En geometría algebraica , el campo de funciones de una variedad algebraica V consiste en objetos que se interpretan como funciones racionales en V. En geometría algebraica clásica son razones de polinomios ; en geometría compleja son funciones meromórficas y sus análogos de dimensiones superiores; en geometría algebraica moderna son elementos del campo de fracciones de algún anillo de cocientes .
En geometría compleja, los objetos de estudio son las variedades analíticas complejas , sobre las que tenemos una noción local de análisis complejo , a través de la cual podemos definir funciones meromórficas. El cuerpo de funciones de una variedad es entonces el conjunto de todas las funciones meromórficas sobre la variedad. (Como todas las funciones meromórficas, éstas toman sus valores en .) Junto con las operaciones de adición y multiplicación de funciones, éste es un cuerpo en el sentido del álgebra.
Para la esfera de Riemann , que es la variedad de los números complejos, las funciones meromórficas globales son exactamente las funciones racionales (es decir, las razones de las funciones polinómicas complejas).
En geometría algebraica clásica, generalizamos el segundo punto de vista. Para la esfera de Riemann, antes mencionada, la noción de polinomio no se define globalmente, sino simplemente con respecto a un gráfico de coordenadas afines , es decir, el que consiste en el plano complejo (todo menos el polo norte de la esfera). En una variedad general V , decimos que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la razón de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y que una función racional en todo V consiste en datos locales que concuerden en las intersecciones de afines abiertos. Podemos definir el campo de funciones de V como el campo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos esos subconjuntos son densos.
En el contexto más general, el de la teoría de esquemas moderna , tomamos el último punto de vista mencionado anteriormente como punto de partida. Es decir, si es un esquema integral , entonces para cada subconjunto afín abierto del anillo de secciones en es un dominio integral y, por lo tanto, tiene un cuerpo de fracciones. Además, se puede verificar que estos son todos iguales y que son todos iguales al tallo del punto genérico de . Por lo tanto, el cuerpo de funciones de es simplemente el tallo de su punto genérico. Este punto de vista se desarrolla más en el campo de funciones (teoría de esquemas) . Véase Robin Hartshorne (1977).
Si V es una variedad definida sobre un cuerpo K , entonces el cuerpo de funciones K ( V ) es una extensión de cuerpo finitamente generada del cuerpo base K ; su grado de trascendencia es igual a la dimensión de la variedad. Todas las extensiones de K que se generan finitamente como cuerpos sobre K surgen de esta manera a partir de alguna variedad algebraica. Estas extensiones de cuerpo también se conocen como cuerpos de funciones algebraicas sobre K .
Se estudian en geometría biracional las propiedades de la variedad V que dependen únicamente del cuerpo de funciones .
El campo de funciones de un punto sobre K es K .
El campo de funciones de la recta afín sobre K es isomorfo al campo K ( t ) de funciones racionales en una variable. Este es también el campo de funciones de la recta proyectiva .
Considérese la curva plana algebraica afín definida por la ecuación . Su campo de funciones es el campo K ( x , y ), generado por los elementos x e y que son trascendentales sobre K y satisfacen la relación algebraica .
