Teorema del hexágono de Pappus

Teorema de geometría

Teorema del hexágono de Pappus: los puntos X , Y y Z son colineales en la línea de Pappus. El hexágono es AbCaBc .

Teorema de Pappus: forma afín
${\displaystyle Ab\parallel aB,Bc\parallel bC\Rightarrow Ac\parallel aC}$

En matemáticas, el teorema del hexágono de Pappus (atribuido a Pappus de Alejandría ) establece que

• Dado un conjunto de puntos colineales y otro conjunto de puntos colineales , entonces los puntos de intersección de los pares de líneas y y y son colineales y se encuentran en la línea de Pappus . Estos tres puntos son los puntos de intersección de los lados "opuestos" del hexágono . ${\displaystyle A,B,C,}$ ${\displaystyle a,b,c,}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle Ab}$ ${\displaystyle aB,Ac}$ ${\displaystyle aC,Bc}$ ${\displaystyle bC}$ ${\displaystyle AbCaBc}$

Se cumple en un plano proyectivo sobre cualquier cuerpo, pero falla para planos proyectivos sobre cualquier anillo de división no conmutativo . ^[1] Los planos proyectivos en los que el "teorema" es válido se denominan planos pappianos .

Si se considera un plano papiano que contiene un hexágono como el recién descrito pero con lados y paralelos y también lados y paralelos (de modo que la línea de Pappus es la línea en el infinito ), se obtiene la versión afín del teorema de Pappus que se muestra en el segundo diagrama. ${\displaystyle Ab}$ ${\displaystyle aB}$ ${\displaystyle Bc}$ ${\displaystyle bC}$ ${\displaystyle u}$

Si la línea de Pappus y las líneas tienen un punto en común, se obtiene la llamada versión pequeña del teorema de Pappus. ^[2] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g,h}$

El dual de este teorema de incidencia establece que dado un conjunto de líneas concurrentes y otro conjunto de líneas concurrentes , entonces las líneas definidas por pares de puntos resultantes de pares de intersecciones y y y son concurrentes. ( Concurrente significa que las líneas pasan por un punto). ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle A\cap b}$ ${\displaystyle a\cap B,\;A\cap c}$ ${\displaystyle a\cap C,\;B\cap c}$ ${\displaystyle b\cap C}$

El teorema de Pappus es un caso especial del teorema de Pascal para una cónica (el caso límite en el que la cónica degenera en dos líneas rectas). El teorema de Pascal es, a su vez, un caso especial del teorema de Cayley-Bacharach .

La configuración de Pappus es la configuración de 9 líneas y 9 puntos que se da en el teorema de Pappus, con cada línea que se encuentra con 3 de los puntos y cada punto que se encuentra con 3 líneas. En general, la línea de Pappus no pasa por el punto de intersección de y . ^[3] Esta configuración es autodual . Dado que, en particular, las líneas tienen las propiedades de las líneas del teorema dual, y la colinealidad de es equivalente a la concurrencia de , el teorema dual es, por lo tanto, exactamente el mismo que el teorema en sí. El gráfico de Levi de la configuración de Pappus es el gráfico de Pappus , un gráfico bipartito regular en cuanto a distancias con 18 vértices y 27 aristas. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle Bc,bC,XY}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle Bc,bC,XY}$

Prueba: forma afín

Teorema de Pappus: demostración

Si se puede demostrar la forma afín del enunciado, entonces se demuestra la forma proyectiva del teorema de Pappus, ya que la extensión de un plano papiano a un plano proyectivo es única.

