En geometría , el teorema de Monge , que lleva el nombre de Gaspard Monge , establece que para tres círculos cualesquiera en un plano, ninguno de los cuales está completamente dentro de uno de los otros, los puntos de intersección de cada uno de los tres pares de rectas tangentes externas son colineales .
Para dos círculos cualesquiera en un plano, una tangente externa es una línea que es tangente a ambos círculos pero que no pasa entre ellos. Hay dos rectas tangentes externas para dos círculos cualesquiera. Cada uno de estos pares tiene un punto de intersección único en el plano euclidiano extendido . El teorema de Monge establece que los tres puntos dados por los tres pares de círculos siempre se encuentran en línea recta. En el caso de que dos de los círculos sean del mismo tamaño, las dos rectas tangentes externas son paralelas. En este caso, el teorema de Monge afirma que los otros dos puntos de intersección deben estar en una recta paralela a esas dos tangentes externas. En otras palabras, si se considera que las dos tangentes externas se cruzan en el punto en el infinito , entonces los otros dos puntos de intersección deben estar en una línea que pasa por el mismo punto en el infinito, por lo que la línea entre ellos toma el mismo ángulo que la tangente externa. tangente.
La prueba más sencilla emplea una analogía tridimensional. [1] Sea que los tres círculos correspondan a tres esferas de diferentes radios; los círculos corresponden a los ecuadores que resultan de un plano que pasa por los centros de las esferas. Las tres esferas pueden intercalarse únicamente entre dos planos. Cada par de esferas define un cono que es tangente externamente a ambas esferas, y el vértice de este cono corresponde al punto de intersección de las dos tangentes externas, es decir, el centro homotético externo . Dado que una línea del cono se encuentra en cada plano, el vértice de cada cono debe estar en ambos planos y, por tanto, en algún lugar de la línea de intersección de los dos planos. Por tanto, los tres centros homotéticos externos son colineales.
El teorema de Monge también se puede demostrar utilizando el teorema de Desargues . Otra prueba fácil utiliza el teorema de Menelao , ya que las razones se pueden calcular con los diámetros de cada círculo, los cuales serán eliminados por formas cíclicas al usar el teorema de Menelao. El teorema de Desargues también afirma que hay 3 puntos en una línea y tiene una prueba similar usando la misma idea de considerarla en 3 dimensiones en lugar de 2 y escribir la línea como una intersección de 2 planos.