En geometría proyectiva , el teorema de Desargues , llamado así en honor a Girard Desargues , establece:
Denotamos los tres vértices de un triángulo por a , b y c , y los del otro por A , B y C . La perspectividad axial significa que las líneas ab y AB se encuentran en un punto, las líneas ac y AC se encuentran en un segundo punto, y las líneas bc y BC se encuentran en un tercer punto, y que estos tres puntos se encuentran todos sobre una línea común llamada eje de perspectividad . La perspectividad central significa que las tres líneas Aa , Bb y Cc son concurrentes, en un punto llamado centro de perspectividad .
Este teorema de intersección es cierto en el plano euclidiano habitual , pero se debe tener especial cuidado en casos excepcionales, como cuando un par de lados son paralelos, de modo que su "punto de intersección" retrocede hasta el infinito. Comúnmente, para eliminar estas excepciones, los matemáticos "completan" el plano euclidiano agregando puntos en el infinito, siguiendo a Jean-Victor Poncelet . Esto da como resultado un plano proyectivo .
El teorema de Desargues es cierto para el plano proyectivo real y para cualquier espacio proyectivo definido aritméticamente a partir de un cuerpo o anillo de división ; esto incluye cualquier espacio proyectivo de dimensión mayor que dos o en el que se cumpla el teorema de Pappus . Sin embargo, existen muchos " planos no desarguesianos ", en los que el teorema de Desargues es falso.
Desargues nunca publicó este teorema, pero apareció en un apéndice titulado Método universal de M. Desargues para el uso de la perspectiva ( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective ) a un libro práctico sobre el uso de la perspectiva publicado en 1648. [1] por su amigo y alumno Abraham Bosse (1602-1676). [2]
La importancia del teorema de Desargues en la geometría proyectiva abstracta se debe especialmente al hecho de que un espacio proyectivo satisface ese teorema si y sólo si es isomorfo a un espacio proyectivo definido sobre un cuerpo o anillo de división.
En un espacio afín como el plano euclidiano, una afirmación similar es cierta, pero sólo si se enumeran varias excepciones que involucran líneas paralelas. El teorema de Desargues es, por lo tanto, uno de los teoremas geométricos más simples, cuyo lugar natural está en el espacio proyectivo, en lugar del afín.
Por definición, dos triángulos son perspectivos si y solo si están en perspectiva centralmente (o, de manera equivalente según este teorema, en perspectiva axialmente). Nótese que los triángulos en perspectiva no necesitan ser semejantes .
Bajo la dualidad estándar de la geometría proyectiva plana (donde los puntos corresponden a las líneas y la colinealidad de los puntos corresponde a la concurrencia de las líneas), el enunciado del teorema de Desargues es autodual: la perspectividad axial se traduce en perspectividad central y viceversa. La configuración de Desargues (abajo) es una configuración autodual. [3]
Esta dualidad en el enunciado se debe a la forma moderna habitual de escribir el teorema. Históricamente, el teorema solo decía: "En un espacio proyectivo, un par de triángulos en perspectiva central es en perspectiva axial" y el dual de este enunciado se denominaba el inverso del teorema de Desargues y siempre se hacía referencia a él con ese nombre. [4]
El teorema de Desargues es válido para espacios proyectivos de cualquier dimensión sobre cualquier cuerpo o anillo de división, y también es válido para espacios proyectivos abstractos de dimensión al menos 3. En dimensión 2, los planos para los que es válido se denominan planos desarguesianos y son los mismos que los planos a los que se les pueden dar coordenadas sobre un anillo de división. También hay muchos planos no desarguesianos en los que el teorema de Desargues no es válido.
El teorema de Desargues es verdadero para cualquier espacio proyectivo de dimensión al menos 3, y más generalmente para cualquier espacio proyectivo que pueda estar incluido en un espacio de dimensión al menos 3.
