Suma simpléctica

En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , la suma simpléctica es una modificación geométrica de las variedades simplécticas , que une dos variedades dadas en una sola nueva. Es una versión simpléctica de la suma conexa a lo largo de una subvariedad, a menudo llamada suma de fibras.

La suma simpléctica es la inversa del corte simpléctico , que descompone una variedad dada en dos partes. En conjunto, la suma y el corte simplécticos pueden considerarse como una deformación de variedades simplécticas, análoga, por ejemplo, a la deformación del cono normal en geometría algebraica .

La suma simpléctica se ha utilizado para construir familias previamente desconocidas de variedades simplécticas y para derivar relaciones entre los invariantes de Gromov-Witten de variedades simplécticas.

Definición

Sean y dos variedades simplécticas y una variedad simpléctica, incrustadas como subvariedad en ambas y a través de ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (2n-2)}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

${\displaystyle j_{i}:V\hookrightarrow M_{i},}$

de manera que las clases de Euler de los fibrados normales son opuestas:

${\displaystyle e(N_{M_{1}}V)=-e(N_{M_{2}}V).}$

En el artículo de 1995 que definió la suma simpléctica, Robert Gompf demostró que para cualquier isomorfismo de inversión de orientación

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

Hay una clase de isotopía canónica de estructuras simplécticas en la suma conexa

${\displaystyle (M_{1},V)\#(M_{2},V)}$

cumpliendo varias condiciones de compatibilidad con los sumandos . En otras palabras, el teorema define una operación suma simpléctica cuyo resultado es una variedad simpléctica, única hasta la isotopía. ${\displaystyle M_{i}}$

Para producir una estructura simpléctica bien definida, la suma conexa debe realizarse prestando especial atención a la elección de varias identificaciones. En términos generales, el isomorfismo se compone con una involución simpléctica de inversión de orientación de los fibrados normales de (o más bien sus correspondientes fibrados de discos unitarios perforados); luego, esta composición se utiliza para pegar a lo largo de las dos copias de . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$

Generalizaciones

En términos más generales, la suma simpléctica se puede realizar sobre una única variedad simpléctica que contenga dos copias disjuntas de , uniendo la variedad consigo misma a lo largo de las dos copias. La descripción anterior de la suma de dos variedades corresponde entonces al caso especial donde consta de dos componentes conexos, cada uno de los cuales contiene una copia de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$

Además, la suma puede realizarse simultáneamente en subvariedades de igual dimensión y que se encuentran transversalmente . ${\displaystyle X_{i}\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle V}$

Existen también otras generalizaciones. Sin embargo, no es posible eliminar el requisito de que sea de codimensión dos en , como lo demuestra el siguiente argumento. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Una suma simpléctica a lo largo de una subvariedad de codimensión requiere una involución simpléctica de un anillo de dimensión . Si existe esta involución, se puede utilizar para unir bolas bidimensionales y formar una esfera simpléctica de dimensión . Como la esfera es una variedad compacta , una forma simpléctica en ella induce una clase de cohomología distinta de cero ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(\mathbb {S} ^{2k},\mathbb {R} ).}$

Pero este segundo grupo de cohomología es cero a menos que . Por lo tanto, la suma simpléctica es posible solo a lo largo de una subvariedad de codimensión dos. ${\displaystyle 2k=2}$

Elemento de identidad

Dado un subfibrado simpléctico de codimensión dos , se puede completar proyectivamente el fibrado normal de en en el -fibrado ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle P:=\mathbb {P} (N_{M}V\oplus \mathbb {C} ).}$

Esto contiene dos copias canónicas de : la sección cero , que tiene un fibrado normal igual al de en , y la sección infinita , que tiene un fibrado normal opuesto. Por lo tanto, se puede sumar simplécticamente con ; el resultado es nuevamente , con ahora desempeñando el papel de : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle (M,V)}$ ${\displaystyle (P,V_{\infty })}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (M,V)=((M,V)\#(P,V_{\infty }),V_{0}).}$

Por lo tanto, para cualquier par en particular existe un elemento de identidad para la suma simpléctica. Dichos elementos de identidad se han utilizado tanto para establecer la teoría como para realizar cálculos; véase más abajo. ${\displaystyle (M,V)}$ ${\displaystyle P}$

