Variedad proyectiva

Una curva elíptica es una curva proyectiva suave de género uno.

En geometría algebraica , una variedad proyectiva sobre un campo algebraicamente cerrado k es un subconjunto de algún espacio n proyectivo sobre k que es el lugar cero de alguna familia finita de polinomios homogéneos de n + 1 variables con coeficientes en k , que generan una ideal primo , el ideal definitorio de la variedad. De manera equivalente, una variedad algebraica es proyectiva si puede integrarse como una subvariedad cerrada de Zariski de . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es uno; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es uno menos que la dimensión del espacio proyectivo que la contiene; en este caso se trata del conjunto de ceros de un único polinomio homogéneo .

Si X es una variedad proyectiva definida por un ideal primo homogéneo I , entonces el anillo cociente

${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

se llama anillo de coordenadas homogéneo de X . Los invariantes básicos de X , como el grado y la dimensión, se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este anillo graduado .

Las variedades proyectivas surgen de muchas maneras. Están completos , lo que a grandes rasgos se puede expresar diciendo que no “falta” ningún punto. Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación entre estas dos nociones. Para demostrar que una variedad es proyectiva se estudian haces de líneas o divisores en X.

Una característica destacada de las variedades proyectivas son las limitaciones de finitud de la cohomología de la gavilla. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré . También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de las curvas proyectivas es particularmente rica e incluye una clasificación por género de curva. El programa de clasificación para variedades proyectivas de dimensiones superiores conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas. ^[1] Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados con el polinomio de Hilbert prescrito. Los esquemas de Hilbert, de los cuales los Grassmannianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría de las invariantes geométricas ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio de Teichmüller y las variedades Chow . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Se dispone de una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen X tienen coeficientes complejos . En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios (o variedades) analíticos complejos proyectivos es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de los haces de vectores holomórficos (más generalmente haces analíticos coherentes ) en X coincide con la de los haces de vectores algebraicos. El teorema de Chow dice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar cero de una familia de funciones holomorfas si y sólo si es el lugar cero de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas condujo a áreas como la teoría de Hodge .

Variedad y estructura del esquema.

Estructura de variedad

Sea k un campo algebraicamente cerrado. La base de la definición de variedades proyectivas es el espacio proyectivo , que puede definirse de formas diferentes, pero equivalentes: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

• como el conjunto de todas las líneas que pasan por el origen en (es decir, todos los subespacios vectoriales unidimensionales de ) ${\displaystyle k^{n+1}}$ ${\displaystyle k^{n+1}}$
• como el conjunto de tuplas , no todas cero, módulo la relación de equivalencia ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}}$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$
  $${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})}$$
  para cualquier . La clase de equivalencia de dicha tupla se denota por ${\displaystyle \lambda \in k\setminus \{0\}}$
  $${\displaystyle [x_{0}:\dots :x_{n}].}$$
  Esta clase de equivalencia es el punto general del espacio proyectivo. Los números se denominan coordenadas homogéneas del punto. ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$

Una variedad proyectiva es, por definición, una subvariedad cerrada de , donde cerrado se refiere a la topología de Zariski . ^[2] En general, los subconjuntos cerrados de la topología de Zariski se definen como el lugar cero común de una colección finita de funciones polinomiales homogéneas. Dado un polinomio , la condición ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0}$

No tiene sentido para polinomios arbitrarios, sino sólo si f es homogéneo , es decir, los grados de todos los monomios (cuya suma es f ) son los mismos. En este caso, la desaparición de

${\displaystyle f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})}$

es independiente de la elección de . ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Por lo tanto, las variedades proyectivas surgen de ideales primos homogéneos I de , y estableciendo ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\right\}.}$

Además, la variedad proyectiva X es una variedad algebraica, lo que significa que está cubierta por subvariedades afines abiertas y satisface el axioma de separación. Así, el estudio local de X (por ejemplo, singularidad) se reduce al de una variedad afín. La estructura explícita es la siguiente. El espacio proyectivo está cubierto por las cartas afines abiertas estándar. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},}$

que a su vez son afines n -espacios con el anillo de coordenadas

${\displaystyle k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.}$

Diga i = 0 para simplificar la notación y elimine el superíndice (0). Entonces hay una subvariedad cerrada de definida por el ideal de generada por ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$

${\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}$

para todo f en I . Por tanto, X es una variedad algebraica cubierta por ( n +1) gráficos afines abiertos . ${\displaystyle X\cap U_{i}}$

Tenga en cuenta que X es el cierre de la variedad afín en . Por el contrario, a partir de alguna variedad cerrada (afín) , la clausura de V in es la variedad proyectiva llamada ${\displaystyle X\cap U_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$finalización proyectiva deV. SidefineV, entonces el ideal definitorio de este cierre es el ideal homogéneo^[3]degenerado por ${\displaystyle I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})}$

para todo f en I .

