En matemáticas , el concepto de espacio proyectivo se originó a partir del efecto visual de la perspectiva , donde las líneas paralelas parecen encontrarse en el infinito . Por tanto, un espacio proyectivo puede verse como la extensión de un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín con puntos en el infinito , de tal manera que hay un punto en el infinito de cada dirección de líneas paralelas .
Esta definición de espacio proyectivo tiene la desventaja de no ser isotrópico , teniendo dos tipos diferentes de puntos, que deben considerarse por separado en las pruebas. Por lo tanto, generalmente se prefieren otras definiciones. Hay dos clases de definiciones. En la geometría sintética , punto y línea son entidades primitivas que se relacionan por la relación de incidencia "un punto está sobre una línea" o "una línea pasa por un punto", la cual está sujeta a los axiomas de la geometría proyectiva . Para algunos de estos conjuntos de axiomas, se ha demostrado que los espacios proyectivos que se definen son equivalentes a los resultantes de la siguiente definición, que se encuentra con mayor frecuencia en los libros de texto modernos.
Usando álgebra lineal , un espacio proyectivo de dimensión n se define como el conjunto de líneas vectoriales (es decir, subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial V de dimensión n + 1 . De manera equivalente, es el conjunto cociente de V \{0} por la relación de equivalencia "estar en la misma recta vectorial". Como una línea vectorial intersecta la esfera unitaria de V en dos puntos antípodas , los espacios proyectivos pueden definirse de manera equivalente como esferas en las que se identifican puntos antípodas. Un espacio proyectivo de dimensión 1 es una línea proyectiva y un espacio proyectivo de dimensión 2 es un plano proyectivo .
Los espacios proyectivos se utilizan ampliamente en geometría , ya que permiten afirmaciones y pruebas más simples. Por ejemplo, en geometría afín , dos líneas distintas en un plano se cruzan como máximo en un punto, mientras que, en geometría proyectiva , se cruzan exactamente en un punto. Además, sólo existe una clase de secciones cónicas , que pueden distinguirse únicamente por sus intersecciones con la recta en el infinito: dos puntos de intersección para las hipérbolas ; uno para la parábola , que es tangente a la recta en el infinito; y ningún punto de intersección real de elipses .
En topología , y más concretamente en teoría de variedades , los espacios proyectivos juegan un papel fundamental, siendo ejemplos típicos de variedades no orientables .
Como se describió anteriormente, los espacios proyectivos se introdujeron para formalizar declaraciones como "dos líneas coplanares se cruzan exactamente en un punto, y este punto está en el infinito si las líneas son paralelas ". Tales afirmaciones son sugeridas por el estudio de la perspectiva , que puede considerarse como una proyección central del espacio tridimensional sobre un plano (ver modelo de cámara estenopeica ). Más precisamente, la pupila de entrada de una cámara o del ojo de un observador es el centro de proyección , y la imagen se forma en el plano de proyección .
Matemáticamente, el centro de proyección es un punto O del espacio (la intersección de los ejes en la figura); el plano de proyección ( P 2 , en azul en la figura) es un plano que no pasa por O , que a menudo se elige como el plano de la ecuación z = 1 , cuando se consideran las coordenadas cartesianas . Luego, la proyección central asigna un punto P a la intersección de la línea OP con el plano de proyección. Tal intersección existe si y sólo si el punto P no pertenece al plano ( P 1 , en verde en la figura) que pasa por O y es paralelo a P 2 .
De ello se deduce que las rectas que pasan por O se dividen en dos subconjuntos disjuntos: las rectas que no están contenidas en P 1 , que están en correspondencia uno a uno con los puntos de P 2 , y las contenidas en P 1 , que están en correspondencia uno a uno una correspondencia con las direcciones de líneas paralelas en P 2 . Esto sugiere definir los puntos (llamados aquí puntos proyectivos para mayor claridad) del plano proyectivo como las líneas que pasan por O. Una línea proyectiva en este plano consta de todos los puntos proyectivos (que son líneas) contenidos en un plano que pasa por O. Como la intersección de dos planos que pasan por O es una línea que pasa por O , la intersección de dos líneas proyectivas distintas consta de un único punto proyectivo. El plano P 1 define una línea proyectiva que se llama línea en el infinito de P 2 . Al identificar cada punto de P 2 con el punto proyectivo correspondiente, se puede decir que el plano proyectivo es la unión disjunta de P 2 y la línea (proyectiva) en el infinito.