Debido a la paralelidad en un plano afín, hay que distinguir dos casos: y . La clave para una demostración sencilla es la posibilidad de introducir un sistema de coordenadas "adecuado": ${\displaystyle g\not \parallel h}$ ${\displaystyle g\parallel h}$

Caso 1: Las rectas se cortan en el punto . En este caso se introducen coordenadas tales que (ver diagrama). tienen las coordenadas . ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle S=g\cap h}$
${\displaystyle \;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;}$ ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle \;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}}$

De la paralelidad de las rectas se obtiene y la paralelidad de las rectas da . Por lo tanto, la recta tiene pendiente y es una recta paralela . ${\displaystyle Bc,\;Cb}$ ${\displaystyle b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)}$ ${\displaystyle Ab,Ba}$ ${\displaystyle a=(\delta ,0)}$ ${\displaystyle Ca}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle Ac}$

Caso 2: (pequeño teorema). En este caso se eligen las coordenadas de manera que . De la paralelidad de y se obtiene y , respectivamente, y al menos la paralelidad . ${\displaystyle g\parallel h\ }$
${\displaystyle \;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0}$ ${\displaystyle Ab\parallel Ba}$ ${\displaystyle cB\parallel bC}$ ${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$ ${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$ ${\displaystyle \;Ac\parallel Ca\;}$

Demostración con coordenadas homogéneas

Elija coordenadas homogéneas con

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$.

En las líneas , dadas por , tomemos los puntos como ${\displaystyle AC,Ac,AX}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}}$ ${\displaystyle B,Y,b}$

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

para algunos . Las tres rectas son , por lo que pasan por el mismo punto si y solo si . La condición para que las tres rectas y con ecuaciones pasen por el mismo punto es . Por lo tanto, este último conjunto de tres rectas es concurrente si todos los otros ocho conjuntos son porque la multiplicación es conmutativa, por lo que . Equivalentemente, son colineales. ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle XB,CY,cb}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle rqp=1}$ ${\displaystyle Cb,cB}$ ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle rpq=1}$ ${\displaystyle pq=qp}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

La prueba anterior también muestra que para que el teorema de Pappus se cumpla para un espacio proyectivo sobre un anillo de división es suficiente y necesario que el anillo de división sea un cuerpo (conmutativo). El matemático alemán Gerhard Hessenberg demostró que el teorema de Pappus implica el teorema de Desargues . ^{[4] [5]} En general, el teorema de Pappus se cumple para algún plano proyectivo si y solo si es un plano proyectivo sobre un cuerpo conmutativo. Los planos proyectivos en los que el teorema de Pappus no se cumple son los planos proyectivos desarguesianos sobre anillos de división no conmutativos y los planos no desarguesianos .

La prueba no es válida si son colineales. En ese caso, se puede proporcionar una prueba alternativa, por ejemplo, utilizando una referencia proyectiva diferente. ${\displaystyle C,c,X}$

Teorema dual

Debido al principio de dualidad para planos proyectivos el teorema dual de Pappus es verdadero:

Si se eligen 6 líneas alternativamente de dos lápices con centros , las líneas ${\displaystyle A,b,C,a,B,c}$ ${\displaystyle G,H}$

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\cap a),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

son concurrentes, es decir, tienen un punto en común. El diagrama de la izquierda muestra la versión proyectiva, el de la derecha una versión afín, donde los puntos son puntos en el infinito. Si el punto está en la línea, se obtiene el "pequeño teorema dual" del teorema de Pappus. ${\displaystyle U}$
${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle GH}$

• 
  Teorema dual: forma proyectiva
• 
  Teorema dual: forma afín

Si en la versión afín del "pequeño teorema" dual el punto es también un punto en el infinito, se obtiene el teorema de Thomsen , un enunciado sobre 6 puntos en los lados de un triángulo (véase el diagrama). La figura de Thomsen desempeña un papel esencial coordinando un plano proyectivo definido axiomáticamente. ^[6] La prueba de la clausura de la figura de Thomsen está cubierta por la prueba del "pequeño teorema", dada anteriormente. Pero también existe una prueba directa simple: ${\displaystyle U}$

