Sir William Vallance Douglas Hodge FRS FRSE [2] ( / h ɒ dʒ / ; 17 de junio de 1903 - 7 de julio de 1975) fue un matemático británico, específicamente un geómetra . [3] [4]
Su descubrimiento de relaciones topológicas de gran alcance entre la geometría algebraica y la geometría diferencial , un área ahora llamada teoría de Hodge y que pertenece más generalmente a las variedades de Kähler , ha sido una gran influencia en trabajos posteriores en geometría.
Hodge nació en Edimburgo en 1903, el hijo menor y segundo de tres hijos de Archibald James Hodge (1869-1938), un buscador de registros en el mercado inmobiliario y socio de la firma Douglas and Company, y su esposa, Jane. (nacida en 1875), hija del propietario de una empresa de confitería William Vallance. [5] [6] [7] Vivían en 1 Church Hill Place en el distrito de Morningside . [8]
Asistió al George Watson's College y estudió en la Universidad de Edimburgo , donde se graduó con una maestría en 1923. Con la ayuda de ET Whittaker , cuyo hijo JM Whittaker era un amigo de la universidad, luego tomó los Cambridge Mathematical Tripos . En Cambridge cayó bajo la influencia del geómetra HF Baker . Obtuvo una licenciatura en Cambridge en 1925, recibió una maestría en 1930 y el título de Doctor en Ciencias (ScD) en 1950. [9]
En 1926 asumió un puesto docente en la Universidad de Bristol y comenzó a trabajar en la interfaz entre la escuela italiana de geometría algebraica , particularmente los problemas planteados por Francesco Severi , y los métodos topológicos de Solomon Lefschetz . Esto hizo su reputación, pero provocó cierto escepticismo inicial por parte de Lefschetz. Según las memorias de Atiyah , Lefschetz y Hodge se reunieron en 1931 en las habitaciones de Max Newman en Cambridge para intentar resolver los problemas. Al final Lefschetz quedó convencido. [2] En 1928 fue elegido miembro de la Royal Society de Edimburgo . Sus proponentes fueron Sir Edmund Taylor Whittaker , Ralph Allan Sampson , Charles Glover Barkla y Sir Charles Galton Darwin . Fue galardonado con el premio Gunning Victoria Jubilee de la Sociedad para el período 1964 a 1968. [10]
En 1930, Hodge recibió una beca de investigación en St. John's College, Cambridge . Pasó el año 1931-2 en la Universidad de Princeton , donde estaba Lefschetz, visitando también a Oscar Zariski en la Universidad Johns Hopkins . En esta época también estaba asimilando el teorema de De Rham , y definiendo la operación de la estrella de Hodge . Le permitiría definir formas armónicas y así refinar la teoría de De Rham.
A su regreso a Cambridge, le ofrecieron un puesto de profesor universitario en 1933. Se convirtió en profesor Lowndean de Astronomía y Geometría en Cambridge , cargo que ocupó de 1936 a 1970. Fue el primer director del DPMMS .
Fue Maestro del Pembroke College, Cambridge de 1958 a 1970, y vicepresidente de la Royal Society de 1959 a 1965. Fue nombrado caballero en 1959. Entre otros honores, recibió el Premio Adams en 1937 y la Medalla Copley de la Sociedad de la Realeza en 1974.
Murió en Cambridge el 7 de julio de 1975.
El teorema del índice de Hodge fue un resultado de la teoría de los números de intersección de curvas en una superficie algebraica : determina la firma de la forma cuadrática correspondiente . Este resultado fue buscado por la escuela italiana de geometría algebraica , pero fue demostrado por los métodos topológicos de Lefschetz .
La Teoría y Aplicaciones de las Integrales Armónicas [11] resumió el desarrollo de Hodge durante la década de 1930 de su teoría general. Esto comienza con la existencia para cualquier métrica de Kähler de una teoría de los laplacianos ; se aplica a una variedad algebraica V (se supone compleja , proyectiva y no singular ) porque el espacio proyectivo mismo lleva dicha métrica. En términos de cohomología de De Rham , una clase de cohomología de grado k está representada por una forma k α en V ( C ). No existe un representante único; pero al introducir la idea de forma armónica (Hodge todavía las llama "integrales"), que son soluciones de la ecuación de Laplace , se puede obtener α única . Esto tiene la importante e inmediata consecuencia de dividirse.
en subespacios
de acuerdo con el número p de diferenciales holomórficos dz i encajados para formar α (el espacio cotangente está atravesado por dz i y sus conjugados complejos). Las dimensiones de los subespacios son los números de Hodge .
Esta descomposición de Hodge se ha convertido en una herramienta fundamental. Las dimensiones h p , q no sólo refinan los números de Betti , dividiéndolos en partes con significado geométrico identificable; pero la descomposición en sí misma, como una 'bandera' variable en un espacio vectorial complejo, tiene un significado en relación con los problemas de módulos . En términos generales, la teoría de Hodge contribuye tanto a la clasificación discreta como a la continua de variedades algebraicas.
Otros desarrollos posteriores llevaron en particular a una idea de estructura mixta de Hodge en variedades singulares y a profundas analogías con la cohomología étale .
La conjetura de Hodge sobre los espacios "intermedios" H p , p todavía está sin resolver, en general. Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio creado por el Clay Mathematics Institute .
Hodge también escribió, con Daniel Pedoe , una obra en tres volúmenes Methods of Algebraic Geometry , sobre geometría algebraica clásica, con mucho contenido concreto, aunque ilustra lo que Élie Cartan llamó "la libertinaje de los índices" en su notación componente. Según Atiyah , esto tenía como objetivo actualizar y reemplazar los Principios de Geometría de HF Baker .
En 1929 se casó con Kathleen Anne Cameron. [12]