Por ejemplo, si V es una curva afín dada por, digamos, en el plano afín, entonces su compleción proyectiva en el plano proyectivo viene dada por ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ ${\displaystyle y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.}$

Esquemas proyectivos

Para diversas aplicaciones, es necesario considerar objetos álgebro-geométricos más generales que variedades proyectivas, es decir, esquemas proyectivos. El primer paso hacia los esquemas proyectivos es dotar al espacio proyectivo de una estructura de esquema, de alguna manera refinando la descripción anterior del espacio proyectivo como una variedad algebraica, es decir, es un esquema que es una unión de ( n + 1) copias del afín n -espacio k ⁿ . De manera más general, ^[4] el espacio proyectivo sobre un anillo A es la unión de los esquemas afines ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}$

de tal manera que las variables coincidan como se esperaba. El conjunto de puntos cerrados de , para campos algebraicamente cerrados k , es entonces el espacio proyectivo en el sentido habitual. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$

Una construcción equivalente pero simplificada la proporciona la construcción Proj , que es un análogo del espectro de un anillo , denominado "Spec", que define un esquema afín . ^[5] Por ejemplo, si A es un anillo, entonces

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Si R es un cociente de por un ideal homogéneo I , entonces la sobreyección canónica induce la inmersión cerrada ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.}$

En comparación con las variedades proyectivas, se abandonó la condición de que el ideal I sea un ideal primo. Esto conduce a una noción mucho más flexible: por un lado, el espacio topológico puede tener múltiples componentes irreductibles . Además , puede haber funciones nilpotentes en X. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} R}$

Los subesquemas cerrados de corresponden biyectivamente a los ideales homogéneos de los que están saturados ; es decir, ^[6] Este hecho puede considerarse como una versión refinada del Nullstellensatz proyectivo . ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.}$

Podemos dar una analogía sin coordenadas de lo anterior. Es decir, dado un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k , dejamos

${\displaystyle \mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}$

¿ Dónde está el álgebra simétrica de ? ^[7] Es la proyectivización de V ; es decir, parametriza líneas en V . Existe un mapa sobreyectivo canónico , que se define utilizando el cuadro descrito anteriormente. ^[8] Un uso importante de la construcción es este (cf. § Dualidad y sistema lineal). Un divisor D en una variedad proyectiva X corresponde a un paquete de líneas L. Entonces uno se pone ${\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle |D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))}$;

se llama sistema lineal completo de D .

El espacio proyectivo sobre cualquier esquema S se puede definir como un producto fibroso de esquemas.

${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.}$

Si la gavilla retorcida de Serre está activada , denotamos el retroceso de a ; es decir, para el mapa canónico ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))}$ ${\displaystyle g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.}$

Un esquema X → S se llama proyectivo sobre S si factoriza como una inmersión cerrada

${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

seguido de la proyección a S .

Se dice que un haz de líneas (o haz invertible) en un esquema X sobre S es muy amplio en relación con S si hay una inmersión (es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$

para algunos n de modo que los retrocesos sean . Entonces un esquema S X es proyectivo si y sólo si es apropiado y existe un haz muy amplio en X relativo a S. En efecto, si X es propio, entonces una inmersión correspondiente al haz de líneas muy amplio está necesariamente cerrada. Por el contrario, si X es proyectivo, entonces el retroceso de X bajo la inmersión cerrada de X en un espacio proyectivo es muy amplio. Que "proyectivo" implica "propio" es más profundo: el principal teorema de la teoría de la eliminación . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Relación con variedades completas

Por definición, una variedad es completa , si es propia de k . El criterio valorativo de propiedad expresa la intuición de que en una variedad adecuada no "faltan" puntos.

Existe una estrecha relación entre variedades completas y proyectivas: por un lado, el espacio proyectivo y por tanto cualquier variedad proyectiva es completa. Lo contrario no es cierto en general. Sin embargo:

• Una curva suave C es proyectiva si y sólo si es completa . Esto se demuestra identificando C con el conjunto de anillos de valoración discretos del campo funcional k ( C ) sobre k . Este conjunto tiene una topología natural de Zariski llamada espacio de Zariski-Riemann .
• El lema de Chow establece que para cualquier variedad completa X , existe una variedad proyectiva Z y un morfismo biracional Z → X. ^[9] (Además, a través de la normalización , se puede asumir que esta variedad proyectiva es normal).