Como el enunciado del teorema de Thomsen (el cierre de la figura) utiliza únicamente los términos conexos, intersectados y paralelos , el enunciado es invariante por afinidad y se pueden introducir coordenadas tales que (véase el diagrama de la derecha). El punto de partida de la secuencia de cuerdas es Se verifican fácilmente las coordenadas de los puntos dados en el diagrama, que muestra: el último punto coincide con el primer punto. ${\displaystyle P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)}$ ${\displaystyle (0,\lambda ).}$

• 
  Figura de Thomsen (puntos del triángulo ) como teorema dual del pequeño teorema de Pappus (¡ también está en el infinito!). ${\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}$ ${\displaystyle PQR}$ ${\displaystyle U}$
• 
  Figura de Thomsen: prueba

Otros enunciados del teorema

Los triángulos y son perspectiva desde y , y por lo tanto, también desde . ${\displaystyle XcC}$ ${\displaystyle BbY}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z}$

Además de las caracterizaciones anteriores del teorema de Pappus y su dual, las siguientes son afirmaciones equivalentes:

• Si los seis vértices de un hexágono se encuentran alternativamente en dos líneas, entonces los tres puntos de intersección de pares de lados opuestos son colineales. ^[7]
• Dispuestos en una matriz de nueve puntos (como en la figura y descripción anteriores) y pensados ​​como evaluando una permanente , si las dos primeras filas y las seis tríadas "diagonales" son colineales, entonces la tercera fila es colineal.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|}$

Es decir, si son rectas, entonces el teorema de Pappus establece que deben ser rectas. Además, nótese que la misma formulación matricial se aplica a la forma dual del teorema cuando etc. son triples de rectas concurrentes. ^[8] ${\displaystyle \ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\ }$ ${\displaystyle XYZ}$ ${\displaystyle (A,B,C)}$

• Dados tres puntos distintos en cada una de dos líneas distintas, empareje cada punto de una de las líneas con uno de la otra línea, entonces las uniones de los puntos no emparejados se encontrarán en pares (opuestos) en puntos a lo largo de una línea. ^[9]
• Si dos triángulos son perspectiva de al menos dos maneras diferentes, entonces son perspectiva de tres maneras. ^[4]
• Si y son concurrentes y y son concurrentes, entonces y son concurrentes. ^[8] ${\displaystyle \;AB,CD,\;}$ ${\displaystyle EF}$ ${\displaystyle DE,FA,}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AD,BE,}$ ${\displaystyle CF}$

Orígenes

En su forma más antigua conocida, el Teorema de Pappus son las Proposiciones 138, 139, 141 y 143 del Libro VII de la Colección de Pappus . ^[10] Estos son los Lemas XII, XIII, XV y XVII en la parte del Libro VII que consiste en los lemas del primero de los tres libros de los Porismos de Euclides .

Los lemas se demuestran en términos de lo que hoy se conoce como la razón cruzada de cuatro puntos colineales. Se utilizan tres lemas anteriores. El primero de ellos, el Lema III, tiene el diagrama que se muestra a continuación (que utiliza las letras de Pappus, con G para Γ, D para Δ, J para Θ y L para Λ).

Aquí tres líneas rectas concurrentes, AB, AG y AD, son cruzadas por dos líneas, JB y JE, que concurren en J. También KL se traza paralela a AZ. Entonces

KJ: JL :: (KJ: AG y AG: JL) :: (JD: GD y BG: JB).

Estas proporciones podrían escribirse hoy como ecuaciones: ^[11]

KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

La última razón compuesta (es decir, JD : GD y BG : JB) es lo que hoy se conoce como razón cruzada de los puntos colineales J, G, D y B en ese orden; se denota hoy por (J, G; D, B). Por lo tanto, hemos demostrado que esto es independiente de la elección de la línea recta particular JD que cruza las tres líneas rectas que concurren en A. En particular

(J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

No importa en qué lado de A cae la recta JE. En particular, la situación puede ser como la del siguiente diagrama, que es el diagrama del Lema X.

Al igual que antes, tenemos (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Pappus no prueba esto explícitamente; pero el Lema X es un inverso, es decir, si estas dos razones cruzadas son las mismas, y las líneas rectas BE y DH se cruzan en A, entonces los puntos G, A y Z deben ser colineales.

