p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&{\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]}}&{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}$$

${\displaystyle f(p)\neq 0}$ ${\displaystyle g(p)\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle f(p)=g(p)=0}$

Construcciones relacionadas

En la ampliación de C ⁿ descrita anteriormente, no había nada esencial en el uso de números complejos; Las ampliaciones se pueden realizar sobre cualquier campo . Por ejemplo, la explosión real de R ² en el origen da como resultado la cinta de Möbius ; correspondientemente, la explosión de las dos esferas S ² da como resultado el plano proyectivo real .

La deformación del cono normal es una técnica de ampliación que se utiliza para demostrar muchos resultados en geometría algebraica. Dado un esquema X y un subesquema cerrado V , uno explota

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

Entonces

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

es una fibración. La fibra general es naturalmente isomorfa a X , mientras que la fibra central es una unión de dos esquemas: uno es la explosión de X a lo largo de V y el otro es el cono normal de V con sus fibras completadas en espacios proyectivos.

Las ampliaciones también se pueden realizar en la categoría simpléctica, dotando a la variedad simpléctica de una estructura casi compleja compatible y procediendo con una ampliación compleja. Esto tiene sentido en un nivel puramente topológico; sin embargo, dotar a la ampliación de una forma simpléctica requiere cierto cuidado, porque no se puede extender arbitrariamente la forma simpléctica a lo largo del divisor excepcional E. Se debe alterar la forma simpléctica en una vecindad de E , o realizar la ampliación recortando una vecindad de Z y colapsando el límite de una manera bien definida. Esto se entiende mejor utilizando el formalismo del corte simpléctico , del cual la ampliación simpléctica es un caso especial. El corte simpléctico, junto con la operación inversa de suma simpléctica , es el análogo simpléctico de la deformación del cono normal a lo largo de un divisor suave.

Ver también

• Punto infinitamente cercano
• Resolución de singularidades

Referencias

• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
• Griffiths, Phillip; Harris, José (1978). Principios de Geometría Algebraica . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-32792-1.
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría Algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• McDuff, Dusa; Salamón, Dietmar (1998). Introducción a la topología simpléctica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850451-9.