Algunas propiedades de una variedad proyectiva se derivan de la completitud. Por ejemplo,

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k}$

para cualquier variedad proyectiva X sobre k . ^[10] Este hecho es un análogo algebraico del teorema de Liouville (cualquier función holomorfa en una variedad compleja compacta conectada es constante). De hecho, la similitud entre la geometría analítica compleja y la geometría algebraica en variedades proyectivas complejas va mucho más allá, como se explica a continuación.

Las variedades cuasiproyectivas son, por definición, aquellas que son subvariedades abiertas de variedades proyectivas. Esta clase de variedades incluye variedades afines . Las variedades afines casi nunca son completas (o proyectivas). De hecho, una subvariedad proyectiva de una variedad afín debe tener dimensión cero. Esto se debe a que sólo las constantes son funciones globalmente regulares en una variedad proyectiva.

Ejemplos e invariantes básicos

Por definición, cualquier ideal homogéneo en un anillo polinómico produce un esquema proyectivo (se requiere que sea ideal primo para dar variedad). En este sentido abundan los ejemplos de variedades proyectivas. La siguiente lista menciona varias clases de variedades proyectivas que son dignas de mención porque han sido estudiadas con especial intensidad. La clase importante de variedades proyectivas complejas, es decir, el caso , se analiza más adelante. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

El producto de dos espacios proyectivos es proyectivo. De hecho, existe la inmersión explícita (llamada incrustación de Segre )

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\\(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}\end{cases}}}$

Como consecuencia, el producto de variedades proyectivas sobre k vuelve a ser proyectivo. La incrustación de Plücker exhibe un Grassmanniano como una variedad proyectiva. Las variedades de banderas , como el cociente del grupo lineal general módulo del subgrupo de matrices triangulares superiores , también son proyectivas, lo cual es un hecho importante en la teoría de grupos algebraicos . ^[11] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$

Anillo de coordenadas homogéneo y polinomio de Hilbert

Como el ideal primo P que define una variedad proyectiva X es homogéneo, el anillo de coordenadas homogéneo

${\displaystyle R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P}$

Es un anillo graduado , es decir, se puede expresar como la suma directa de sus componentes graduados:

${\displaystyle R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.}$

Existe un polinomio P tal que para todos los n suficientemente grandes ; se llama polinomio de Hilbert de X. Es una invariante numérica que codifica alguna geometría extrínseca de X. ¡ El grado de P es la dimensión r de X y su coeficiente principal multiplicado por r! es el grado de la variedad X . El género aritmético de X es (−1) ^r ( P (0) − 1) cuando X es suave. ${\displaystyle \dim R_{n}=P(n)}$

Por ejemplo, el anillo de coordenadas homogéneo de is y su polinomio de Hilbert es ; su género aritmético es cero. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}}$

Si el anillo de coordenadas homogéneo R es un dominio integralmente cerrado , entonces se dice que la variedad proyectiva X es proyectivamente normal . Tenga en cuenta que, a diferencia de la normalidad , la normalidad proyectiva depende de R , la incorporación de X en un espacio proyectivo. La normalización de una variedad proyectiva es proyectiva; de hecho, es el Proyecto del cierre integral de algún anillo de coordenadas homogéneo de X .

Grado

Sea una variedad proyectiva. Hay al menos dos formas equivalentes de definir el grado de X en relación con su incrustación. La primera forma es definirlo como la cardinalidad del conjunto finito. ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})}$

donde d es la dimensión de X y H _i son hiperplanos en "posiciones generales". Esta definición corresponde a una idea intuitiva de grado. De hecho, si X es una hipersuperficie, entonces el grado de X es el grado del polinomio homogéneo que define X. Las "posiciones generales" pueden precisarse, por ejemplo, mediante la teoría de la intersección ; se requiere que la intersección sea adecuada y que las multiplicidades de componentes irreducibles sean todas una.