Como un espacio afín con un punto distinguido O puede identificarse con su espacio vectorial asociado (ver Espacio afín § Espacios vectoriales como espacios afines ), la construcción anterior generalmente se realiza partiendo de un espacio vectorial y se llama proyectivización . Además, la construcción se puede realizar comenzando con un espacio vectorial de cualquier dimensión positiva.
Entonces, un espacio proyectivo de dimensión n se puede definir como el conjunto de líneas vectoriales (subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial de dimensión n + 1 . Un espacio proyectivo también se puede definir como los elementos de cualquier conjunto que esté en correspondencia natural con este conjunto de líneas vectoriales.
Este conjunto puede ser el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia entre vectores definida por "un vector es el producto del otro por un escalar distinto de cero". En otras palabras, esto equivale a definir un espacio proyectivo como el conjunto de líneas vectoriales en las que se ha eliminado el vector cero.
Una tercera definición equivalente es definir un espacio proyectivo de dimensión n como el conjunto de pares de puntos antípodas en una esfera de dimensión n (en un espacio de dimensión n + 1 ).
Dado un espacio vectorial V sobre un campo K , el espacio proyectivo P ( V ) es el conjunto de clases de equivalencia de V \ {0} bajo la relación de equivalencia ~ definida por x ~ y si hay un elemento distinto de cero λ de K tal que x = λy . Si V es un espacio vectorial topológico , el espacio cociente P ( V ) es un espacio topológico , dotado de la topología cociente de la topología subespacial de V \{0} . Este es el caso cuando K es el campo R de los números reales o el campo C de los números complejos . Si V es de dimensión finita, la dimensión de P ( V ) es la dimensión de V menos uno.
En el caso común donde V = K n +1 , el espacio proyectivo P ( V ) se denota P n ( K ) (así como K P n o P n ( K ) , aunque esta notación puede confundirse con la exponenciación). El espacio P n ( K ) a menudo se denomina espacio proyectivo de dimensión n sobre K , o espacio n proyectivo , ya que todos los espacios proyectivos de dimensión n son isomorfos a él (porque cada K espacio vectorial de dimensión n + 1 es isomorfo a K n +1 ).
Los elementos de un espacio proyectivo P ( V ) se denominan comúnmente puntos . Si se ha elegido una base de V , y, en particular, si V = K n +1 , las coordenadas proyectivas de un punto P son las coordenadas sobre la base de cualquier elemento de la clase de equivalencia correspondiente. Estas coordenadas se denotan comúnmente [ x 0 : ... : x n ] , los dos puntos y los corchetes se utilizan para distinguirlas de las coordenadas habituales, y enfatizando que se trata de una clase de equivalencia, que se define hasta la multiplicación por un valor distinto de cero. constante. Es decir, si [ x 0 : ... : x n ] son coordenadas proyectivas de un punto, entonces [ λx 0 : ... : λx n ] también son coordenadas proyectivas del mismo punto, para cualquier λ distinto de cero en K. Además, la definición anterior implica que [ x 0 : ... : x n ] son coordenadas proyectivas de un punto si y sólo si al menos una de las coordenadas es distinta de cero.
Si K es el cuerpo de números reales o complejos, un espacio proyectivo se denomina espacio proyectivo real o espacio proyectivo complejo , respectivamente. Si n es uno o dos, un espacio proyectivo de dimensión n se llama línea proyectiva o plano proyectivo , respectivamente. La recta proyectiva compleja también recibe el nombre de esfera de Riemann .
