Intersección (teoría de conjuntos)

Conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos

En la teoría de conjuntos , la intersección de dos conjuntos y denotado por ^[1] es el conjunto que contiene todos los elementos de que también pertenecen a o, equivalentemente, todos los elementos de que también pertenecen a ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Notación y terminología

La intersección se escribe utilizando el símbolo " " entre los términos; es decir, en notación infija . Por ejemplo: La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como: que es similar a la notación sigma-mayúscula . ${\displaystyle \cap }$ $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$ $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$ $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

Definición

Intersección de tres conjuntos:
${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$

Intersecciones de las escrituras griega , latina y cirílica modernas sin acento , considerando únicamente las formas de las letras e ignorando su pronunciación

Ejemplo de intersección con conjuntos

La intersección de dos conjuntos y denotado por , ^[3] es el conjunto de todos los objetos que son miembros de ambos conjuntos y En símbolos: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ $${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

Es decir, es un elemento de la intersección si y sólo si es a la vez un elemento de y un elemento de ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Por ejemplo:

• La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
• El número 9 no está en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, porque 9 no es primo.

Conjuntos intersecantes y disjuntos

Nosotros decimos que ${\displaystyle A}$se interseca (se encuentra) ${\displaystyle B}$ si existe algunoque sea elemento de ambosyen cuyo caso también decimos quese interseca (se encuentra) en . Equivalentemente,se intersecasi su intersecciónes un conjunto habitado , lo que significa que existe algunotal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in A\cap B.}$

Decimos que y son disjuntos si no se intersecan En lenguaje sencillo, no tienen elementos en común. y son disjuntos si su intersección está vacía , denotado ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Por ejemplo, los conjuntos y son disjuntos, mientras que el conjunto de números pares interseca al conjunto de múltiplos de 3 en los múltiplos de 6. ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$

Propiedades algebraicas

La intersección binaria es una operación asociativa , es decir, para cualesquiera conjuntos y uno tiene ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de las anteriores puede escribirse como . La intersección también es conmutativa . Es decir, para cualquier y uno tiene La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto , Además, la operación de intersección es idempotente ; es decir, cualquier conjunto satisface que . Todas estas propiedades se siguen de hechos análogos sobre la conjunción lógica . ${\displaystyle A\cap B\cap C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ $${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap A=A}$

La intersección se distribuye sobre la unión y la unión se distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto y se tiene Dentro de un universo se puede definir el complemento de como el conjunto de todos los elementos de no en Además, la intersección de y se puede escribir como el complemento de la unión de sus complementos, derivada fácilmente de las leyes de De Morgan : ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

Intersecciones arbitrarias

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria no vacía de conjuntos. Si es un conjunto no vacío cuyos elementos son en sí mismos conjuntos, entonces es un elemento de la intersección de si y sólo si para cada elemento de es un elemento de En símbolos: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$ $${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

La notación para este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escribirán " ", mientras que otros escribirán " ". La última notación se puede generalizar a " ", que se refiere a la intersección de la colección Aquí hay un conjunto no vacío, y es un conjunto para cada ${\displaystyle \bigcap M}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

En el caso de que el conjunto índice sea el conjunto de números naturales , se puede ver una notación análoga a la de un producto infinito : ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

Cuando el formato es difícil, también se puede escribir " ". Este último ejemplo, una intersección de un número contable de conjuntos, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre σ-álgebras . ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$

Intersección nula

Conjunciones de los argumentos entre paréntesis

La conjunción de ningún argumento es la tautología (compárese: producto vacío ); en consecuencia la intersección de ningún conjunto es el universo .

En la sección anterior, excluimos el caso donde era el conjunto vacío ( ). La razón es la siguiente: La intersección de la colección se define como el conjunto (ver notación de constructor de conjuntos ) Si está vacío, no hay conjuntos en por lo que la pregunta se convierte en "¿cuál de satisface la condición establecida?" La respuesta parece ser cada posible . Cuando está vacío, la condición dada anteriormente es un ejemplo de una verdad vacía . Por lo tanto, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), ^[4] pero en la teoría de conjuntos estándar ( ZF ), el conjunto universal no existe. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Sin embargo, cuando se restringe al contexto de subconjuntos de un conjunto fijo dado , la noción de la intersección de una colección vacía de subconjuntos de está bien definida. En ese caso, si está vacío, su intersección es . Dado que todos satisfacen vacuamente la condición requerida, la intersección de la colección vacía de subconjuntos de es todos de En fórmulas, Esto coincide con la intuición de que a medida que las colecciones de subconjuntos se hacen más pequeñas, sus respectivas intersecciones se hacen más grandes; en el caso extremo, la colección vacía tiene una intersección igual a todo el conjunto subyacente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$

Además, en teoría de tipos es de un tipo prescrito por lo que se entiende que la intersección es de tipo (el tipo de conjuntos cuyos elementos están en ), y podemos definir como el conjunto universal de (el conjunto cuyos elementos son exactamente todos los términos del tipo ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Véase también

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Cardinalidad  – Definición del número de elementos de un conjunto
• Complemento  – Conjunto de elementos que no están en un subconjunto dado
• Intersección (Geometría euclidiana)  : Forma formada a partir de puntos comunes a otras formas.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Gráfico de intersección  : gráfico que representa intersecciones entre conjuntos dados
• Teoría de intersecciones  – Rama de la geometría algebraica
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Conjunción lógica  – Conjunción lógica AND
• MinHash  – Técnica de minería de datos
• Teoría de conjuntos ingenua  – Teorías de conjuntos informales
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos
• Unión  – Conjunto de elementos de cualquiera de algunos conjuntos

Referencias

1. "Intersección de conjuntos". web.mnstate.edu . Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020 . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
2. "Estadísticas: reglas de probabilidad". People.richland.edu . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
3. "Operaciones de conjuntos | Unión | Intersección | Complemento | Diferencia | Mutuamente excluyentes | Particiones | Ley de De Morgan | Ley distributiva | Producto cartesiano". www.probabilitycourse.com . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
4. Megginson, Robert E. (1998). "Capítulo 1". Introducción a la teoría del espacio de Banach . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 183. Nueva York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN. 0-387-98431-3.

Lectura adicional

• Devlin, KJ (1993). El placer de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea (segunda edición). Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). "Teoría de conjuntos y lógica". Topología (segunda edición). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). "Estructuras básicas: conjuntos, funciones, secuencias y sumas". Matemáticas discretas y sus aplicaciones (sexta edición). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Intersección". MathWorld .