La otra definición, que se menciona en la sección anterior, es que el grado de X es el coeficiente principal del polinomio de Hilbert de X veces (dim X ). Geométricamente, esta definición significa que el grado de X es la multiplicidad del vértice del cono afín sobre X. ^[12]

Sean subesquemas cerrados de dimensiones puras que se cruzan adecuadamente (están en posición general). Si m _i denota la multiplicidad de un componente irreducible Z _i en la intersección (es decir, multiplicidad de intersección ), entonces la generalización del teorema de Bézout dice: ^[13] ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.}$

La multiplicidad de intersección m _i se puede definir como el coeficiente de Z _i en el producto de intersección en el anillo de Chow de . ${\displaystyle V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

En particular, si es una hipersuperficie que no contiene X , entonces ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)}$

donde Z _i son los componentes irreducibles de la intersección teórica del esquema de X y H con multiplicidad (longitud del anillo local) m _i .

Una variedad proyectiva compleja puede verse como una variedad compleja compacta ; el grado de la variedad (relativo a la incrustación) es entonces el volumen de la variedad como variedad con respecto a la métrica heredada del espacio proyectivo complejo ambiental . Una variedad proyectiva compleja se puede caracterizar como minimizadora del volumen (en cierto sentido).

El anillo de secciones.

Sea X una variedad proyectiva y L un paquete de líneas. Entonces el anillo graduado

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}$

se llama anillo de secciones de L . Si L es amplio , entonces Proj de este anillo es X. Además, si X es normal y L es muy amplio, entonces el cierre integral del anillo de coordenadas homogéneo de X está determinado por L ; es decir, de modo que retroceda a L . ^[14] ${\displaystyle R(X,L)}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)}$

Para las aplicaciones, es útil permitir divisores (o -divisores), no sólo paquetes de líneas; suponiendo que X es normal, el anillo resultante se denomina anillo generalizado de secciones. Si es un divisor canónico en X , entonces el anillo generalizado de secciones ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle R(X,K_{X})}$

se llama anillo canónico de X . Si el anillo canónico se genera de forma finita, entonces Proj del anillo se denomina modelo canónico de X. El anillo o modelo canónico se puede utilizar para definir la dimensión Kodaira de X.

Curvas proyectivas

Los esquemas proyectivos de dimensión uno se denominan curvas proyectivas . Gran parte de la teoría de curvas proyectivas trata sobre curvas proyectivas suaves, ya que las singularidades de las curvas pueden resolverse mediante normalización , que consiste en tomar localmente el cierre integral del anillo de funciones regulares. Las curvas proyectivas suaves son isomorfas si y sólo si sus campos funcionales son isomorfos. El estudio de extensiones finitas de

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t),}$

o curvas proyectivas equivalentemente suaves es una rama importante de la teoría algebraica de números . ^[15] ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Una curva proyectiva suave de género uno se llama curva elíptica . Como consecuencia del teorema de Riemann-Roch , dicha curva puede incluirse como una subvariedad cerrada en . En general, se puede incrustar cualquier curva proyectiva (suave) (para obtener una prueba, consulte Variedad secante#Ejemplos ). Por el contrario, cualquier curva cerrada suave de grado tres tiene género uno según la fórmula del género y, por tanto, es una curva elíptica. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Una curva suave completa de género mayor o igual a dos se llama curva hiperelíptica si existe un morfismo finito de grado dos. ^[dieciséis] ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

Hipersuperficies proyectivas

Cada subconjunto cerrado irreducible de codimensión uno es una hipersuperficie ; es decir, el conjunto cero de algún polinomio irreducible homogéneo. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Variedades abelianas

Otro invariante importante de una variedad proyectiva X es el grupo Picard de X , el conjunto de clases de isomorfismo de haces de líneas en X. Es isomorfo y, por tanto, una noción intrínseca (independiente de la incrustación). Por ejemplo, el grupo de Picard es isomorfo a través del mapa de grados. El núcleo de no es sólo un grupo abeliano abstracto, sino que existe una variedad llamada variedad jacobiana de X , Jac( X ), cuyos puntos son iguales a este grupo. El jacobiano de una curva (suave) juega un papel importante en el estudio de la curva. Por ejemplo, el jacobiano de una curva elíptica E es la propia E. Para una curva X de género g , Jac( X ) tiene dimensión g . ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} }$

Se conocen como variedades abelianas , en honor a Niels Abel , las variedades, como la variedad jacobiana, que son completas y tienen una estructura de grupo . En marcado contraste con los grupos algebraicos afines como , dichos grupos son siempre conmutativos, de ahí el nombre. Además, admiten un haz de líneas amplio y, por tanto, son proyectivos. Por otra parte, un esquema abeliano puede no ser proyectivo. Ejemplos de variedades abelianas son las curvas elípticas, las variedades jacobianas y las superficies K3 . ${\displaystyle GL_{n}(k)}$