Todas estas definiciones se extienden naturalmente al caso en el que K es un anillo de división ; véase, por ejemplo, Espacio proyectivo cuaterniónico . La notación PG( n , K ) se utiliza a veces para Pn ( K ) . [1] Si K es un campo finito con q elementos, P n ( K ) a menudo se denota como PG( n , q ) (ver PG(3,2) ). [a]
Sea P ( V ) un espacio proyectivo, donde V es un espacio vectorial sobre un campo K , y
Todo subespacio lineal W de V es una unión de líneas. De ello se deduce que p ( W ) es un espacio proyectivo, que puede identificarse con P ( W ) .
Un subespacio proyectivo es, por tanto, un espacio proyectivo que se obtiene restringiendo a un subespacio lineal la relación de equivalencia que define P ( V ) .
Si p ( v ) y p ( w ) son dos puntos diferentes de P ( V ) , los vectores v y w son linealmente independientes . Resulta que:
En geometría sintética , donde las líneas proyectivas son objetos primitivos, la primera propiedad es un axioma y la segunda es la definición de un subespacio proyectivo.
Cada intersección de subespacios proyectivos es un subespacio proyectivo. De ello se deduce que para cada subconjunto S de un espacio proyectivo, hay un subespacio proyectivo más pequeño que contiene S , la intersección de todos los subespacios proyectivos que contienen S. Este subespacio proyectivo se llama tramo proyectivo de S , y S es un conjunto generador del mismo.
Un conjunto S de puntos es proyectivamente independiente si su tramo no es el tramo de ningún subconjunto propio de S. Si S es un conjunto generador de un espacio proyectivo P , entonces hay un subconjunto de S que abarca P y es proyectivamente independiente (esto resulta del teorema similar para espacios vectoriales). Si la dimensión de P es n , dicho conjunto generador independiente tiene n + 1 elementos.
Al contrario de los casos de espacios vectoriales y espacios afines , un conjunto generador independiente no es suficiente para definir coordenadas. Es necesario un punto más, consulte la siguiente sección.
Un marco proyectivo es un conjunto ordenado de puntos en un espacio proyectivo que permite definir coordenadas. Más precisamente, en un espacio proyectivo de n dimensiones, un marco proyectivo es una tupla de n + 2 puntos tales que cualquier n + 1 de ellos es independiente, es decir, no está contenido en un hiperplano.
Si V es un espacio vectorial ( n + 1) dimensional, y p es la proyección canónica de V a P ( V ) , entonces ( p ( e 0 ), ..., p ( e n +1 )) es un marco proyectivo si y sólo si ( e 0 , ..., e n ) es una base de V , y los coeficientes de e n +1 sobre esta base son todos distintos de cero. Al reescalar los primeros n vectores, cualquier cuadro se puede reescribir como ( p ( e ′ 0 ), ..., p( e ′ n +1 )) tal que e ′ n +1 = e ′ 0 + ... + mi ′ norte ; esta representación es única hasta la multiplicación de todos los e ′ i con un factor común distinto de cero.
Las coordenadas proyectivas o coordenadas homogéneas de un punto p ( v ) en un marco ( p ( e 0 ), ..., p ( e n +1 )) con e n +1 = e 0 + ... + e n son las coordenadas de v sobre la base ( e 0 , ..., e n ) . Nuevamente, solo se definen hasta escalar con un factor común distinto de cero.
El marco canónico del espacio proyectivo P n ( K ) consta de imágenes por p de los elementos de la base canónica de K n +1 (las tuplas con una sola entrada distinta de cero, igual a 1), y la imagen por p de sus suma.
En matemáticas , la geometría proyectiva es el estudio de las propiedades geométricas que son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas . Esto significa que, en comparación con la geometría euclidiana elemental , la geometría proyectiva tiene un escenario, un espacio proyectivo diferente y un conjunto selectivo de conceptos geométricos básicos. Las intuiciones básicas son que el espacio proyectivo tiene más puntos que el espacio euclidiano , para una dimensión dada, y que se permiten transformaciones geométricas que transforman los puntos extra (llamados " puntos en el infinito ") en puntos euclidianos, y viceversa.
