Morfismo finito

En geometría algebraica , un morfismo finito entre dos variedades afines es una función regular densa que induce una inclusión isomorfa entre sus anillos de coordenadas , tal que es integral sobre . ^[1] Esta definición se puede extender a las variedades cuasi-proyectivas , tales que una función regular entre variedades cuasi-proyectivas es finita si cualquier punto tiene un vecindario afín V tal que es afín y es una función finita (en vista de la definición anterior, porque está entre variedades afines). ^[2] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]}$ ${\displaystyle k\left[X\right]}$ ${\displaystyle k\left[Y\right]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle U=f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle f\colon U\to V}$

Definición por esquemas

Un morfismo f : X → Y de esquemas es un morfismo finito si Y tiene una cubierta abierta por esquemas afines

${\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}}$

de modo que para cada i ,

${\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}$

es un subesquema afín abierto Spec A _i , y la restricción de f a U _i , que induce un homomorfismo de anillo

${\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i},}$

hace que A _i sea un módulo finitamente generado sobre B _i . ^[3] También se dice que X es finito sobre Y .

De hecho, f es finito si y sólo si para cada subesquema afín abierto V = Spec B en Y , la imagen inversa de V en X es afín, de la forma Spec A , con A un módulo B finitamente generado . ^[4]

Por ejemplo, para cualquier cuerpo k , es un morfismo finito ya que como -módulos. Geométricamente, esto es obviamente finito ya que se trata de una cubierta ramificada de n-láminas de la línea afín que degenera en el origen. Por el contrario, la inclusión de A ¹ − 0 en A ¹ no es finita. (De hecho, el anillo de polinomios de Laurent k [ y , y ⁻¹ ] no se genera finitamente como un módulo sobre k [ y ].) Esto restringe nuestra intuición geométrica a familias sobreyectivas con fibras finitas. ${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])}$ ${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}$ ${\displaystyle k[t]}$

Propiedades de los morfismos finitos

• La composición de dos morfismos finitos es finita.
• Cualquier cambio de base de un morfismo finito f : X → Y es finito. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × _Y Z → Z es finito. Esto corresponde al siguiente enunciado algebraico: si A y C son B -álgebras (conmutativas) , y A se genera finitamente como un B -módulo, entonces el producto tensorial A ⊗ _B C se genera finitamente como un C -módulo. De hecho, los generadores pueden tomarse como los elementos a _i ⊗ 1, donde a _i son los generadores dados de A como un B -módulo.
• Las inmersiones cerradas son finitas, ya que están dadas localmente por A → A / I , donde I es el ideal correspondiente al subesquema cerrado.
• Los morfismos finitos son cerrados, por lo tanto (debido a su estabilidad bajo cambio de base) son propios . ^[5] Esto se desprende del teorema de ascenso de Cohen-Seidenberg en álgebra conmutativa.
• Los morfismos finitos tienen fibras finitas (es decir, son cuasi-finitos ). ^[6] Esto se deduce del hecho de que para un cuerpo k , cada k -álgebra finita es un anillo artiniano . Una afirmación relacionada es que para un morfismo sobreyectivo finito f : X → Y , X e Y tienen la misma dimensión .
• Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y sólo si es propio y cuasi-finito. ^[7] Esto había sido demostrado por Grothendieck si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo que se sigue de los otros supuestos si Y es noetheriano . ^[8]
• Los morfismos finitos son a la vez proyectivos y afines . ^[9]

Véase también

• Glosario de geometría algebraica
• Álgebra finita

Notas

1. Shafarevich 2013, pág. 60, Definición 1.1.
2. Shafarevich 2013, pág. 62, Definición 1.2.
3. Hartshorne 1977, Sección II.3.
4. Proyecto Stacks, Etiqueta 01WG.
5. Proyecto Stacks, Etiqueta 01WG.
6. Proyecto Stacks, Etiqueta 01WG.
7. Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Corolario 18.12.4.
8. Grothendieck, EGA IV, Parte 3, Théorème 8.11.1.
9. Proyecto Stacks, Etiqueta 01WG.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR  0217086.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría algebraica básica 1. Springer Science . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN . 978-0-387-97716-4.

Enlaces externos

• Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks