Corte simpléctico

En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , el corte simpléctico es una modificación geométrica de las variedades simplécticas . Su efecto es descomponer una variedad dada en dos partes. Existe una operación inversa, la suma simpléctica , que une dos variedades en una sola. El corte simpléctico también puede verse como una generalización del estallido simpléctico . El corte fue introducido en 1995 por Eugene Lerman, quien lo utilizó para estudiar el cociente simpléctico y otras operaciones sobre variedades.

Descripción topológica

Sea cualquier variedad simpléctica y ${\displaystyle (X,\omega )}$

${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$

un hamiltoniano en . Sea cualquier valor regular de , de modo que el conjunto de niveles sea una variedad suave. Supóngase además que está fibrilado en círculos, cada uno de los cuales es una curva integral del campo vectorial hamiltoniano inducido . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$

Bajo estos supuestos, es una variedad con borde , y se puede formar una variedad ${\displaystyle \mu ^{-1}([\epsilon ,\infty ))}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }}$

colapsando cada fibra circular hasta un punto. En otras palabras, se elimina el subconjunto y se colapsa el límite a lo largo de cada fibra circular. El cociente del límite es una subvariedad de de codimensión dos, denotada como . ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}((-\infty ,\epsilon ))}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }}$ ${\displaystyle V}$

De manera similar, se puede formar a partir de una variedad , que también contiene una copia de . El corte simpléctico es el par de variedades y . ${\displaystyle \mu ^{-1}((-\infty ,\epsilon ])}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }}$

A veces es útil ver las dos mitades del corte simpléctico como unidas a lo largo de su subvariedad compartida para producir un espacio singular. ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }\cup _{V}{\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }.}$

Por ejemplo, este espacio singular es la fibra central de la suma simpléctica considerada como una deformación.

Descripción simpléctica

La descripción anterior es bastante burda; se requiere más cuidado para seguir la estructura simpléctica en el corte simpléctico. Para esto, sea cualquier variedad simpléctica. Supongamos que el grupo circular actúa de manera hamiltoniana con mapa de momentos ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} .}$

Este mapa de momentos puede verse como una función hamiltoniana que genera la acción del círculo. El espacio de producto , con coordenadas en , tiene una forma simpléctica inducida ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \omega \oplus (-idz\wedge d{\bar {z}}).}$

El grupo actúa sobre el producto de forma hamiltoniana: ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle e^{i\theta }\cdot (x,z)=(e^{i\theta }\cdot x,e^{-i\theta }z)}$

con mapa de momentos

${\displaystyle \nu (x,z)=\mu (x)-|z|^{2}.}$

Sea cualquier número real tal que la acción del círculo sea libre en . Entonces es un valor regular de , y es una variedad. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon )}$

Esta variedad contiene como subvariedad el conjunto de puntos con y ; esta subvariedad se identifica naturalmente con . El complemento de la subvariedad, que consta de puntos con , se identifica naturalmente con el producto de ${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon )}$ ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle \mu (x)=\epsilon }$ ${\displaystyle |z|^{2}=0}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$ ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle \mu (x)>\epsilon }$

${\displaystyle X_{>\epsilon }:=\mu ^{-1}((\epsilon ,\infty ))}$

y el circulo.

La variedad hereda la acción circular hamiltoniana, al igual que sus dos subvariedades recién descritas. Por lo tanto, se puede formar el cociente simpléctico. ${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon )}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }:=\nu ^{-1}(\epsilon )/U(1).}$

Por construcción, contiene como una subvariedad abierta densa; esencialmente, compacta esta variedad abierta con el cociente simpléctico ${\displaystyle X_{\mu >\epsilon }}$

${\displaystyle V:=\mu ^{-1}(\epsilon )/U(1),}$

que es una subvariedad simpléctica de codimensión dos. ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }}$

Si es Kähler , entonces también lo es el espacio de corte ; sin embargo, la incrustación de no es una isometría. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }}$ ${\displaystyle X_{\mu >\epsilon }}$

Se construye la otra mitad del corte simpléctico de manera simétrica. Los haces normales de en las dos mitades del corte son opuestos entre sí (es decir, simplécticamente antiisomorfos). La suma simpléctica de y a lo largo recupera . ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

La existencia de una acción circular hamiltoniana global sobre parece ser un supuesto restrictivo, pero en realidad no es necesario; el corte puede realizarse bajo hipótesis más generales, como una acción circular hamiltoniana local cerca (ya que el corte es una operación local). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon )}$

Explotar como corte

Cuando una variedad compleja se expande a lo largo de una subvariedad , el lugar geométrico de expansión se reemplaza por un divisor excepcional y el resto de la variedad se deja intacto. Topológicamente, esta operación también puede verse como la eliminación de una vecindad del lugar geométrico de expansión, seguida por el colapso del límite por la función de Hopf . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$

La explosión de una variedad simpléctica es más sutil, ya que la forma simpléctica debe ajustarse en un entorno del lugar geométrico de la explosión para continuar sin problemas a través del divisor excepcional en la explosión. El corte simpléctico es un medio elegante de hacer que el proceso de eliminación de entorno/colapso de límites sea simplécticamente riguroso.

Como antes, sea una variedad simpléctica con una acción hamiltoniana con mapa de momentos . Suponga que el mapa de momentos es propio y que alcanza su máximo exactamente a lo largo de una subvariedad simpléctica de . Suponga además que los pesos de la representación de isotropía de en el fibrado normal son todos . ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle N_{X}Z}$ ${\displaystyle 1}$

Entonces, para los pequeños, los únicos puntos críticos en son aquellos en . El corte simpléctico , que se forma eliminando un vecindario simpléctico de y colapsando el límite, es entonces la explosión simpléctica de a lo largo de . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle X_{\mu >m-\epsilon }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq m-\epsilon }}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Referencias

• Eugene Lerman: Cortes simplécticos, Mathematical Research Letters 2 (1995), 247–258
• Dusa McDuff y D. Salamon: Introducción a la topología simpléctica (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN  0-19-850451-9 .