Expresión bien definida

Expresión cuya definición le asigna una interpretación única

En matemáticas , una expresión bien definida o expresión inequívoca es una expresión cuya definición le asigna una interpretación o valor único. En caso contrario, se dice que la expresión no está bien definida , mal definida o ambigua . ^[1] Una función está bien definida si da el mismo resultado cuando se cambia la representación de la entrada sin cambiar el valor de la entrada. Por ejemplo, si toma números reales como entrada y si no es igual , entonces no está bien definido (y por lo tanto no es una función). ^[2] El término bien definido también se puede utilizar para indicar que una expresión lógica es inequívoca o no contradictoria. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0.5)}$ ${\displaystyle f(1/2)}$ ${\displaystyle f}$

No es lo mismo una función que no está bien definida que una función que no está definida . Por ejemplo, si , entonces aunque no esté definido no significa que la función no esté bien definida, sino simplemente que 0 no está en el dominio de . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplo

Sean conjuntos, dejen y "definan" como si y si . ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ ${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A_{0}}$ ${\displaystyle f(a)=1}$ ${\displaystyle a\in A_{1}}$

Entonces está bien definido si . Por ejemplo, si y , entonces estaría bien definido y sería igual a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

Sin embargo, si , entonces no estaría bien definido porque es "ambiguo" para . Por ejemplo, si y , entonces tendrían que ser 0 y 1, lo que lo hace ambiguo. Como resultado, este último no está bien definido y, por tanto, no es una función. ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle f}$

La "definición" como anticipación de la definición

Para evitar las comillas alrededor de "definir" en el simple ejemplo anterior, la "definición" de podría dividirse en dos pasos lógicos simples: ${\displaystyle f}$

1. La definición de la relación binaria : en el ejemplo.

   ${\displaystyle f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},}$

   (que hasta ahora no es más que un determinado subconjunto del producto cartesiano ). ${\displaystyle A\times \{0,1\}}$
2. La afirmación : La relación binaria es una función; en el ejemplo ${\displaystyle f}$

   ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}.}$

Si bien la definición del paso 1 se formula con la libertad de cualquier definición y es ciertamente efectiva (sin necesidad de clasificarla como "bien definida"), la afirmación del paso 2 debe ser probada. Es decir, es una función si y sólo si , en cuyo caso –como función– está bien definida. Por otro lado, si , entonces para an , tendríamos eso y , lo que hace que la relación binaria no sea funcional (como se define en Relación binaria#Tipos especiales de relaciones binarias ) y, por lo tanto, no esté bien definida como función. Coloquialmente, la "función" también se llama ambigua en un punto (aunque , por definición, nunca existe una "función ambigua"), y la "definición" original no tiene sentido. A pesar de estos sutiles problemas lógicos, es bastante común utilizar anticipadamente el término definición (sin apóstrofes) para "definiciones" de este tipo, por tres razones: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle (a,0)\in f}$ ${\displaystyle (a,1)\in f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

1. Proporciona una breve descripción útil del enfoque de dos pasos.
2. El razonamiento matemático relevante (es decir, el paso 2) es el mismo en ambos casos.
3. En los textos matemáticos, la afirmación es "hasta el 100%" cierta.

Independencia del representante

La cuestión de la buena definición de una función surge clásicamente cuando la ecuación definitoria de una función no (solo) se refiere a los argumentos en sí, sino (también) a los elementos de los argumentos que sirven como representantes . A veces esto es inevitable cuando los argumentos son clases laterales y la ecuación se refiere a representantes de clases laterales. El resultado de la aplicación de una función no debe depender entonces de la elección del representante.

Funciones con un argumento

Por ejemplo, considere la siguiente función

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

donde y son los números enteros módulo m y denota la clase de congruencia de n mod m . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$

NB: es una referencia al elemento y es el argumento de . ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$ ${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle f}$

La función está bien definida porque ${\displaystyle f}$

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

Como contraejemplo, la definición inversa

${\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}$

no conduce a una función bien definida, ya que, por ejemplo, es igual en , pero la primera se asignaría a , mientras que la segunda se asignaría a , y y no son iguales en . ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Operaciones

En particular, el término bien definido se utiliza con respecto a operaciones (binarias) en clases laterales. En este caso se puede ver la operación como una función de dos variables y la propiedad de estar bien definida es la misma que la de una función. Por ejemplo, la suma en el módulo de números enteros algunos n se puede definir naturalmente en términos de suma de enteros.

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

El hecho de que esto esté bien definido se deriva del hecho de que podemos escribir cualquier representante de as , donde es un número entero. Por lo tanto, ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle a+kn}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

y de igual modo para cualquier representante de , haciendo así el mismo independientemente de la elección del representante. ${\displaystyle [b]}$ ${\displaystyle [a+b]}$

Notación bien definida

Para números reales, el producto es inequívoco porque (y por tanto se dice que la notación está bien definida ). ^[1] Esta propiedad, también conocida como asociatividad de la multiplicación, garantiza que el resultado no depende de la secuencia de multiplicaciones, por lo que se puede omitir una especificación de la secuencia. ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

La operación de resta , en cambio, no es asociativa. Sin embargo, existe una convención que es una abreviatura de , por lo que está "bien definida". ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$

La división tampoco es asociativa. Sin embargo, en el caso de , las convenciones de paréntesis no están tan bien establecidas, por lo que esta expresión a menudo se considera mal definida. ${\displaystyle a/b/c}$

A diferencia de las funciones, las ambigüedades de notación se pueden superar más o menos fácilmente mediante definiciones adicionales (p. ej., reglas de precedencia , asociatividad del operador). Por ejemplo, en el lenguaje de programación C, el operador -de resta es asociativo de izquierda a derecha , lo que significa que a-b-cse define como (a-b)-c, y el operador =de asignación es asociativo de derecha a izquierda , lo que significa que a=b=cse define como a=(b=c). ^[3] En el lenguaje de programación APL sólo hay una regla: de derecha a izquierda , pero primero los paréntesis.

Otros usos del término

Se dice que una solución de una ecuación diferencial parcial está bien definida si está determinada por las condiciones de contorno de manera continua a medida que cambian las condiciones de contorno. ^[1]

Ver también

• Relación de equivalencia § Bien definida bajo una relación de equivalencia
• Definicionismo
• Existencia
• Unicidad
• Cuantificación de unicidad
• Indefinido
• Fórmula bien formada

Referencias

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Bien definido". De MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 2 de enero de 2013 .
2. Joseph J. Rotman, La teoría de los grupos: una introducción , p. 287 "... una función es "univaluada" o, como preferimos decir... una función está bien definida .", Allyn y Bacon, 1965.
3. "Precedencia de operadores y asociatividad en C". Geeks para Geeks . 2014-02-07 . Consultado el 18 de octubre de 2019 .

Fuentes

• Álgebra abstracta contemporánea , Joseph A. Gallian, sexta edición, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6 . 
• Álgebra: Capítulo 0 , Paolo Aluffi, ISBN 978-0821847817 . Página 16. 
• Álgebra abstracta , Dummit y Foote, 3.ª edición, ISBN 978-0471433347 . Página 1.