Proyecciones

Sea un subespacio lineal; es decir, para algunos funcionales lineales linealmente independientes s _i . Entonces la proyección de E es el morfismo (bien definido) ${\displaystyle E\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r}\\x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]\end{cases}}}$

La descripción geométrica de este mapa es la siguiente: ^[18]

• Lo vemos de modo que sea disjunto de E . Entonces, para cualquier , ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E}$
  $${\displaystyle \phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r},}$$
  donde denota el espacio lineal más pequeño que contiene E y x (llamado unión de E y x ). ${\displaystyle W_{x}}$
• ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},}$¿Dónde están las coordenadas homogéneas en ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}.}$
• Para cualquier subesquema cerrado disjunto de E , la restricción es un morfismo finito . ^[19] ${\displaystyle Z\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}}$

Las proyecciones se pueden utilizar para reducir la dimensión en la que está incrustada una variedad proyectiva, hasta morfismos finitos . Comience con alguna variedad proyectiva Si la proyección desde un punto que no está en X da Además, es un mapa finito de su imagen. Así, al iterar el procedimiento, se ve que hay un mapa finito ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}.}$ ${\displaystyle n>\dim X,}$ ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}.}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{d},\quad d=\dim X.}$

Este resultado es el análogo proyectivo del lema de normalización de Noether . (De hecho, produce una prueba geométrica del lema de normalización).

Se puede utilizar el mismo procedimiento para mostrar el siguiente resultado ligeramente más preciso: dada una variedad proyectiva X sobre un campo perfecto, existe un morfismo birracional finito desde X hasta una hipersuperficie H en ^[20] En particular, si X es normal, entonces es la normalización de H . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d+1}.}$

Dualidad y sistema lineal.

Mientras que un espacio n proyectivo parametriza las líneas en un espacio n afín , su dual parametriza los hiperplanos en el espacio proyectivo, de la siguiente manera. Arreglar un campo k . Por , nos referimos a un espacio n proyectivo ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$

${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}=\operatorname {Proj} (k[u_{0},\dots ,u_{n}])}$

equipado con la construcción:

${\displaystyle f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}}$, un hiperplano en ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$

donde es un punto L de para una extensión de campo L de k y ${\displaystyle f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.}$

Para cada L , la construcción es una biyección entre el conjunto de L -puntos de y el conjunto de hiperplanos de . Debido a esto, se dice que el espacio proyectivo dual es el espacio de módulos de los hiperplanos en . ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{L}^{n}}$ ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$

Una línea en se llama lápiz : es una familia de hiperplanos parametrizados por . ${\displaystyle {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$

Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre k , entonces, por la misma razón que antes, es el espacio de hiperplanos en . Un caso importante es cuando V consta de secciones de un haz de líneas. Es decir, sea X una variedad algebraica, L un conjunto de líneas en X y un subespacio vectorial de dimensión positiva finita. Luego hay un mapa: ^[21] ${\displaystyle \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ ${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{V}:X\setminus B\to \mathbb {P} (V^{*})\\x\mapsto H_{x}=\{s\in V|s(x)=0\}\end{cases}}}$

determinado por el sistema lineal V , donde B , llamado lugar geométrico base , es la intersección de los divisores de cero de secciones distintas de cero en V (ver Sistema lineal de divisores#Un mapa determinado por un sistema lineal para la construcción del mapa).

Cohomología de gavillas coherentes.

Sea X un esquema proyectivo sobre un campo (o, más generalmente, sobre un anillo noetheriano A ). La cohomología de gavillas coherentes en X satisface los siguientes teoremas importantes debidos a Serre: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})}$es un espacio vectorial k de dimensión finita para cualquier p .
2. Existe un número entero (dependiendo de ; ver también regularidad de Castelnuovo-Mumford ) tal que ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
   $${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0}$$
   para todos y p > 0, donde es la torsión con una potencia de un haz de líneas muy amplio ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$