El teorema de Desargues puede enunciarse de la siguiente manera:
Los puntos A , B , a y b son coplanares (están en el mismo plano) debido a la supuesta concurrencia de Aa y Bb . Por lo tanto, las líneas AB y ab pertenecen al mismo plano y deben intersecar. Además, si los dos triángulos están en planos diferentes, entonces el punto AB ∩ ab pertenece a ambos planos. Por un argumento simétrico, los puntos AC ∩ ac y BC ∩ bc también existen y pertenecen a los planos de ambos triángulos. Dado que estos dos planos se intersecan en más de un punto, su intersección es una línea que contiene los tres puntos.
Esto demuestra el teorema de Desargues si los dos triángulos no están contenidos en el mismo plano. Si están en el mismo plano, el teorema de Desargues se puede demostrar eligiendo un punto que no esté en el plano, utilizándolo para sacar los triángulos del plano de modo que funcione el argumento anterior y luego proyectándolos nuevamente dentro del plano. El último paso de la demostración falla si el espacio proyectivo tiene dimensión menor que 3, ya que en este caso no es posible encontrar un punto que no esté en el plano.
El teorema de Monge también afirma que tres puntos se encuentran en una línea, y tiene una prueba que utiliza la misma idea de considerarla en tres dimensiones en lugar de dos y escribir la línea como una intersección de dos planos.
Como hay planos proyectivos no desarguesianos en los que el teorema de Desargues no es cierto, [5] se deben cumplir algunas condiciones adicionales para demostrarlo. Estas condiciones suelen adoptar la forma de suponer la existencia de una cantidad suficiente de colineaciones de un tipo determinado, lo que a su vez conduce a demostrar que el sistema de coordenadas algebraicas subyacente debe ser un anillo de división (skewfield). [6]
El teorema del hexágono de Pappus establece que, si se dibuja un hexágono AbCaBc de tal manera que los vértices a , b y c se encuentran en una línea y los vértices A , B y C se encuentran en una segunda línea, entonces cada dos lados opuestos del hexágono se encuentran en dos líneas que se encuentran en un punto y los tres puntos construidos de esta manera son colineales. Un plano en el que el teorema de Pappus es universalmente cierto se llama plano papiano . Hessenberg (1905) [7] demostró que el teorema de Desargues se puede deducir de tres aplicaciones del teorema de Pappus. [8]
El recíproco de este resultado no es cierto, es decir, no todos los planos desarguesianos son papianos. Satisfacer el teorema de Pappus de manera universal es equivalente a que el sistema de coordenadas subyacente sea conmutativo . Por lo tanto, un plano definido sobre un anillo de división no conmutativo (un anillo de división que no es un cuerpo) sería desarguesiano pero no papiano. Sin embargo, debido al pequeño teorema de Wedderburn , que establece que todos los anillos de división finitos son cuerpos, todos los planos desarguesianos finitos son papianos. No se conoce ninguna prueba completamente geométrica de este hecho, aunque Bamberg y Penttila (2015) dan una prueba que utiliza solo hechos algebraicos "elementales" (en lugar de toda la fuerza del pequeño teorema de Wedderburn).
Las diez líneas involucradas en el teorema de Desargues (seis lados de triángulos, las tres líneas Aa , Bb y Cc y el eje de perspectividad) y los diez puntos involucrados (los seis vértices, los tres puntos de intersección en el eje de perspectividad y el centro de la perspectividad) están dispuestos de tal manera que cada una de las diez líneas pasa por tres de los diez puntos, y cada uno de los diez puntos se encuentra en tres de las diez líneas. Esos diez puntos y diez líneas forman la configuración de Desargues , un ejemplo de configuración proyectiva . Aunque el teorema de Desargues elige diferentes roles para estas diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí es más simétrica : cualquiera de los diez puntos puede elegirse para ser el centro de la perspectividad, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos y qué línea será el eje de la perspectividad.
Esta versión restringida establece que si dos triángulos están en perspectiva desde un punto de una línea dada, y dos pares de lados correspondientes también se encuentran en esta línea, entonces el tercer par de lados correspondientes también se encuentran en la línea. Por lo tanto, la especialización del Teorema de Desargues es únicamente para los casos en los que el centro de perspectividad se encuentra en el eje de perspectividad.
Un plano de Moufang es un plano proyectivo en el que el pequeño teorema de Desargues es válido para cada línea.