Las propiedades significativas para la geometría proyectiva son respetadas por esta nueva idea de transformación, que es más radical en sus efectos de lo que puede expresarse mediante una matriz de transformación y traslaciones (las transformaciones afines ). La primera cuestión para los geómetras es qué tipo de geometría es adecuada para una situación nueva. A diferencia de la geometría euclidiana , el concepto de ángulo no se aplica en la geometría proyectiva, porque ninguna medida de ángulo es invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se ve en el dibujo en perspectiva desde una perspectiva cambiante. De hecho, una fuente de geometría proyectiva fue la teoría de la perspectiva. Otra diferencia con la geometría elemental es la forma en que se puede decir que las líneas paralelas se encuentran en un punto en el infinito , una vez que el concepto se traduce a los términos de la geometría proyectiva. Una vez más, esta noción tiene una base intuitiva, como las vías del tren que se encuentran en el horizonte en un dibujo en perspectiva. Consulte Plano proyectivo para conocer los conceptos básicos de la geometría proyectiva en dos dimensiones.
Si bien las ideas estaban disponibles antes, la geometría proyectiva fue principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluía la teoría del espacio proyectivo complejo , siendo las coordenadas utilizadas ( coordenadas homogéneas ) números complejos. Varios tipos importantes de matemáticas más abstractas (incluida la teoría invariante , la escuela italiana de geometría algebraica y el programa Erlangen de Felix Klein que dio como resultado el estudio de los grupos clásicos ) fueron motivados por la geometría proyectiva. También fue un tema con muchos practicantes por sí mismo, como la geometría sintética . Otro tema que se desarrolló a partir de estudios axiomáticos de geometría proyectiva es la geometría finita .
El tema de la geometría proyectiva ahora se divide en muchos subtemas de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de variedades proyectivas ) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).En geometría proyectiva , una homografía es un isomorfismo de espacios proyectivos, inducido por un isomorfismo de los espacios vectoriales de los que derivan los espacios proyectivos. [2] Es una biyección que asigna líneas a líneas y, por lo tanto, una colineación . En general, algunas colineaciones no son homografías, pero el teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma que no es así en el caso de espacios proyectivos reales de dimensión al menos dos. Los sinónimos incluyen proyectividad, transformación proyectiva y colineación proyectiva.
Históricamente, las homografías (y los espacios proyectivos) se han introducido para estudiar la perspectiva y las proyecciones en la geometría euclidiana , y el término homografía , que, etimológicamente, significa aproximadamente "dibujo similar", data de esta época. A finales del siglo XIX se introdujeron definiciones formales de espacios proyectivos, que ampliaron los espacios euclidianos y afines mediante la adición de nuevos puntos llamados puntos en el infinito . El término "transformación proyectiva" se originó en estas construcciones abstractas. Estas construcciones se dividen en dos clases que se ha demostrado que son equivalentes. Un espacio proyectivo puede construirse como el conjunto de líneas de un espacio vectorial sobre un campo dado (la definición anterior se basa en esta versión); esta construcción facilita la definición de coordenadas proyectivas y permite utilizar las herramientas del álgebra lineal para el estudio de homografías. El enfoque alternativo consiste en definir el espacio proyectivo a través de un conjunto de axiomas, que no involucran explícitamente ningún campo ( geometría de incidencia , véase también geometría sintética ); En este contexto, las colineaciones son más fáciles de definir que las homografías, y las homografías se definen como colineaciones específicas, llamadas "colineaciones proyectivas".
En aras de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, se supone que los espacios proyectivos considerados en este artículo están definidos sobre un campo (conmutativo) . De manera equivalente, se supone que el teorema del hexágono de Pappus y el teorema de Desargues son verdaderos. Una gran parte de los resultados siguen siendo ciertos o pueden generalizarse a geometrías proyectivas para las cuales estos teoremas no son válidos.Un espacio proyectivo es un espacio topológico , dotado de la topología cociente de la topología de un espacio vectorial real de dimensión finita.