Lo que demostramos originalmente puede escribirse como (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), donde ∞ ocupa el lugar de la intersección (inexistente) de JK y AG. Pappus lo demuestra, en efecto, en el Lema XI, cuyo diagrama, sin embargo, tiene letras diferentes:

Lo que muestra Pappus es DE.ZH : EZ.HD :: GB : BE, que podemos escribir como

(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

El diagrama del Lema XII es:

El diagrama del Lema XIII es el mismo, pero BA y DG, extendidos, se encuentran en N. En cualquier caso, considerando las rectas que pasan por G como cortadas por las tres rectas que pasan por A (y aceptando que las ecuaciones de razones cruzadas siguen siendo válidas después de la permutación de las entradas), tenemos por el Lema III o XI

(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

Considerando las líneas rectas que pasan por D cortadas por las tres líneas rectas que pasan por B, tenemos

(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).

Así (E, H; J, G) = (E, K; D, L), por lo que por el Lema X, los puntos H, M y K son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono ADEGBZ son colineales.

Los lemas XV y XVII son que, si el punto M se determina como la intersección de HK y BG, entonces los puntos A, M y D son colineales. Es decir, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos del hexágono BEKHZG son colineales.

Notas

1. Coxeter, págs. 236-7
2. Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie , BI-Taschenbuch, 1969, p. 93
3. Sin embargo, esto ocurre cuando y están en perspectiva , es decir, y son concurrentes. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle Aa,Bb}$ ${\displaystyle Cc}$
4. Coxeter 1969, pág. 238
5. Según (Dembowski 1968, pág. 159, nota al pie 1), la prueba original de Hessenberg (1905) no es completa; descartó la posibilidad de que pudieran ocurrir algunas incidencias adicionales en la configuración de Desargues. Cronheim 1953 proporciona una prueba completa.
6. W. Blaschke: Geometría proyectiva , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3034869320 , pág.190
7. Coxeter, pág. 231
8. Coxeter, pág. 233
9. Whicher, capítulo 14
10. Heath (Vol. II, p. 421) cita estas proposiciones. Las dos últimas pueden entenderse como recíprocas de las dos primeras. Kline (p. 128) cita únicamente la Proposición 139. La numeración de las proposiciones es la asignada por Hultsch.
11. Una razón para utilizar la notación anterior es que, para los antiguos griegos, una razón no es un número ni un objeto geométrico. Hoy en día podemos pensar en la razón como una clase de equivalencia de pares de objetos geométricos. Asimismo, la igualdad para los griegos es lo que hoy podríamos llamar congruencia. En particular, segmentos de línea distintos pueden ser iguales. Las razones no son iguales en este sentido, pero pueden ser iguales.

Referencias

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, Sr.  0123930
• Cronheim, A. (1953), "Una prueba del teorema de Hessenberg", Actas de la American Mathematical Society , 4 (2): 219–221, doi :10.2307/2031794, JSTOR  2031794
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer-Verlag
• Heath, Thomas (1981) [1921], Una historia de las matemáticas griegas , Nueva York: Dover Publications
• Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen , 61 (2), Berlín/Heidelberg: Springer: 161–172, doi :10.1007/BF01457558, ISSN  1432-1807, S2CID  120456855
• Hultsch, Fridericus (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt , Berlín{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Kline, Morris (1972), El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos , Nueva York: Oxford University Press
• Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), "El destino axiomático de los teoremas de Pappus y Desargues", en Dani, SG; Papadopoulos, A. (eds.), Geometría en la historia , Springer, pp. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
• Whicher, Olive (1971), Geometría proyectiva , Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4

Enlaces externos

• Teorema del hexágono de Pappus al cortar el nudo
• Teorema del hexágono de Pappus dual al cortar el nudo
• Teorema de Pappus: nueve demostraciones y tres variantes