Estos resultados se demuestran reduciendo al caso utilizando el isomorfismo ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbb {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0}$

donde en el lado derecho se ve como un haz en el espacio proyectivo por extensión por cero. ^[22] El resultado sigue luego mediante un cálculo directo para n cualquier número entero, y para arbitrarios se reduce a este caso sin mucha dificultad. ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Como corolario de 1. anterior, si f es un morfismo proyectivo de un esquema noetheriano a un anillo noetheriano, entonces la imagen directa superior es coherente. El mismo resultado es válido para los morfismos propios f , como se puede demostrar con la ayuda del lema de Chow . ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Los grupos de cohomología de gavilla H ⁱ en un espacio topológico noetheriano desaparecen para i estrictamente mayor que la dimensión del espacio. Así, la cantidad, llamada característica de Euler de , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\dim H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$

es un número entero bien definido (para X proyectivo). Entonces se puede demostrar para algún polinomio P sobre números racionales. [ ^24] Aplicando este procedimiento a la estructura de gavilla , se recupera el polinomio de Hilbert de X. En particular, si X es irreducible y tiene dimensión r , el género aritmético de X viene dado por ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1),}$

que es manifiestamente intrínseco; es decir, independiente de la incrustación.

El género aritmético de una hipersuperficie de grado d está en . En particular, una curva suave de grado d en tiene género aritmético . Esta es la fórmula del género . ${\displaystyle {\binom {d-1}{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle (d-1)(d-2)/2}$

Variedades proyectivas suaves.

Sea X una variedad proyectiva suave donde todos sus componentes irreducibles tienen dimensión n . En esta situación, el haz canónico ω _X , ​​definido como el haz de diferenciales de Kähler de grado superior (es decir, n -formas algebraicas), es un paquete de líneas.

dualidad serre

La dualidad de Serre establece que para cualquier gavilla localmente libre en X , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'}$

donde el superíndice primo se refiere al espacio dual y es la gavilla dual de . Una generalización a esquemas proyectivos, pero no necesariamente suaves, se conoce como dualidad de Verdier . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teorema de Riemann-Roch

Para una curva (proyectiva suave) X , H ² y superiores desaparecen por razones dimensionales y el espacio de las secciones globales de la estructura de haz es unidimensional. Por tanto, el género aritmético de X es la dimensión de . Por definición, el género geométrico de X es la dimensión de H ⁰ ( X , ω _X ). La dualidad de Serre implica, por tanto, que el género aritmético y el género geométrico coinciden. Simplemente se les llamará género de X. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

La dualidad de Serre también es un ingrediente clave en la demostración del teorema de Riemann-Roch . Como X es suave, existe un isomorfismo de grupos.

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}}$

del grupo de divisores (Weil) módulo de divisores principales al grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas. Un divisor correspondiente a ω _X se llama divisor canónico y se denota por K. Sea l ( D ) la dimensión de . Entonces el teorema de Riemann-Roch establece: si g es un género de X , ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))}$

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,}$

para cualquier divisor D en X . Por la dualidad de Serre, esto es lo mismo que:

${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,}$

que puede demostrarse fácilmente. ^[25] Una generalización del teorema de Riemann-Roch a una dimensión superior es el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , así como el trascendental teorema de Grothendieck-Riemann-Roch .

Esquemas de Hilbert

Los esquemas de Hilbert parametrizan todas las subvariedades cerradas de un esquema proyectivo X en el sentido de que los puntos (en el sentido functorial) deH corresponden a los subesquemas cerrados de X. Como tal, el esquema de Hilbert es un ejemplo de espacio de módulos , es decir, un objeto geométrico cuyos puntos parametrizan otros objetos geométricos. Más precisamente, el esquema de Hilbert parametriza subvariedades cerradas cuyo polinomio de Hilbert esigual a un polinomio prescrito P. ^[26] Es un teorema profundo de Grothendieck que existe un esquema ^[27] sobre k tal que, para cualquier k -esquema T , hay una biyección ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

${\displaystyle \{{\text{morphisms }}T\to H_{X}^{P}\}\ \ \longleftrightarrow \ \ \{{\text{closed subschemes of }}X\times _{k}T{\text{ flat over }}T,{\text{ with Hilbert polynomial }}P.\}}$

El subesquema cerrado que corresponde al mapa de identidad se llama familia universal . ${\displaystyle X\times H_{X}^{P}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}}$

Para , el esquema de Hilbert se llama Grassmanniano de r -planos en y, si X es un esquema proyectivo, se llama esquema de Fano de r -planos en X. ^[28] ${\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H_{X}^{P}}$