Sea S la esfera unitaria en un espacio vectorial normado V y considere la función
Para cada punto P de S , la restricción de π a una vecindad de P es un homeomorfismo en su imagen, siempre que la vecindad sea lo suficientemente pequeña como para no contener ningún par de puntos antípodas. Esto muestra que un espacio proyectivo es una variedad. Se puede proporcionar un atlas simple, de la siguiente manera.
Una vez elegida una base para V , cualquier vector puede identificarse con sus coordenadas sobre la base, y cualquier punto de P ( V ) puede identificarse con sus coordenadas homogéneas . Para i = 0, ..., n , el conjunto
A cada U i se le asocia una tabla , que son los homeomorfismos
Estos gráficos forman un atlas y, como los mapas de transición son funciones analíticas , resulta que los espacios proyectivos son variedades analíticas .
Por ejemplo, en el caso de n = 1 , es decir, de una línea proyectiva, solo hay dos U i , cada uno de los cuales puede identificarse con una copia de la línea real . En ambas líneas, la intersección de los dos gráficos es el conjunto de números reales distintos de cero, y el mapa de transición es
Los espacios proyectivos reales tienen una estructura compleja CW simple, ya que P n ( R ) se puede obtener a partir de P n −1 ( R ) uniendo una n -celda con la proyección cociente S n −1 → P n −1 ( R ) como el mapa adjunto.
Originalmente, la geometría algebraica era el estudio de los ceros comunes de conjuntos de polinomios multivariados . Estos ceros comunes, llamados variedades algebraicas, pertenecen a un espacio afín . Pronto resultó que, en el caso de coeficientes reales, se deben considerar todos los ceros complejos para obtener resultados precisos. Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio univariado libre de cuadrados de grado n tiene exactamente n raíces complejas. En el caso multivariado, la consideración de ceros complejos también es necesaria, pero no suficiente: también hay que considerar ceros en el infinito . Por ejemplo, el teorema de Bézout afirma que la intersección de dos curvas algebraicas planas de grados respectivos d y e consta exactamente de puntos si se consideran puntos complejos en el plano proyectivo y si se cuentan los puntos con su multiplicidad. [b] Otro ejemplo es la fórmula género-grado que permite calcular el género de una curva algebraica plana a partir de sus singularidades en el plano proyectivo complejo .
Entonces una variedad proyectiva es el conjunto de puntos en un espacio proyectivo, cuyas coordenadas homogéneas son ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos . [C]
Cualquier variedad afín puede completarse , de forma única, en una variedad proyectiva sumando sus puntos en el infinito , lo que consiste en homogeneizar los polinomios definitorios, y quitar las componentes que están contenidas en el hiperplano en el infinito, saturando con respecto al variable homogeneizadora.
Una propiedad importante de los espacios proyectivos y las variedades proyectivas es que la imagen de una variedad proyectiva bajo un morfismo de variedades algebraicas está cerrada para la topología de Zariski (es decir, es un conjunto algebraico ). Esta es una generalización a todos los campos terrestres de la compacidad del espacio proyectivo real y complejo.
Un espacio proyectivo es en sí mismo una variedad proyectiva, siendo el conjunto de ceros del polinomio cero.
La teoría de esquemas , introducida por Alexander Grothendieck durante la segunda mitad del siglo XX, permite definir una generalización de variedades algebraicas, llamadas esquemas , pegando piezas más pequeñas llamadas esquemas afines , de manera similar a como se pueden construir variedades pegando conjuntos abiertos de R n . La construcción Proj es la construcción del esquema de un espacio proyectivo y, más generalmente, de cualquier variedad proyectiva, pegando esquemas afines. En el caso de espacios proyectivos, se pueden tomar para estos esquemas afines los esquemas afines asociados a los diagramas (espacios afines) de la descripción anterior de un espacio proyectivo como variedad.