Suma simpléctica y corte como deformación

A veces resulta provechoso considerar la suma simpléctica como una familia de variedades. En este marco, los datos dados , , , , , determinan una variedad simpléctica de dimensión suave única y una fibración ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle j_{1}}$ ${\displaystyle j_{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (2n+2)}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z\to D\subseteq \mathbb {C} }$

en el que la fibra central es el espacio singular

${\displaystyle Z_{0}=M_{1}\cup _{V}M_{2}}$

se obtiene uniendo los sumandos a lo largo de , y la fibra genérica es una suma simpléctica de . (Es decir, las fibras genéricas son todas miembros de la clase de isotopía única de la suma simpléctica). ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z_{\epsilon }}$ ${\displaystyle M_{i}}$

En términos generales, se construye esta familia de la siguiente manera: se elige una sección holomorfa no nula del fibrado complejo trivial ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle N_{M_{1}}V\otimes _{\mathbb {C} }N_{M_{2}}V.}$

Luego, en la suma directa

${\displaystyle N_{M_{1}}V\oplus N_{M_{2}}V,}$

con la representación de un vector normal a en , considere el lugar geométrico de la ecuación cuadrática ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}=\epsilon \eta }$

para un pequeño . Se pueden pegar ambos (los sumandos con eliminado) en este lugar geométrico; el resultado es la suma simpléctica . ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M_{i}\setminus V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z_{\epsilon }}$

Como varía, las sumas forman naturalmente la familia descrita anteriormente. La fibra central es el corte simpléctico de la fibra genérica. Por lo tanto, la suma y el corte simplécticos pueden considerarse juntos como una deformación cuadrática de variedades simplécticas. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle Z_{\epsilon }}$ ${\displaystyle Z\to D}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

Un ejemplo importante se da cuando uno de los sumandos es un elemento identidad . En ese caso, la fibra genérica es una variedad simpléctica y la fibra central está con el fibrado normal de "pinzado en el infinito" para formar el fibrado - . Esto es análogo a la deformación al cono normal a lo largo de un divisor suave en geometría algebraica. De hecho, los tratamientos simplécticos de la teoría de Gromov-Witten a menudo utilizan la suma/corte simpléctico para los argumentos de "reescalar el objetivo", mientras que los tratamientos algebrogeométricos utilizan la deformación al cono normal para estos mismos argumentos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$

Sin embargo, la suma simpléctica no es una operación compleja en general. La suma de dos variedades de Kähler no tiene por qué ser necesariamente Kähler.

Historia y aplicaciones

La suma simpléctica fue definida claramente por primera vez en 1995 por Robert Gompf. La utilizó para demostrar que cualquier grupo finito aparece como el grupo fundamental de una variedad cuatridimensional simpléctica. De esta manera, se demostró que la categoría de variedades simplécticas es mucho mayor que la categoría de variedades de Kähler.

Casi al mismo tiempo, Eugene Lerman propuso el corte simpléctico como una generalización de la explosión simpléctica y lo utilizó para estudiar el cociente simpléctico y otras operaciones en variedades simplécticas.

Posteriormente, varios investigadores han estudiado el comportamiento de las curvas pseudoholomórficas bajo sumas simplécticas, y han probado varias versiones de una fórmula de suma simpléctica para invariantes de Gromov-Witten. Esta fórmula facilita el cálculo al permitir descomponer una variedad dada en partes más simples, cuyos invariantes de Gromov-Witten deberían ser más fáciles de calcular. Otro enfoque consiste en utilizar un elemento de identidad para escribir la variedad como una suma simpléctica. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (M,V)=(M,V)\#(P,V_{\infty }).}$

Una fórmula para los invariantes de Gromov-Witten de una suma simpléctica produce entonces una fórmula recursiva para los invariantes de Gromov-Witten de . ${\displaystyle M}$

Referencias

• Robert Gompf: Una nueva construcción de variedades simplécticas, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
• Dusa McDuff y Dietmar Salamon: Introducción a la topología simpléctica (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN  0-19-850451-9
• Dusa McDuff y Dietmar Salamon: Curvas J-holomórficas y topología simpléctica (2004) Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3485-1