Variedades proyectivas complejas

En esta sección, todas las variedades algebraicas son variedades algebraicas complejas . Una característica clave de la teoría de variedades proyectivas complejas es la combinación de métodos algebraicos y analíticos. La transición entre estas teorías se proporciona mediante el siguiente vínculo: dado que cualquier polinomio complejo es también una función holomorfa, cualquier variedad compleja X produce un espacio analítico complejo , denotado . Además, las propiedades geométricas de X se reflejan en las de . Por ejemplo, esta última es una variedad compleja si y sólo si X es suave; es compacto si y sólo si X es propio de . ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Relación con variedades complejas de Kähler

El espacio proyectivo complejo es una variedad de Kähler . Esto implica que, para cualquier variedad algebraica proyectiva X , es una variedad de Kähler compacta. En general, lo contrario no es cierto, pero el teorema de incrustación de Kodaira da un criterio para que una variedad de Kähler sea proyectiva. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

En dimensiones bajas, se obtienen los siguientes resultados:

• (Riemann) Una superficie compacta de Riemann (es decir, una variedad compleja compacta de dimensión uno) es una variedad proyectiva. Por el teorema de Torelli , está determinado únicamente por su jacobiano.
• (Chow-Kodaira) Una variedad compleja compacta de dimensión dos con dos funciones meromórficas algebraicamente independientes es una variedad proyectiva. ^[29]

Teorema de GAGA y Chow

El teorema de Chow proporciona una manera sorprendente de ir en sentido contrario, de la geometría analítica a la algebraica. Afirma que toda subvariedad analítica de un espacio proyectivo complejo es algebraica. Se puede interpretar que el teorema dice que una función holomorfa que satisface cierta condición de crecimiento es necesariamente algebraica: "proyectiva" proporciona esta condición de crecimiento. Del teorema se puede deducir lo siguiente:

• Las funciones meromórficas en el espacio proyectivo complejo son racionales.
• Si una aplicación algebraica entre variedades algebraicas es un isomorfismo analítico , entonces es un isomorfismo (algebraico). (Esta parte es un hecho básico en el análisis complejo.) En particular, el teorema de Chow implica que una aplicación holomorfa entre variedades proyectivas es algebraica. (Considere la gráfica de dicho mapa).
• Cada paquete de vectores holomorfos en una variedad proyectiva es inducido por un paquete de vectores algebraicos único. ^[30]
• Cada paquete de líneas holomorfas en una variedad proyectiva es un paquete de líneas de un divisor. ^[31]

El teorema de Chow se puede demostrar mediante el principio GAGA de Serre . Su teorema principal dice:

Sea X un esquema proyectivo sobre . Entonces, el functor que asocia los haces coherentes en X con los haces coherentes en el espacio analítico complejo correspondiente X ^an es una equivalencia de categorías. Además, los mapas naturales ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})}$

son isomorfismos para todo i y todas las gavillas coherentes en X . ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Tori complejos versus variedades abelianas complejas

La variedad compleja asociada a una variedad abeliana A encima es un grupo de Lie complejo compacto . Se puede demostrar que son de la forma ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$

y también se les conoce como tori complejos . Aquí, g es la dimensión del toro y L es una red (también conocida como red de período ).

Según el teorema de uniformización ya mencionado anteriormente, cualquier toro de dimensión 1 surge de una variedad abeliana de dimensión 1, es decir, de una curva elíptica . De hecho, la función elíptica de Weierstrass adjunta a L satisface una determinada ecuación diferencial y como consecuencia define una inmersión cerrada: ^[33] ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}}$

Existe un análogo p -ádico, el teorema de uniformización p-ádico.

Para dimensiones superiores, las nociones de variedades abelianas complejas y toros complejos difieren: sólo los toros complejos polarizados provienen de variedades abelianas.

Kodaira desapareciendo

El teorema de fuga fundamental de Kodaira establece que para un haz de líneas amplio en una variedad proyectiva suave X sobre un campo de característica cero, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0}$

para i > 0, o, de manera equivalente, por dualidad de Serre para i < n . ^[34] La primera prueba de este teorema utilizó métodos analíticos de la geometría de Kähler, pero más tarde se encontró una prueba puramente algebraica. La desaparición de Kodaira en general falla en una variedad proyectiva suave en característica positiva. El teorema de Kodaira es uno de varios teoremas de desaparición, que dan criterios para que desaparezcan las cohomologías de gavillas superiores. Dado que la característica de Euler de una gavilla (ver arriba) es a menudo más manejable que los grupos de cohomología individuales, esto a menudo tiene consecuencias importantes sobre la geometría de las variedades proyectivas. ^[35] ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0}$