En geometría sintética , un espacio proyectivo S puede definirse axiomáticamente como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), satisfaciendo estos axiomas: [3]
El último axioma elimina los casos reducibles que pueden escribirse como una unión disjunta de espacios proyectivos junto con líneas de 2 puntos que unen dos puntos cualesquiera en espacios proyectivos distintos. De manera más abstracta, se puede definir como una estructura de incidencia ( P , L , I ) que consta de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que establece qué puntos se encuentran en qué líneas.
Las estructuras definidas por estos axiomas son más generales que las obtenidas a partir de la construcción del espacio vectorial dada anteriormente. Si la dimensión (proyectiva) es al menos tres entonces, según el teorema de Veblen-Young , no hay diferencia. Sin embargo, para la dimensión dos, hay ejemplos que satisfacen estos axiomas que no se pueden construir a partir de espacios vectoriales (o incluso módulos sobre anillos de división). Estos ejemplos no satisfacen el teorema de Desargues y se conocen como planos no desarguesianos . En la dimensión uno, cualquier conjunto con al menos tres elementos satisface los axiomas, por lo que es habitual asumir una estructura adicional para las líneas proyectivas definidas axiomáticamente. [4]
Es posible evitar los casos problemáticos en dimensiones bajas agregando o modificando axiomas que definen un espacio proyectivo. Coxeter (1969, p. 231) da tal extensión gracias a Bachmann. [5] Para garantizar que la dimensión sea al menos dos, reemplace el axioma de tres puntos por línea anterior por:
Para evitar los planos no desarguesianos, incluya el teorema de Pappus como axioma; [mi]
Y, para asegurar que el espacio vectorial esté definido sobre un campo que ni siquiera tiene característica se incluye el axioma de Fano ; [F]
Un subespacio del espacio proyectivo es un subconjunto X , tal que cualquier línea que contenga dos puntos de X es un subconjunto de X (es decir, completamente contenida en X ). El espacio lleno y el espacio vacío son siempre subespacios.
La dimensión geométrica del espacio se dice que es n si ese es el número mayor para el cual existe una cadena estrictamente ascendente de subespacios de esta forma:
Se dice que un subespacio Xi en tal cadena tiene dimensión (geométrica) i . Los subespacios de dimensión 0 se llaman puntos , los de dimensión 1 se llaman líneas y así sucesivamente. Si el espacio completo tiene dimensión n, entonces cualquier subespacio de dimensión n − 1 se llama hiperplano .
Los espacios proyectivos admiten una formulación equivalente en términos de teoría reticular . Existe una correspondencia biyectiva entre espacios proyectivos y celosías geomodulares, es decir, celosías modulares subdirectamente irreducibles , generadas de forma compacta y complementadas . [6]
Un espacio proyectivo finito es un espacio proyectivo donde P es un conjunto finito de puntos. En cualquier espacio proyectivo finito, cada línea contiene el mismo número de puntos y el orden del espacio se define como uno menos que este número común. Para espacios proyectivos finitos de dimensión al menos tres, el teorema de Wedderburn implica que el anillo de división sobre el cual se define el espacio proyectivo debe ser un campo finito , GF( q ) , cuyo orden (es decir, número de elementos) es q (un número primo fuerza). Un espacio proyectivo finito definido sobre dicho campo finito tiene q + 1 puntos en una recta, por lo que los dos conceptos de orden coinciden. Notacionalmente, PG( n , GF( q )) generalmente se escribe como PG( n , q ) .
Todos los campos finitos del mismo orden son isomorfos, por lo que, hasta el isomorfismo, sólo existe un espacio proyectivo finito para cada dimensión mayor o igual a tres, sobre un campo finito dado. Sin embargo, en la dimensión dos existen planos no desarguesianos. Hasta el isomorfismo hay
planos proyectivos finitos de órdenes 2, 3, 4, ..., 10, respectivamente. Los números más allá de esto son muy difíciles de calcular y no se determinan excepto algunos valores cero debido al teorema de Bruck-Ryser .