Nociones relacionadas

• Variedad multiproyectiva
• Variedad proyectiva ponderada , una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo ponderado ^[36]

Ver también

• Geometría algebraica de espacios proyectivos.
• Relación de equivalencia adecuada
• Esquema Hilbert
• Teorema del hiperplano de Lefschetz
• Programa de modelo mínimo

Notas

1. Kollár y Moduli, Ch I.
2. Shafarevich, Igor R. (1994), Geometría algebraica básica 1: variedades en el espacio proyectivo , Springer
3. Este ideal homogéneo a veces se denomina homogeneización de I.
4. Mumford 1999, pág. 82
5. Hartshorne 1977, sección II.5
6. Mumford 1999, pág. 111
7. Esta definición difiere de Eisenbud & Harris 2000, III.2.3 pero es coherente con las otras partes de Wikipedia.
8. cf. la prueba de Hartshorne 1977, capítulo II, teorema 7.1
9. Grothendieck y Dieudonné 1961, 5.6
10. Hartshorne 1977, capítulo II. Ejercicio 4.5
11. Humphreys, James (1981), Grupos algebraicos lineales , Springer, Teorema 21.3
12. Hartshorne 1977, cap. V, Ejercicio 3.4. (mi).
13. Fulton 1998, Proposición 8.4.
14. Hartshorne 1977, cap. II, Ejercicio 5.14. (a)
15. Rosen, Michael (2002), Teoría de números en campos funcionales , Springer
16. Hartshorne 1977, capítulo IV, ejercicio 1.7.
17. Hartshorne 1977, Capítulo I, Ejercicio 2.8; esto se debe a que el anillo de coordenadas homogéneo de es un dominio de factorización único y en una UFD todo ideal primo de altura 1 es principal. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$
18. Shafarevich 1994, cap. I.§ 4.4. Ejemplo 1.
19. Mumford y Oda 2015, cap. II, § 7. Proposición 6.
20. Hartshorne 1977, cap. I, Ejercicio 4.9.
21. Fulton 1998, § 4.4.
22. Esto no es difícil: (Hartshorne 1977, Capítulo III. Lema 2.10) considere una resolución flasca y su extensión cero a todo el espacio proyectivo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
23. Hartshorne 1977, capítulo III. Teorema 5.2
24. Hartshorne 1977, capítulo III. Ejercicio 5.2
25. Hartshorne 1977, capítulo IV. Teorema 1.3
26. Kollár 1996, Capítulo I 1.4
27. Para que la construcción funcione, es necesario permitir una no variedad.
28. Eisenbud y Harris 2000, VI 2.2
29. Hartshorne 1977, Apéndice B. Teorema 3.4.
30. Griffiths y Adams 2015, IV. 1. 10. Corolario H
31. Griffiths y Adams 2015, IV. 1. 10. Corolario I
32. Hartshorne 1977, Apéndice B. Teorema 2.1
33. Mumford 1970, pág. 36
34. Hartshorne 1977, capítulo III. Observación 7.15.
35. Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Conferencias sobre teoremas de fuga , Birkhäuser
36. Dolgachev, Igor (1982), "Variedades proyectivas ponderadas", Acciones grupales y campos vectoriales (Vancouver, BC, 1981) , Lecture Notes in Math., vol. 956, Berlín: Springer, págs. 34–71, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , doi :10.1007/BFb0101508, ISBN  978-3-540-11946-3, señor  0704986

Referencias

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• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, señor  1644323
• Griffiths, Phillip A.; Adams, John Frank (8 de marzo de 2015). Temas de Geometría Algebraica y Analítica. (MN-13), Volumen 13: Notas de un curso de Phillip Griffiths. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-1-4008-6926-8.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
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• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084.
• Kollár, János , Libro sobre módulos de superficies.
• Kollár, János (1996), Curvas racionales en variedades algebraicas.
• Mumford, David (1970), Variedades abelianas
• Mumford, David (1995), Geometría algebraica I: variedades proyectivas complejas
• Mumford, David (1999), El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1358 (2ª ed.), Springer-Verlag , doi :10.1007/b62130, ISBN 978-3540632931
• Mumford, David; Oda, Tadao (2015). Geometría Algebraica II.
• Ígor Shafarevich (1995). Geometría algebraica básica I: variedades en el espacio proyectivo (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-54812-8.
• R. Vakil, Fundamentos de la geometría algebraica

enlaces externos

• El plan Hilbert de Charles Siegel: una entrada de blog
• Variedades proyectivas Cap. 1