El plano proyectivo más pequeño es el plano de Fano , PG(2, 2) con 7 puntos y 7 rectas. El espacio proyectivo tridimensional más pequeño es PG(3, 2) , con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos.
Los mapas lineales inyectivos T ∈ L ( V , W ) entre dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo campo K inducen mapeos de los espacios proyectivos correspondientes P ( V ) → P ( W ) a través de:
donde v es un elemento distinto de cero de V y [...] denota las clases de equivalencia de un vector bajo la identificación definitoria de los respectivos espacios proyectivos. Dado que los miembros de la clase de equivalencia difieren en un factor escalar y los mapas lineales preservan los factores escalares, este mapa inducido está bien definido . (Si T no es inyectivo, tiene un espacio nulo mayor que {0} ; en este caso el significado de la clase de T ( v ) es problemático si v es distinto de cero y está en el espacio nulo. En este caso se obtiene un mapa llamado racional , ver también Geometría biracional ).
Dos aplicaciones lineales S y T en L ( V , W ) inducen la misma aplicación entre P ( V ) y P ( W ) si y solo si difieren en un múltiplo escalar, es decir, si T = λS para algún λ ≠ 0 . Por lo tanto, si uno identifica los múltiplos escalares del mapa de identidad con el campo subyacente K , el conjunto de K - morfismos lineales de P ( V ) a P ( W ) es simplemente P ( L ( V , W )) .
Los automorfismos P ( V ) → P ( V ) se pueden describir de manera más concreta. (Nos ocupamos únicamente de automorfismos que preservan el campo base K ). Utilizando la noción de gavillas generadas por secciones globales , se puede demostrar que cualquier automorfismo algebraico (no necesariamente lineal) debe ser lineal, es decir, provenir de un automorfismo (lineal) del espacio vectorial V. Estos últimos forman el grupo GL( V ) . Al identificar mapas que difieren en un escalar, se concluye que
el grupo cociente de GL( V ) módulo las matrices que son múltiplos escalares de la identidad. (Estas matrices forman el centro de Aut( V ) .) Los grupos PGL se denominan grupos lineales proyectivos . Los automorfismos de la recta proyectiva compleja P 1 ( C ) se denominan transformaciones de Möbius .
Cuando la construcción anterior se aplica al espacio dual V ∗ en lugar de V , se obtiene el espacio proyectivo dual, que puede identificarse canónicamente con el espacio de hiperplanos a través del origen de V . Es decir, si V es n -dimensional, entonces P ( V ∗ ) es el Grassmanniano de n − 1 planos en V .
En geometría algebraica, esta construcción permite una mayor flexibilidad en la construcción de haces proyectivos. A uno le gustaría poder asociar un espacio proyectivo a cada haz cuasi coherente E sobre un esquema Y , no solo a los localmente libres. [ se necesita aclaración ] Ver EGA II , Cap. II, párr. 4 para más detalles.
Las variedades de Severi-Brauer son variedades algebraicas sobre un campo K , que se vuelven isomorfas a espacios proyectivos después de una extensión del campo base K.
Otra generalización de los espacios proyectivos son los espacios proyectivos ponderados ; estos son en sí mismos casos especiales de variedades tóricas . [7]
![{\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464921a3e53687360d8554f71d7f226bf624ca3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {\varphi } _{i}:R^{n}&\to U_{i}\\(y_{0},\dots ,{\widehat {y_{i) }}},\dots y_{n})&\mapsto [y_{0}:\cdots :y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots :y_{n}],\end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243ea54c69f09fa5dc47c6bf3dd6a8ea2b12d8ce)
![{\displaystyle \varphi _{i}^{-1}\left([x_{0}:\cdots x_{n}]\right)=\left({\frac {x_{0}}{x_{i }}},\puntos,{\widehat {\frac {x_ {i}}{x_ {i}}}},\puntos,{\frac {x_ {n}}{x_ {i}}}\right) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e2f636072781246e90259b862b9e97c0d53b6f)
